Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

v1r −1 < v1 ≤ v1r = 1 Umax = U(Xr) = F1max = Hn,

(для граничных значений параметра обе смежные вершины дают один и тот же максимум U).

Если координаты двух образов смежных вершин Xl и Xl + 1 в

Второй путь заключается в том, что специфика ограничений

позволяет явно указать и упорядочить все вершины RXn , а затем по отображению (9.9) – (9.10) найти все вершины верхней границы множества F(2) и отобрать среди них те, что порождают ПF.

В самом деле, каждая из вершин RXn определяется n равенствами из 2n ограничений (9.11), причем для каждого i должно выполнятся либо левое, либо правое ограничение как равенство.

121

Всего имеем 2n комбинаций, которые могут быть перенумерованы от 0 до 2n–1.

Пусть m – номер соответствующей вершины (mmin =0,

mmax =2n–1).

Очевидно, что его двоичное разложение является n-значным,

вычислить все вершины Rxn и их отображения F(x), изобразить их на экране дисплея, отобрать верхнюю огибающую (верхнюю границу F(2)) и ее паретовскую часть ПF – от максимальной вер-

шины этой огибающей до F (m). При произвольных значениях pi, gi (или hi, si) эта процедура очень удобна с иллюстративной точки зрения (наглядно видно и F(2) и ПF), но трудна для вычисления вершин ломаной ПF (точки ложатся беспорядочно, запоминать их все нежелательно, так как при n = 24 – если планируется деятельность на два года, а период в один месяц – N = 224 и требуется массив размера N*n), поэтому процедура параметрического линейного программирования – предпочтительна.

122

Имеется важный частный случай, когда второй путь позволяет эффективно исследовать множество ПF и выявить те его свойства, которые присущи и общему случаю – случай стационарного

образуют множество F(X, k) точек в количестве Cnk , находящихся на одной вертикали (с одной и той же абсциссой F1(k) ) и легко отобрать из них самую «верхнюю».

Преобразуя выражение для F2(X) к виду:

видим, что при h < 1 максимум F2(x) достигается при минимально возможных значениях Xj; (т.е. когда в двоичном разложении m все k единиц – при отсчете позиции слева, – расположены на правом конце,

m = 2k – 1, Xi = si, i ≤ n – k, Xi = sn–k hi–n + k, i > n – k),

а при h > 1 – при максимально возможных Xj (т.е. когда все единицы в разложении m – слева,

m = 2n–k (2k – 1), Xi = hi, i ≤ k, Xi = hk si–k, i > k).

Поэтому получаем:

убывает:

123

Поэтому:

если h – 1 ≥ (1 – s)ϕmax (или p ≥ 1 + g), то zk ≥ 1 для всех k = 0,1, ..., n–2, F2max = F2(n – 1) = hn–1(h – s), и ПF состоит из одного

(последнего) отрезка ломаной – верхней границы F(2);

124

В таблице 9.2 приведены значения F1, F2 для всех вершин

верхней границы и видно, что F2max больше F2(0) на 32 %, т.е. максимум дивидендов получается не тогда, когда вся прибыль вы-

дается на дивиденды, а когда (n – 1) период вся прибыль идет в фонд накопления, а в последний период выдаются дивиденды. Еще раз отметим, что окончательный выбор точки на ПF – в компетенции руководства фирмы.

Таблица 9.2

Если при тех же остальных условиях p = 0.4 (т.е. 40 %), то h = 0.14 < 1 и все вершины F(k) принадлежат ПF – результаты приведены в таблице 9.3

Таблица 9.3

Возможны различные модификации рассматриваемой задачи, но здесь мы на них не останавливаемся, предлагая их исследовать в порядке упражнений.

Упражнение 9.2. Рассмотреть модель, в которой дивиденды рассчитываются как доля от всего накопленного к концу пери-

125

ода капитала (с условием неубывания остающегося капитала с учетом дисконтирования).

Упражнение 9.3. Если на каждом этапе из множества Парето выбирается некоторая промежуточная точка, то каков должен быть оптимальный выбор этой точки?

Построение множества Парето методом двоичного разложения номеров вершин (как для стационарного, так и для нестационарного случая) реализовано в программе DIVn, разработанной на кафедре высшей математики исследования операций Ростовского государственного университета в 2003 г.

Упражнение 9.4. Проверить расчеты упражнений 9.2–9.3 по этой программе.

Рассмотренная в этой главе задача несколько специфична, и вряд ли часто встретится в инженерной практике, но при решении ее читатель знакомится с важными методическими моментами: аккуратной постановкой не совсем простых экономических задач, эффектом их преобразования к более простому виду, применением методов линейного параметрического программирования и новым методом, неожиданным для практики методов оптимизации, – методом эффективного использования нумерации вершин и двоичного разложения их номеров.

126

10. В

Но толку нет от мыслей и наук, Когда повсюду – их опроверженье!

В. Высоцкий

Линейное программирование фактически началось с рассмотрения задачи выбора оборудования для заданного технологического процесса. Однако при этом внешние параметры (объемы выполнения различных работ) предполагались заданными, детерминированными. В действительности эти объемы подвержены случайным изменениям, и здесь мы рассмотрим эту более общую ситуацию, используя простейшие соображения и строя детерминированный эквивалент стохастической задачи.

При этом будет применен «игровой подход». Будем считать, что все возможные варианты случайных условий работы, зависящие от многих случайных факторов, перенумерованы (k = 1, …, n), и частоты появления каждого варианта pk – известны. Процедура сведения непрерывной случайной среды к дискретной называется квантованием, и для ее реализации предложены достаточно простые процедуры, но здесь мы считаем такое сведение уже выполненным.

Пусть у нас имеется список возможных типов машин (j = 1, …, m), которые могут справиться с необходимыми работами и из которых необходимо сформировать оптимальный парк (обеспечивающий выполнение всех работ с минимальными суммарными затратами). То есть используется «жесткое» понимание ограничений (работы должны быть выполнены при всех случайных реализациях среды) и осредненное понимание целевой функции (должен быть достигнут минимум среднего значения суммарных затрат).

Игровой подход нам подсказывает, что, поскольку стратегия «противника» известна (частоты появления различных условий), оптимальной стратегией выбора парка является одна из «чистых стратегий», т.е. выбор одномарочного парка, но остает-

127

ся решить, какого типа машины и в каком количестве нужно выбирать. Решение о выборе одномарочного парка подтверждается и анализом других, более детализированных моделей, и организационными соображениями – простотой обслуживания при таком выборе. Однако необходимо подчеркнуть различие между случайным изменением условий и их разнообразием – для каждого из разных типов условий выбирается свой оптимальный тип машины (оборудования), а для их совокупности возникает смешанный парк.

Для каждого фиксированного варианта условий (k) и каждого типа машин (j) может быть подсчитано (например, методами, рассмотренными в 5.5) число необходимых машин nkj и затраты на одну машину ckj. Если для всех вариантов условий выбирается nj машинj-готипа,товоднихусловияхчастьмашинбудет«лишней», а в других – их не хватит для выполнения работ. Поэтому возни-

кают дополнительные затраты dkj (nj – nkj) если nj > nkj, и bkj(nkj – nj), если nj < nkj (для простоты мы предполагаем, что дополнительные

затраты пропорциональны числу лишних или недостающих машин). Средние суммарные затраты для все вариантов случайных условий при выборе nj машин j-го типа будут равны:

Для получения оптимального решения необходимо последовательно решить:

–m одномерных задач минимизации («горизонтальные» задачи – по каждой строке, j, отвечающей фиксированному типу машины), найти минимальные средние затраты для этого

типа машин Zj* = min Zj(x) и необходимое количество таких машин x* = nj*;

–одну «вертикальную» задачу – выбор минимума средних затрат по всем типам машин min Zj* = Z *j*.

Врезультате мы получаем ответ на поставленные вопросы: какой тип машин нужно выбрать (j* ), и сколько таких машин

требуется (n*j*).

Поскольку все функции Zj (x) – кусочно-линейны, поиск их минимума сводится к перебору значений, в которых функция имеет «изломы»).

128

kj

Данныеотвечаютрастущим (вместе с номером типа машины) затратам и растущим

(с ростом номера случайного варианта) объемам работ, а следовательно, и необходимого числа машин. Поскольку число машин должно быть целым, эти зависимости не вполне монотонны. Кроме того, с ростом затрат может расти и производительность. Выбор минимального числа машин может привести к росту дополнительных затрат (на оплату сверхурочных работ или аренду дополнительных машин, что связано также с ростом затрат).

Результаты расчетов сведены в таблицу 10.3.

Таблица 10.3

Решения «горизонтальных» задач выделены жирно в каждой строке и сведены в последние столбцы. Просмотр их дает решение «вертикальной» задачи: оптимальным является выбор пяти машин первого типа, что дает наименьшие средние затраты при всех возможных реализациях.

Упражнение 10.4. При тех же данных рассмотрите, как изменится решение, если изменятся вероятности различных ситуаций.

Упражнение 10.5. Измените значения затрат и проведите самостоятельные расчеты.

Упражнение 10.6. Составьте программу рассмотренной процедуры и проведите по ней вычислительные эксперименты.

129

11. М

Не только философам, но равно и всем прочим сладостнее всего – познавать.

Аристотель

Многие задачи принятия решений могут быть сформулированы как задачи выбора некоторого варианта b из конечного множества M, варианта, в каком-то смысле наилучшего:

b* > b b M. ( b* > b f (b*) > f (b))

Наиболее общим методом решения подобных задач является метод ветвей и границ (МВГ), основанный на следующих двух моментах:

1)Все множество вариантов представляется в виде дерева сужающихся подмножеств M(k) M(k-1) ... M = M(0), конечные ветви которого отвечают конкретным вариантам;

2)На каждом подмножестве вводится мажорирующая f функция ϕ (верхняя граница):

ϕ(x) ≥ f (x) x M(k)

иподсчитывается

Отметим, что эффективность этого метода зависит от того, насколько удачно построено дерево вариантов (такое ветвление, при котором как можно больше вариантов отсекается на ранних стадиях ветвления), и насколько эффективно строятся границы

ϕM(k ) (они должны быть легко вычисляемы и достаточно близки

к точным верхним границам max f (x)).

x M(k )

130