Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие
.pdfРОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. ИММАНУИЛА КАНТА
Л.Г. Корсакова
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Часть II
Учебное пособие
Издательство Российского государственного университета им. Иммануила Канта
2007
Введение
УДК 512.64(07) ББК 22.11я73
К 69
Рецензенты:
профессор института планирования, производства и логистики Гёттингенского университета, доктор экономики Ю. Блёх; профессор института статистики и эконометрики Гёттингенского университета, доктор математики Ф. Бёкер
Корсакова Л.Г.
К 69 Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие. Ч. 2. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. — 158 с.
ISBN 978-5-88874-850-3.
Пособие подготовлено в рамках международного проекта «Еврофакультет. Калининградская инициатива». Оно основано на новейшей зарубежной и российской литературе, современных образовательных методиках ведущих университетов и соответствует требованиям российского образовательного стандарта.
Основные разделы посвящены рассмотрению и применению в экономике аппарата теории пределов и дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных. В пособии содержится большое количество разработанных автором примеров использования данного инструментария для решения экономических задач, что обеспечивает хорошую мотивацию студентов и эффективную организацию их самостоятельной работы.
УДК 512.64(07) ББК 22.11я73
© Корсакова Л.Г., 2007
ISBN 978-5-88874-850-3 © Издательство РГУ им И. Канта, 2007
Введение
СОДЕРЖАНИЕ
Введение................................................................................
I. Числовая последовательность и ее предел
Ключевые термины, обозначения, формулы.................
1.Способы задания, ограниченность и монотонность числовой последовательности........................................
2.Предел последовательности............................................
3.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о пределах ....................
Задания..............................................................................
II.Предел и непрерывность функции
Ключевые термины, обозначения, формулы.................
4.Предел функции на бесконечности и в точке ...............
5.Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций ............................................................
6.Непрерывность функции в точке....................................
7.Свойства функций, непрерывных на отрезке................
8.Асимптоты........................................................................
9.Замечательные пределы..................................................
Введение
10.Следствия из числа e.......................................................
Задания..............................................................................
III.Применение пределов в экономических расчетах
11.Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов........................................................................
12.Потоки платежей. Финансовая рента...........................
Задания............................................................................
IV. Производная и дифференциал
Ключевые термины, обозначения, формулы................
13.Производная. Экономический смысл производной....
14.Основные правила дифференцирования......................
15.Односторонние и бесконечные производные..............
16.Производные высших порядков....................................
Задания............................................................................
V. Основные теоремы дифференциального исчисления
17.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши....................
18.Раскрытиенеопределенностей по правилу Лопиталя....
19.Формулы Тейлора и Маклорена....................................
VI. Применение производных к исследованию функций
20.Возрастание и убывание функций................................
21.Экстремум функции.......................................................
22.Направление вогнутости. Точки перегиба...................
Задания............................................................................
Введение
VII. Функции нескольких переменных
Ключевые термины, обозначения, формулы................
23.Функции нескольких переменных в экономике.
Предел и непрерывность................................................
24.Частные производные. Градиент ..................................
25.Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе...............................................
26.Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных.................................................
27.Наибольшее и наименьшее значение функции ...........
Задания............................................................................
Тематический указатель....................................................
Список рекомендуемой литературы ...............................
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Современная экономическая теория включает как необходимый, естественный элемент математические методы и модели. Переводя экономическую (или любую другую) задачу на математический язык, исследователь получает возможность использовать для ее решения всё разнообразие и богатство средств математики. Результаты, полученные с помощью количественных методов экономического анализа, позволяют подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу, построить прогноз, составить оптимальный план функционирования экономического объекта и многое другое. Математические методы и модели активно используются как в управлении на макроуровне, так и в принятии решений на уровне отдельной организации. Экономико-математические методы завоевали доминирующее место и в хозяйственной практике, бизнесе, в принятии решений на уровне экономической политики государств. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного экономиста.
Курс высшей математики является базовой дисциплиной для всей системы экономико-математической подготовки. Цель курса «Высшая математика» — освоение студентами математического аппарата, который используется в различных дисциплинах учебного плана, и применение его в качестве математического инструментария для решения конкретных экономических и управленческих задач.
Данная книга — это вторая часть учебного пособия «Выс-
шая математика для экономистов» [1; 2], предназначенного для математической подготовки студентов направления «Бакалавр экономики». Она содержит такие разделы математиче-
Введение
ского анализа, как «Введение в анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной или нескольких переменных». Математический анализ, с одной стороны, представляет собой основу всей высшей математики, с другой — является наиболее сложной ее частью. Математический анализ особенно интенсивно применяется при решении задач экономики, управления и финансовой математики.
Выпускник бакалавриата по экономике имеет возможность продолжить образование в магистратуре по одной из программ направлений «Экономика» или «Менеджмент». Это предполагает даже более высокие требования к математической подготовке бакалавров, чем специалистов, обучающихся по пятилетней программе.
Образовательные стандарты предусматривают и соответствующее число часов по данному курсу. Так, на изучение высшей математики по направлению «Бакалавр экономики» отводится 408 аудиторных часов, из них 170 часов лекционные, в то время как для подготовки специалистов профиля «Менеджмент организации», «Маркетинг» или «Финансы и кредит» на изучение высшей математики предусмотрено в два раза меньше часов, а именно 204 часа аудиторного времени, причем 102 часа отводится на лекции.
Именно поэтому в данной книге особое внимание уделено теории пределов, на которой базируется весь анализ, и ее применению в задачах экономики и финансовой математики. Дается строгий вывод всех используемых формул с доказательством большого числа теорем и рассмотрением особых случаев. Этого требует современная система образования: студент должен понимать и ясно осознавать правильность используемых формул и результатов, а не просто верить в их незыблемость.
Пособие состоит из семи глав. В каждой главе содержится теоретический материал ипримеры решения типовых задач. Там, где это возможно, дается экономическая интерпретация математических понятий и приводятся примеры задач, отражающих специфику экономических расчетов. В конце каждой главы, кроме главы V, приведены задания, предназначенные для самостоя-
Введение
тельной работы студентов. Нумерация примеров — общая в каждой главе, нумерация формул идет по параграфам. Пособие содержит большое количество практических задач экономического содержания. Как показывает опыт автора, их решение способствуетмотивации студентовпри изучении курса.
Методологической основой для данного учебного пособия стали базовые учебники мирового уровня, используемые для подготовки экономистов в ведущих образовательных центрах России, Европы и США, опыт автора, приобретенный во время зарубежных стажировок, и собственные разработки. Например, книги [3—7] являются базовыми в таких ведущих экономиче-
ских вузах России, как Высшая |
школа экономики, МГУ |
им М. В. Ломоносова, Российская |
экономическая академия |
им. Г. В. Плеханова, Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации, Всероссийский заочный фи- нансово-экономический институт (Москва) и др. Учебник А. Чанга «Фундаментальные методы математической экономики» [10] является базовым при подготовке магистров в ведущих университетах США и Европы. Фундаментальный учебник «Вычисления и аналитическая геометрия» профессоров университета Джорджии (США) Эдвардса Г. и Пенни Д. [11] объемом более 1000 страниц выдержал уже пятое издание в США и очень популярен также и в Европе. Учебник «Математика для экономического анализа» норвежского автора К. Сюдсетера [12], изданный, как и вышеупомянутый учебник [11], наиболее престижным на Западе издательством Prentice-Hall, в настоящее время один из самых востребованных учебников в университетах США и Европы. «Справочник по математике для экономистов » [21] этого же автора, широко используемый в университетах стран ЕС, переведен на русский язык.
По книгам Ф. Бёкера [9] и Ю. Блёха [8] обучаются математике экономисты в Германии, например в Гёттингенском университете.
В качестве дополнительной литературы на русском языке можно порекомендовать книги [1—24]. Это и новейшие учебники, и учебные пособия, предназначенные именно для эко-
Введение
номистов, и специальные книги, например: [2; 4; 23; 24], касающиеся применения аппарата математического анализа в финансовой практике. В рамках международного проекта «Еврофакультет» автору удалось ознакомиться с новейшими учебниками и учебными пособиями на немецком и английском языках, по которым обучаются математике студенты экономических специальностей в странах ЕС и США. Их перечень приведен в списке основной [8—12] и дополнительной литературы: это книги [25—31; 33—38; 40—50]. Знакомство c такой литературой будет очень полезно для студентов, которые во-первых, планируют заниматься научной работой на стадии получения степени бакалавра, во-вторых, поступать в магистратуру, и в-третьих, вести совместные научные исследования с зарубежными коллегами. Основной тенденцией в западных университетах является повышение ответственности студентов за результаты образовательного процесса, активизация их самостоятельной работы. Главное для таких студентов — самостоятельная работа по изучению не только продвинутой учебной, но и научной литературы в области экономи- ко-математических методов. Именно поэтому в список рекомендованной для студентов литературы включены сборники научных статей и материалы научных семинаров [32; 39].
При подготовке учебного пособия были учтены программы по математике, по которым работают в Высшей школе экономики (Москва), Афинском университете экономики и бизнеса (Греция), Гёттингенском университете (Германия), Санкт-Петербургском университете экономики и финансов, Лондонской школе экономики.
При подготовке пособия большую помощь оказали коллеги, консультировавшие автора во время стажировок в Высшей школе экономики (Москва), в Афинском и Гёттингенском университетах, за что им автор признательна.
Неоценимую помощь при разработке учебных программ по математике по направлениям «Бакалавр экономики», «Магистр экономики» и подготовке пособия оказали рецензенты
Введение
— профессора Гёттингенского университета Юрген Блёх и Фред Бёкер, за что автор им благодарна.
Автор выражает благодарность координатору проекта «Еврофакультет» профессору Роскильского университета (Дания) Полу Вольфсену за всестороннюю поддержку при подготовке и публикации пособия; декану математического факультета С. А. Ишанову за внимание и поддержку в работе; коллегам по университету и студентам экономического факультета РГУ им. И. Канта за плодотворное сотрудничество и надежду на конструктивную критику, которая будет способствовать совершенствованию работы; сотрудникам Издательства РГУ им. И. Канта за ценные замечания при подготовке пособия к печати и замечательное издательское оформление.