Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

процентах), а аргумента в абсолютных, размерных величинах, да еще и с ограничением (1')! Для получения наиболее адекватной оценки нужно и в числителе ввести долю изменения:

Ef (x) = d ln(f (x))/d ln(x) ≈ ( f/f (x))/( x/x), (2.10)

называется коэффициентом эластичности и интерпретируется так: на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на 1 %!

Отметим, что при этом условие (1') упоминать не надо, оно выполняется автоматически.

Каждая из оценок (1)–(3) порождает свои простейшие функции, при которых она является постоянной:

–для производной – линейные, f (x) = c x + b;

–для темпа роста – экспоненты, f (x) = Ae c x;

–для эластичности – степенные функции, f (x) = Ax c.

При этом в каждой из этих функций параметр с как раз и равен значению соответствующей оценки. Именно в связи с наибольшей адекватностью оценки (3) эконометрические зависимости рекомендуют икать в виде степенных зависимостей.

Если аргументом является время t и на каждом временном интервале функция (капитал) получает постоянное относительное приращение (долю прибыли) p, то «превращение времени в деньги» описывается функцией (формула сложных процентов):

K(t) = (1 + p)t = e ρt (2.11)

и именно ρ является темпом роста капитала. К сожалению, иногда темпом роста называют множитель (1 + p), что не согласуется с общим определением (2).

Теперь проанализируем упомянутое утверждение в «АиФ на Дону». Если автор использует последнее, неточное понимание темпа роста, то он вправе переводить доли в проценты, но это означает, что Морозовский район побил все рекорды развития в мировой экономике и дает ежегодный прирост в 40 %! В это мало верится – даже преуспевающий Китай гордится 10– 12 % ежегодного роста, а за счет чего получен баснословный рост в этом сельскохозяйственном районе – совершенно непонятно.

Если же под темпом роста понимается (как это и должно быть) величина ρ, то ее некорректно выражать в процентах (от

41

чего, к чему?), а при ρ = 1.4 доля ежегодного прироста p должна быть вообще баснословной: p = e1.4 – 1 = 3.055 т.е. ежегодно район увеличивает оценку своей экономики в 4 раза! Очевидно, что это свидетельствует о полной неграмотности автора и как журналиста, и как экономиста.

42

3. Э

… я могу говорить лишь с той нео- пределенной определенностью, с какой математики иногда принуждены ми- риться в некоторых алгебраических формулах.

Э. По

В главе 1 было проанализировано выражение для прибыли фирмы и показано, что максимум прибыли достигается при условии равновесия спроса и предложения, т.е. для определения оптимального поведения фирмы (максимизирующего его прибыль) без использования банковских кредитов необходимо решать задачу:

П = P R – Z(R), R = D(P1), P1 = P(1 + α),

Z(R) = R [B0 + B1 q(R)] (3.1) (B0 = Cп + С∞, B1 = C∞),

где α – доля налога на добавленную стоимость и торговой наценки,

q(R) – переменная часть удельных собственных затрат.

В главе 2 исследован характер эконометрических зависимостей q(R) и D(P1) и указаны способы и примеры оценки их параметров.

Использование этих зависимостей позволяет довести до конца исследование оптимального поведения фирмы, т.е. решить за-

дачу (3.1).

3.1.Совершенная монополия и оптимальная равновесная цена

Рассмотрим вначале наиболее простой случай – монопольной фирмы. При этом зависимость спроса от цены наиболее проста:

R = D = A/P1 (3.2) (так как потребитель, располагая капиталом А, вынужден приоб-

ретать на него продукцию фирмы в количестве, обратно пропор-

43

циональном цене P1, т.е. коэффициент эластичности отрицателен и равен 1). Выражение для прибыли при этом, с учетом того, что

q(R)=b0R−g1 принимает вид (Z0 = 0):

рень уравнения (3.4) P1 , и прибыль неотрицательна при P1 ≥ P1 . Соответственно, график зависимости прибыли от цены имеет вид, изображенный на рис. 3.2 и экономически отвечает эконо- мическому коллапсу, тупику: стремясь получить максимальную

44

прибыль, фирма в условиях совершенной монополии неограниченно увеличивает цену продукции, что отвечает спаду производства до нуля!

Этот несколько парадоксальный результат становится понятным, если учесть, что в силу (3.1) выручка остается постоянной, а затраты убывают до нуля (или до Z0) с ростом цены.

При a1, c1 < 0 уравнение (3.4) положительных решений не имеет и ситуация еще плачевней: с ростом цены прибыль растет (объем производства убывает до нуля), но остается отрицательной (эта ситуация отвечает пунктирной кривой на рис. 3.2).

В связи с негативным характером рассматриваемого случая на процедурах вычисления корня уравнения (3.4) останавливаться здесь не имеет смысла.

3.2.Учет конкуренции эластичностью спроса. Уравнение для оптимальной равновесной цены и его решение

Пусть теперь D(P1)= A , E>1, что частично учитывает нали-

P1E

чие конкурентных альтернатив у потребителя, – спрос падает быстрее, чем при абсолютной монополии. При этом

45

46

Вычисление корня u* легко осуществить итерационным методом

47

чае),авторой–минимуму.Помереростапараметраскорнисближа- ются,принекоторомзначенииc= c онисливаются(u1* =u2* =u )ипри c > c уравнение (3.7') не имеет решений, F′(P1)≥0 для всех P1>0.

лив, u = 2.25, c = 0.250, убеждаемся, что c < c , то есть имеются два положительных корня, но нас интересует только первый.

48

3.3.Диапазон равновесных цен, отвечающих неотрицательности прибыли

Если c < c , то уравнение (3.7') имеет 2 положительных корня. Проведенные исследования позволяют уточнить зависи-

(носинымзначениемпараметра c =c1a1b−1 ),корникоторогоопределяют диапазон цен P1, при которых прибыль неотрицательна.

Если b < 1, то уравнение (3.12), как и (3.7') всегда имеет единственный положительный корень v* и F(P1) ≥ 0 при P1 ≥ P1 = a1 v*, а максимум прибыли достигается при P1 = P1* = a2 u *.

Вид зависимости F(P1) отвечает рис. 3.5.

При b > 1 легко показать, что значение параметра с для уравнения, определяющего условие неотрицательности прибыли, больше, чем для уравнения, определяющего стационарные точки (это рекомендуется выполнить в качестве упражнения).

49

не имеет решений, F(P1) < 0 для всех P > 0 и график F(P1) имеет вид, изображенный на рис. 3.6, a (т.е. предприятие не может быть сделано рентабельным).