Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

последнем этапе получаем не только Fmin, но и путь (или несколько путей), дающих этот минимум.

Решение задачи представлено на рис. 6.3, где на дугах проставлены значения xi, а рядом с узлами – значения Fi,k. Кратчайшие пути отмечены двойными линиями.

91

Как видим имеется два оптимальных решения: x = (0, 8, 0, 0, 0, 14) и

x = (0, 0, 12, 0, 0, 10),

отвечающих одному и тому же минимальному значению суммы затрат 84.8 (отличающемуся от начального значения, без унификации, где xi = ai, F = 110.9 на 23.5 %). Заметим, что при целых ai все xi (во всех вариантах) – целые.

Упражнение 6.1. Восстановить расчет оценок Fi,k, подсчитав все сравниваемые пути.

Упражнение 6.2. Провести расчет для других исходных данных.

Естественное обобщение этой модели позволяет строить оптимальные типоразмерные ряды изделий, если каждое изделие (i + 1)-го типа заменяет βi изделий i-го типа (например, пропорционально отношению производительностей). При этом βi, ai (а следовательно, и xi) уже не являются целыми, но при расчете для региона или всей страны ai, xi могут измеряться тысячами штук и нецелочисленность несущественна.

Такая обобщенная модель имеет вид

n

Fn = ∑ fi (xi) – min

и, повторяя рассуждения для простейшей модели, убеждаемся, что графическое представление решения и ход его – не меняются, лишь несколько усложняются расчеты.

Упражнение 6.3. Для того же примера найти решение при βi, задаваемых последним столбцом таблицы 6.1.

Описанная процедура реализована программой UNIF, по которой можно провести ряд расчетов для различных вариантов исходных данных и проанализировать влияние различных факторов на выбор унифицированных типов изделий.

92

Более общие задачи унификации, когда одно изделие i-го типа заменяет, например, два изделия (i – 1)-го типа и одно изделие типа (i – 2), требуют иных методов и в данном учебнике – не рассматриваются.

93

7. Д

Иногда совершенство проявляет- ся в стихах великого поэта, не во всех стихахего… Совершеннойможетбыть музыка, часть музыки. Совершенным

может быть математическое рассуждение, физический опыт и фи- зическая теория…

Василий Гроссман

В данном разделе применяется метод, принадлежащий к более общему классу методов, широко и эффективно применяемых в различных технико-экономических задачах, и получивших на-

звание динамическое программирование (ДП). Это название определяется тем, что первые шаги в разработке таких методов былисвязанысанализомэкономическихитехническихзадачдинамического характера: распределение инвестиций по последовательным периодам времени, разгон самолетов или ракет и т.п. В дальнейшем они стали применяться к более широкому классу задач, и сейчас под ДП понимают методы решения многоэтап- ных оптимизационных задач с аддитивным функционалом.

Многоэтапность может быть связана не только с динамикой, анализом последовательных промежутков времени, но и с отдельными участками пространства (при планировании прокладки дорог или трубопроводов), или с отдельными элементами некоторого списка рассматриваемых объектов (при выборе уже упомянутого портфеля инвестиций и т.п.).

Аддитивность минимизируемого (или максимизируемого) функционала является важным условием применения методов ДП и заключается в следующем. Если рассматриваемая траектория γ (поэтому приходится говорить о функционале, а не о функции) разбита на две части γ=γ1 γ2, то значение функционала от всей траектории равно сумме значений функционала от ее частей: f (γ)=f (γ1)+f (γ2).Например,затратынастроительстводорогискла- дываются из затрат на строительство отдельных ее участков.

94

Это простое свойство (в качестве упражнения желательно привести примеры аддитивных функционалов и таких, которые не удовлетворяют этому условию аддитивности) позволяет до-

казать теорему: любой участок оптимальной траектории – оптимален.

Запишем это утверждение в аналитической форме. Оптимальность траектории γ* по отношению к минимизируемому функционалу f (γ) означает, что для любой другой траектории γ (из рассматриваемого класса, соединяющей те же точки А и Б) f (γ* ) ≤ f (γ).

Пусть из оптимальной траектории выделена некоторая часть γ*′ γ*, соединяющая точки А′ и Б′. Теорема утверждает, что тогда для любой другой траектории рассматриваемого класса γ′, соединяющей те же точки А′ и Б′, также выполняется неравенство f (γ*′) ≤ f (γ′).

Доказательство основано на предположении «от противного»: пусть утверждение теоремы не верно, и найдется такая траектория γ′, что f (γ*′) > f (γ′). Однако тогда существует траектория, которая от А до А′ ведет по оптимальной исходной траектории γ*, далее до Б′ – по траектории γ′, а от Б′ до Б – опять по γ*. В силу аддитивности функционала, его значение на этой «противоречащей» траектории будет меньше f (γ*), что противоречит исходному условию, а значит, доказывает теорему.

На рис. 7.1 все эти траектории показаны. В качестве упражнения запишите соотношения, отвечающие приведенному рассуждению и доказывающие теорему.

ʏc Jc

J*

ʏ

J

Рис. 7.1

95

На первый взгляд неясно, как использовать эту теорему: ведь она выделяет свойство оптимальной траектории, но если мы ее уже нашли, то ничего более нам не требуется!

Однако из этой теоремы вытекает следствие, которое позволяет отбрасывать многие участки траекторий и резко сокращать поиск оптимума:

Следствие. Пусть имеются две траектории γ1 и γ2, соединяющие некоторые точки С и Д, и одна из них – хуже другой: f (γ1)<f (γ2). Мы не знаем, понадобятся ли нам эти точки С и Д, попадут ли они на оптимальную траекторию, но участок – заведомо не может принадлежать оптимальной траектории, так как это противоречит доказанной теореме, и его, как и все его продолжения в обе стороны, можно отбросить.

Упражнение 7.1. Переформулируйте теорему для случая максимизации целевого функционала и повторите рассуждения для этого случая.

Модели и процедуры динамического программирования основаны на трех принципах или приемах:

–оптимальное значение целевого функционала рассматривается как функция (пока – неизвестная) числа этапов n и некоторого параметра (например, конечной точки траектории) f *= f (γ* ) = Fn (a0);

–вместо рассмотрения фиксированных значений n и a0 ищутся значенияэтойфункции(таблицыеезначений)длявсехвозможных значений числа этапов k = 1, …, n и параметров a=1,…,a0 – «принцип вложения» (строится «лестница задач») Fk (a);

–на основе упомянутого выше следствия таблицы значений этих функций последовательно вычисляются по рекуррентным соотношениям

Fk + 1(a) = min {Fk (b) + (b, a)}, b

(b, a) – приращение функции на траектории, соединяющей точку b этапа k и точку a этапа k + 1.

Замечания.

1.Каждый из приведенных принципов (приемов) имеет самостоятельное эвристическое значение, позволяет упростить

96

решение задачи, но только все они в совокупности определяют процедуры и метод динамического программирования.

2.Вычисление (b, a) для малого отрезка траектории существенно проще, чем для всей траектории (А, Б) и позволяет использовать приближенные формулы расчетов.

3.Если на каждом этапе число параметров равно m, то общее число вариантов, подлежащих сравнению, N = mn. При использовании метода динамического программирования при-

ходится анализировать N1 = n m2 вариантов, что существенно меньше N.

4.Одновременно решается проблема хранения информации о сравниваемых вариантах: вместо запоминания всех N вариантов (а как их упорядочить – неясно), на каждом шаге (при переходе от одного этапа к другому) требуется хранить всего m значений искомой функции для предыдущего этапа.

Упражнение 7.2. Подсчитайте общее и сокращенное число вариантов, если число возможных вариантов на каждом этапе – различно (m1, m2, …, mn).

Опыт применения методов динамического программирования к различным техническим и экономическим задачам чрезвычайно велик, но здесь мы рассмотрим его применение к важ-

ной для практики задаче оптимизации сроков эксплуатации

некоторой машины.

Будем предполагать, что «горизонт планирования», т.е. срок, для которого мы рассчитываем оптимальный режим эксплуатации, равен n лет. В течение этого срока мы можем, если это выгодно экономически, заменять машину новой того же типа и той же цены c. Поскольку с возрастом эксплуатируемой машины t ее производительность w(t) падает, а затраты на эксплуатацию и ремонт r(t) – растут, их разность, годовой экономический эффект от эксплуатации машины возраста t, u(t)= w(t) – r(t) – убывает, и легко найти такой возраст tv, далее которого эксплуатация заведомо невыгодна. Пусть нам еще известна ликвидационная стоимость a(t) машины возраста t лет (путем продажи, сдачи в металлолом и т.п.).

Для принятия конкретного решения о наилучшей стратегии эксплуатации машины начального возраста t0 лет в течение

97

следующих n лет (траекторией γ здесь является указание сроков замены машины новой в течение всего планового периода) применимметоддинамическогопрограммирования.Этапыопределяются глубиной просмотра, сроком планирования, а аддитивность суммарного эффекта f (γ) за плановый период очевидна. Обозначим максимальный суммарный эффект Fn(t0) и будем ис-

кать все функции Fk(t) (k = 1, …, n; t = 0, 1, …, tv).

При k = 1 у нас имеется всего две альтернативы:

–продолжать эксплуатацию машины, получив эффект u(t);

–заменить машину новой, получив эффект u(0) + a(t) – c.

На каждом шаге, как видим, при вычислении очередного значения искомой функции нам приходится лишь выбирать одно из двух известных значений, так как на предыдущем этапе таблица функции для меньшего значения числа этапов уже известна.

После вычисления последней таблицы нам уже известен максимальный эффект, а оптимальная стратегия замены ма- шин, оптимальная траектория эксплуатации легко опреде- ляется по построенной системе таблиц («обратный ход», как например, и в методе Гаусса решения систем линейных урав- нений).

Приведем пример. Пусть n = 10, c = 10, a(t) = 0, u(t) линейно убывает от u(0) = 10 до u(10) = 0, то есть tv = 10. Результаты расчетов приведены в таблице 7.1 (каждая строка – таблица значений соответствующей функции), там же жирным выделен оптимальный эффект при замене машины. При большем возрасте он сохраняется, но если бы ликвидационная стоимость отличалась от нуля, то он и далее убывал бы. При равенстве эффекта от продолжения эксплуатации и замены выбирается первый вариант.

98

Таблица 7.1

Анализ этой таблицы показывает, что даже в этом простейшем примере оптимальные сроки замены машин не могут определяться заранее некоторыми нормативами, а зависят от всей совокупности условий и затрат, и существенно отличаются от априорного срока службы tv .

Проведем расчет оптимальной стратегии эксплуатации для начального возраста t0 = 3. Из таблицы следует, что максимальный эффект (без дисконтирования разновременных затрат) равен 61 и отвечает «нежирной» области, т.е. продолжению эксплуатации. Через 2 года мы попадаем в «область замены» и оставшиеся 8 этапов связаны с заменой машины. За первый год новая машина дает нулевой эффект и оставшиеся 7 лет (этапов) дают максимальный эффект, равный 48 (при возрасте машины 1 год). Далее продолжаем ее эксплуатировать, пока опять не попадем в «область замены» (при возрасте машины 4 года) и эффекте за оставшиеся 4 года 24 единицы (путем продолжения эксплуатации до конца планового периода).

Итак, получили оптимальную стратегию эксплуатации:

–заменить машину через 2 года;

–новую машину заменить еще через 4 года;

–суммарный эффект равен 7+6+0+9+8+7+0+9+8+7=61, а что это – максимум возможного, следует из таблиц.

99

Упражнение 7.3. Проведите расчет по тем же данным для периода 15 лет. Как изменится максимальный эффект и стратегия эксплуатации, если начальный возраст машины не 3 года, а 5 лет?

Упражнение 7.4. Проведите аналогичный расчет, если ликвидационная стоимость линейно убывает от 9 при t = 0 до 0 при t = 11.

Упражнение 7.5. Составьте программу расчетов и проведите вычислительные эксперименты.

100