Детерминированная финансовая математика. Учебное пособие

Долей ресурса Z, которую мы хоти вложить в первое подразделение! Обозначим эту долю:

U(t) = c1x′(t) / (c1x′(t) + c2 y′(t))

и будем искать эту третью неизвестную функцию (парадоксальное решение, но вполне в духе математического подхода, и часто применяемое).

Заметим, что слагаемые правой части (12.4) должны быть неотрицательными (то есть ищется монотонное развитие обоих подразделений, без спадов и локаутов), и поэтому введенная функция управления может принимать значения от 0 до 1:

0 ≤ U(t) ≤ 1.

Теперь основные уравнения можно записать в виде:

Z1 = c1x′(t) = U(t) (c1 x′(t) + c2 y′(t)) = U(t) [(1 – a1) x(t) – a y(t)], Z2 = c2 y′(t) = [1 – U(t)] c1 x′(t) / U(t) =

=(1 – U(t)) [(1 – a1 ) x(t) – a y(t)], (12.5)

и мы получили стандартную форму задачи оптимального управления: два дифференциальных уравнения для двух неизвестных функций x(t), y(t), причем в правые части этих уравнений входит неизвестная функция управления U(t), выбор которой изменяет эти уравнения и закон движения системы. Теория таких задач успешно развивалась в середине ХХ-го века, наибольший вклад в развитие методов их решения внесен американским ученым Р. Беллманом (с широким применением идей динамического программирования) и российскими учеными Понтрягиным, Болтянским и др. Не имея возможности здесь излагать даже простейшие основы этой теории, отметим два важных факта, необходимых для решения рассматриваемой задачи:

Для большинства задач такого рода имеет место принцип релейного управления – на оптимальных траекториях управление должно принимать свои крайние значения («все или ничего»).

В данной задаче можно показать, что имеется не более одного момента переключения управления ( с одного крайнего значения на другое).

Прежде чем использовать эти факты, преобразуем задачу к более простому виду, вводя удачные масштабы рассматриваемых функций и времени Т – ясно, что с традиционной «астрономической» единицей измерения времени задача мало связана. По-

141

вечает той части положительного квадранта, которая находится под биссектрисой (рис. 12.3).

y

Y

y

Рис. 12.3

Как отмечено выше, оптимальная траектория (переводящая начальную точку на прямую х2 = х21 за кратчайшее время) состоит из двух частей, причем очевидно, что на первом участке U(τ) = 1 (весь имеющийся ресурс вкладывается в развитие подразделения А), а на втором участке U(τ) = 0 (весь ресурс вкладывается в развитие подразделения Б, ускоренное развитие производства предметов потребления). Это вполне согласуется с декларированным политэкономией и реализовывавшейся практикой преимущественного развития подразделения Б, од-

142

нако из рассматриваемой модели можно найти пределы применения этого принципа (момент переключения). Игнорирование такого переключения, как известно, привело к ужасной диспропорции между этими подразделениями, последствия которой сказываются до сих пор.

Для крайних значений управления легко найти общее реше-

143

изводная меняет знак с минуса на плюс. Этот результат интересен и с математической, и с экономической точки зрения: время перехода по последнему (второму) участку оптимальной траектории, время наращивания уровня потребления, не зависит ни от начального уровня, ни от конечного (а только от единственного безразмерного параметра α)! И связано это с тем, что предварительно наращиваются производственные мощности – чем большее отставание нужно преодолеть, те больше необходимо развить производственный сектор!

Из этой формулы вытекает, что k = 1 + α и прямая переключений определяется точкой М и угловым коэффициентом (–α) – рис. 12.3. Ее уравнение имеет вид:

х21 (1 + α) = х2п + х1п α.

Теперь легко найти х1п = [х21 (1 + α) – х20] / α. и τ′, а по τ′ и z вычислить минимальное τ1 = τ′ + z (и по введенным масштабам

время t1).

В приведенном изложении мы умышленно не использовали полностью аппарат теории оптимального управления, связанный с введением уравнений для сопряженных функций, их интегрирования при крайних значениях управления и вычисления значения времени, при котором соответствующая комбинация сопряженных функций меняет знак, а следовательно, отвечает максимуму функции Гамильтона – Понтрягина – Беллмана. Разумеется, результат получается тот же. Использование этого ап-

144

парата позволяет не постулировать основные положения 1, 2, а убедиться в их справедливости.

Можно теперь свести воедино все полученные соотношения и записать общую схему расчетов:

1.По исходным данным вычислить

α = с1 а2 / с2 (1 – а1), T = c1 / (1 – a1) и

D = (x21 – x20) / (x10 – x20) = а2 (Y – y0) / ( (1 – a1) x0 – a2 y0).

2.Найти z* = ln (1 + α) / α и τ′ = ln [D (1 + α)/α]

3.Проверить, не превзойдена ли точка переключения

τ′ <0 или х1п = [х21 (1 + α) – х20] / α.> x10 (или [а2 (Y(1 + )α – y0)] > α ((1 – a1)x0).

Еслиэтоусловиенарушено,тооптимальнаятраекториясосто-

ит только из второго участка, τ1 = ln D1 /α, D1 = (x21 – x10) / (x20 – x10) и перейти к 5.

4.Найти τ′ = ln [D (1 + α)/α]

5.τ1 = z* + τ′

6.Вернуться от безразмерного к реальному времени

t1 = Tτ1 (tп = T τ′).

Приведем примеры.

1.Пусть а1 = 0.5, а2 = 0.6, с1 = с2 = 0.5 (лет), х0 = .3, у0 = 2,

У = 5 – в млрд или триллионах рублей (то есть необходимо под-

нять уровень потребления в 2.5 раза).

При этих данных: Z0 = 0.3, α = 1.2, z* = ln 2.2 / 1.2 = 0.657,

x10 = 1.5, x20 = 1.2, x21 = 3, T = 1 (то есть введенный масштаб времени совпадает с естественным), D = 6, τ′ = ln [D (1 + α)/α] = = ln 11 = 2.398, τ1 = t1 = 3.055.

То есть для подъема уровня потребления в 2.5 раза необходимо почти 2.4 года наращивать подразделение А, а затем за 0.657 года нужный уровень достигается за счет развития подразделения Б (на основе накопленных производственных мощностей).

При этом х1п = (3 × 2.2 / 1.2 –1) = 4.5 (хп = 9), то есть за время первого этапа производственные мощности (или объем производства подразделения А) должны вырасти в 3 раза.

2. Пусть при тех же данных изменилось х0 = 10 (х10 = 5 > 4.5). Тогда имеет место только 2-й участок оптимальной траектории (сразу все ресурсы вкладываются в подразделение Б),

D1 = (3 – 5) / (1.2 – 5) = 0.5263, t1 = 0.535.

145

3. Пусть х0 = .3, у0 = 2, У = 5, но а1 =0.4, а2 =0.3, с1 =с2 =10 (лет). Тогда Z0 = 1.2, α = 0.5, z* = ln 1.5/ 0.5 = 0.8109,

x10 = 1.8, x20 = 0.6, x21 = 3, T = 16.6666,

D =5/6, τ′=ln[D (1+α)/α]=ln2.5=09163, τ1=1.727, t1 =28.783,

то есть в этом случае для повышения уровня потребления в 2.5 раза уже потребуется почти 29 (!) лет, из которых на «разгон» производственных мощностей – 15.27 лет.

Упражнение 12.4. Для последнего примера подсчитать значения объемов производства подразделений в момент переключения управления (изменения стратегии).

Упражнение 12.5. Провести расчеты для самостоятельно выбранных исходных параметров.

Упражнение 12.6. Составить программу и провести вычислительные эксперименты.

Разумеется, приведенная модель является крайне упрощенной – в Москве и Новосибирске для анализа реальных стратегий развития экономики строились и исследовались подобные модели для десятков ее отраслей, что требовало не только сложных программ и обобщенного математического анализа, но и трудоемкого сбора исходных данных. Тем не менее даже упрощенная модель выявляет важные особенности планирования на уровне макроэкономики, в частности, показывает недопустимость применения общих нормативов, приведших нашу экономику к диспропорции подразделений А и Б.

Многие другие задачи макроэкономического анализа могут быть исследованы на основе описанных ранее подходов для микроэкономики. Например, проблемы формирования шкалы подоходного налога, защиты отечественных производителей и т.п. легко формулируются с помощью развитых методов решения многокритериальных задач. Интересно, что полученные в таких моделях выводы о преимуществе единой шкалы подоходного налога вначале были встречены «в штыки», а через несколько лет – реализованы в законах о налогообложении.

146

З

…Сейчас стране нужны не просто специалисты в области макроэконо- мики, а экономисты, имеющие инже- нерное мышление.

С.П. Глазьев

Закончено рассмотрение тех вопросов, которые необходимы любому специалисту при анализе возникающих в его практике экономических проблем.

Разумеется, список этих вопросов далеко не полон – нельзя заранее описать все задачи, которые возникают в практике принятия решений, в практике технико-экономического анализа. Но при изложении включенных в учебник вопросов слушатели (студенты, магистранты, аспиранты и дипломированные специалисты, проходящие переподготовку и повышающие квалификацию) могли познакомиться не только с основными понятиями экономики (в основном, микроэкономики) и подходами к постановке экономического обоснования принимаемых технических и организационных решений, но и с методами формального описания и анализа возникающих задач как задач математического моделирования изучаемых процессов, и с методами их решения.

Поскольку математическое моделирование технико-экономи- ческих задач, при имеющейся у них специфике, подчиняется общим законам и принципам математического моделирования любых других процессов, в учебном пособии на каждом шагу, при

147

рассмотрении каждой частной и конкретной задачи эти общие вопросы и подходы, насколько это было возможно, рассматривались и иллюстрировались. Тем не менее целесообразно еще раз отметить самые общие принципы:

–системный анализ любой задачи, четкое указание ее места в ряду других задач – более общих и более частных;

–обязательное указание принятых упрощений, ограничений и предварительных (априорных) предположений, выделяющих всегда ограниченную область приложения построенных моделей и недопустимость слишком широкого применения и истолкования полученных выводов;

–обязательное выделение на первых же шагах рассмотрения любой задачи трех основных моментов: чем мы распоряжаемся, управляем; как мы можем этими величинами распоряжаться (в каких пределах, какими уравнениями или неравенствами они связаны); зачем мы все это делаем, с какой целью или с какими целями;

–желательное преобразование каждой задачи к наиболее простому виду, в первую очередь за счет введения масштабированных, безразмерных переменных и параметров (при этом каждому рассматриваемому варианту преобразованной задачи отвечает множество вариантов реальных задач). В таблице принципы построения и анализа математических моделей представлены более конкретно.

Сводка основных принципов построения и анализа математических моделей

148

149

Конечно, для наиболее эффективного применения этих принципов необходим опыт решения различных задач и выработанная на основе этого опыта интуиция. Однако их системное изложение, а также приведенные в учебнике примеры формализации, анализа и интерпретации задач создают основу для этого опыта и выработки навыков исследования и принятия решений.

150