Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

кации отличаются интерфейсом пользователя (различными способами ввода и корректировки данных, формированием баз данных и т.п.), базовым языком, на котором создаются исполняемые блоки (PASCAL или СИ++), графикой, учетом дополнительных данных и ограничений, но все они позволяют решать основную задачу – считать по исходным данным о спросе и производстве оптимальную равновесную цену продукции (цену производителя Р или цену потребителя P1), отвечающий ей объем выпуска, прибыль (максимальную абсолютно или при имеющихся ограничениях), то есть указывать оптимальное (с точки зрения максимизации прибыли) поведение предпринимателя.

Основными ограничениями, заставляющими иногда отклониться от абсолютного максимума, являются ограничения на

равенства спроса и предложения, эквивалентно условию

P1 ≤(A R)1E =P1

и при b<1 отсекает часть области рентабельности, а при b>1 та-

кое отсечение также возникает при P1 < P1(4) . Второе ограничение имеет вид

1(1A+α) P1 −a1(1+ γ)−c1(1+ γ)P1b ≤0 (3.13)

ипотому приводит также к неравенству вида (3.11) и, соответственно, уравнению (3.12), но с измененными коэффициентами

иобратным знаком неравенства, что дает изменение величины корней и иную их интерпретацию – при наличии у этого уравнения двух положительных корней неравенству (3.12) удовлетворяет отрезок между ними, а при ограничении на прибыль, то есть неравенстве (3.13) – дополнительная область (цены меньше первого корня и больше второго).

Учет всех дополнительных требований порождает довольно сложную схему логического анализа возможных различных слу-Π −γ Z = B −(1+ γ)Z = PE

51

чаев, которая реализована в указанных программах. Результаты иллюстрируются графиками и таблицами, поясняющими выбор оптимальной цены, указывающими, какое ограничение (или условие максимизации) оказывается решающим.

Примеры работы программ сведены в таблицу 3.3.

Эти примеры иллюстрируют все основные ситуации: малое и большое изменение прибыли по сравнению с начальным значением, повышение и понижение цены (феномен Форда).

Наличие модели и программы, рассчитывающей оптимальную цену и по ней – остальные экономические показатели, позволяет вести анализ вопросов, выходящих за пределы решений по управлению фирмой, а относящихся к общим проблемам управления экономикой.

Прежде всего, выше уже отмечались случаи, приводящие к экономическому коллапсу (рост прибыли при неограниченном росте цен и соответствующим спадом производства до нуля). Эти случаи отвечают условиям:

Е = 1 (совершенная монополия);

52

или b = Eg1 > 1 и c ≥ c либо c < c , но c ≥ c , которые легко

выразить через исходные данные.

Поскольку этот случай нежелателен, запишем обратное условие, при котором ситуации экономического коллапса нет, т.е.

c <c <c , или:

Учитывая, что B1 = C∞, B = Cп + C∞ и на эконометрические параметры b0, A, E, g1, мы не можем влиять непосредственно, запишем это условие в виде:

откуда следует, что путем к его выполнению является, прежде всего, уменьшение себестоимости массового производства C∞ и налогово-торговой наценки α (уменьшение доли затрат на покупные изделия Cп/C∞ влияет в меньшей степени).

Пусть Е = 2, g1 = 0.6 (т.е. b = 1.2), b0 = 0.5, D0 = 10 (тыс. штук),

P10 = 10 (млн руб.), т.е. А= D0 P10E = 103 (поскольку за единицу спро- сапринято1000штук,всеостальныевеличины–P0,Cп,C∞ –также

относятся к этой «единице»; легко проверить, что размерности в правойилевойчастях(3.14')–одинаковы,таккакесли[C∞]=руб.,

[A] = (руб)E, [ Ag1 ] = (руб)b));

следовательно, эти условия не являются слишком жесткими:

53

1 + α < 4.03, (т.е. α не должно превышать 300 %).

Наиболее интересен и предпочтителен в социальном плане

случай P1* < P10 (или P* < P0, u* < u0 = P10/a2), так как он отвечает и интересам фирмы (максимум прибыли!), и интересам покупате-

ля (снижение цены!), и интересам рабочих – участников производства (рост объeма выпуска продукции, числа рабочих мест). Естественно назвать его «феноменом Форда», так как этот автомобильный магнат разбогател именно за счет массового производства дешевых автомобилей.

Условия, при которых реализуется феномен Форда также легко записать через параметры, определяющие решения уравнения (3.7), а затем – выразить через входные данные.

При b < 1 таким условием является отрицательность левой части (3.7) при P1 = P10 (т.е. F ′(P10) < 0):

Для приведенных выше данных имеем:

C(P110+α)≥ 1+CСn 0167. =033.

∞∞

(если C∞ = 12P10 , то 1 + α < 1.515, α < 0.515).

54

Наконец, можно проанализировать соотношение интересов фирмы и государства, которое формирует и, фактически, назначает параметры налогообложения и кредитования, в первую очередь – доли налога на прибыль q0, налога на добавленную стоимость q1 и учетную ставку по кредитам r. Если банк государственный, то общий сбор государства от фирмы, имеющей прибыль П (зависящую от r и q1, влияющих на коэффициенты урав-

Z

дарства и его заботой о том, чтобы не слишком грабить фирму, сохранить ее заинтересованность в производстве и его развитии. Однако при q1 ≥ q1 увеличение q1 уменьшает и П1, и W, т.е. противоречит и интересам государства!

Аналогичное явление возникает при фиксации q1, q0 и изменении r. Эффект спада сбора (дохода) банка при увеличении учетной ставки r выше некоторой критической величины был обнаружен Лаффером и получил название кривой Лаффера (и

55

точки Лаффера r ), поэтому описанный эффект естественно назвать обобщенной зависимостью Лаффера.

Критические значения q1 и r можно рассчитать c помощью тех же программ MARKET.

3.5. Модель банка и точкаЛаффера

Рассмотрим некоторое видоизменение модели, если интересующая нас фирма – банк. Его «продукцией» является объем предоставляемых кредитов R, а выручка (доход) определяется учетной ставкой r:

B = R r.

Затраты Z, связанные с предоставлением кредитов R, состоят из линейной, постоянной и нелинейной части, которую целесообразно аппроксимировать степенной функцией, т.е.:

Z(R) = Z0 + aR + b0R g или Z(R) = R C(R), C(R) = a + Z0/R + b0 R g–1,

причем полные затраты растут с ростом R, а удельные С(R) – убывают, откуда следует, что 0 < g1 = 1 – g < 1

Аналогично рассуждениям п. 1.2 легко убеждаемся, что максимум прибыли достигается на равновесии спроса и предложе-

Возникают те же две задачи – отыскание учетной ставки r*, отвечающей максимуму F(r) (и совпадающей с точкой Лаффера r ) и диапазона учетных ставок, для которых прибыль неотрицательна.

Поскольку вид функции F(r) отличается от F(P1) лишь постоянным слагаемым Z1 (которые можно было бы ввести и в модель п. 3.1), уравнение для оптимальной учетной ставки имеет точно тот же вид, что и (3.7):

56

ная ставка равна 6.24% (в этом случае имеется ярко выраженный феномен Форда – выгодно резкое снижение учетной ставки).

57

Упражнение 3.4. Провести расчеты оптимальной учетной ставки (точки Лаффера) и максимальной прибыли для других данных – модельно задаваемых или извлекаемых из конкретных банковских данных.

Решение второй задачи – отыскание допустимого диапазона учетных ставок, отвечающих неотрицательной прибыли, требу-

но на его исследовании и методах решения мы здесь не останавливаемся.

Схема расчетов должна быть такой (рис. 3.8):

Рис. 3.8

Упражнение 3.5. Провести расчеты по собственным данным (из предыдущего упражнения). Составить программу расчетов для персонального компьютера.

Упражнение 3.6. Составить программу расчета прибыли и убедится в правильности проведенных расчетов.

3.6.Соотношение интересов фирмы, общества и коллектива

Все описанные в данной главе модели строились в интересах

58

где Q – затраты, а W = P R – выручка, доход (P – цена, R – объем

(т.е. спрос падает с ростом цены, а затраты растут с ростом объема выпуска).

Деятельность фирмы может быть оценена не только с точки зрения руководства (или собственника), который заинтересован вросте(максимизации)прибыли,ноисточкизрениягосударства (общества), заинтересованного в росте народно-хозяйственной полезности V. А также с точки зрения коллектива предприятия, который при разных системах оплаты заинтересован в максимизации средней зарплаты, что связано с максимизацией не разно-

59

единственности оптимального решения для каждой задачи, при

P< Pi ϕi (P) > 0, при P>Pi ϕi (P) < 0.

Поскольку