Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Решение. Имеем неопределенность вида (∞ — ∞), для нахождения данного предела умножим и разделим данное выражение на сопряженное:

малая, тогда по лемме 2 произведение таких переменных есть

величина бесконечно малая. Итак, limcos2 (n +3) =0.

n→∞ n

Задания

1.Формулируя определение предела, студент вместо пред-

ложения «выполняется неравенство xn − a < ε» сказал: «выполняется неравенство xn − a < ε». Доказать, что при таком

определении число 5 является пределом последовательности

1, 1, 1,..., 1,...

2. Формулируя определение предела, студент вместо предложения «для любого ε > 0» сказал: «для любого ε». Существуют ли последовательности, обладающие пределом при таком определении?

II. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Ключевые термины, обозначения, формулы

● предел функции в точке а

lim f (x) = A

x→a

● предел функции на бесконечности

lim f (x) = A

x→∞

●непрерывность функции в точке x0

●бесконечно малая и бесконечно большая переменная

●асимптоты кривой

●замечательные пределы

4. Предел функции на бесконечности и в точке

Предел функции на бесконечности определяется аналогично пределу последовательности с той лишь разницей, что аргумент функции, возрастая, пробегает все действительные значения, а не только натуральные в случае последовательности.

Определение. Говорят, что функция f(x) имеет своим пределом число А при x→∞, если для любого сколь угодно малого

4. Предел функции на бесконечности и в точке

Пусть функция f(x) определена на множестве X. Назовем точку а предельной точкой множества X, если любая окрестность точки а содержит точки множества X, отличные от а. Другими словами, точка а есть предельная точка множества X, если существует последовательность точек x1 ,x2 ,x3 ,K множества X, от-

личных от а, и сходящаяся к а. Предельная точка множества X может и не принадлежать самому множеству X, например, если X = (α, β), т. е. открытый интервал, то точки α и β являются предельными точкамимножества X, хотяи непринадлежат ему.

Пусть а — предельная точка множества X. Приведем два определения предела функции в точке а. Сама функция при этом может быть и не определена в точке а, а окрестность точки а за исключением самой точки а носит название проколо-

той окрестности точки а.

Определение 1. Говорят, что число А называется пределом функции f(x) при x → а, если для любой последовательности значений аргумента { xn }, имеющей своим пределом число а,

т. е. limxn = a , соответствующая последовательность значений

n→∞

функции { f (xn ) } имеет один и тот же предел А, lim f (xn ) = A .

n→∞

Это определение называют определением предела функции через последовательность, или определением, по Гейне. Обо-

значается предел функции в точке символом lim f (x) = A . По-

x→a

скольку предел функции определяется через предел последовательности, то для функций справедливы все теоремы о пределах, которые были доказаны для последовательностей.

Второе определение называют определением предела функции по Коши, или определением на «языке ε−δ».

Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при x → а, если для любого сколь угодно малого положитель-

ного числа ε > 0 найдется зависящее от ε число δ > 0, δ = δ (ε),

что для всех x, не равных а и удовлетворяющих условию x − a <δ , выполняется неравенство f (x) − A <ε .

4. Предел функции на бесконечности и в точке

если существует lim f (x) = A , то существуют и оба односто-

x→a

ронних предела, совпадающие с А.

5. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Определение. Функция α (x) называется бесконечно малой

функцией при x → x0 , если ее предел равен нулю: limα(x) = 0 .

x→x0

Как было доказано ранее, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми, чего нельзя сказать о частном: деление одной бесконечно малой функции на другую может дать различные результаты.

Пусть при x → x0 функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми.

Если lim β((x))= 0 , то функция β (x) называется бесконечно

x→x0 α x

малой функцией высшего порядка малости относительно α (x),

что записывается в виде β (x) =o(α (x)), или в сокращенном виде β = o(α). Читается «о малое», этот символ называется

символом Ландау.

вивалентными бесконечно малыми функциями, их обозначают следующим образом: α (x) β (x), или α β.

Если lim β((x))= A (отличное от нуля конечное число), то

x→x0 α k x

β (x) называется бесконечно малой функцией k-го порядка малости относительно α (x).

6. Непрерывность функции в точке

Иначе говоря, функция f(x) непрерывна в точке, если знаки предела и функции можно поменять местами, т. е.

Это определение можно дать еще и следующим образом. Обозначим x = x − x0 , y = y − y0 и назовем эти разности соот-

ветственно приращением аргумента и приращением функции.

Определение. Говорят, что функция y = f(x) непрерывна в точке x0 , если приращение функции стремится к нулю вместе

с приращением аргумента, т. е. y→0, если x→0.

Очевидно, чтобы функция y = f(x) была в данной точке x0

непрерывной, необходимо, чтобы в этой точке:

1) существовали оба односторонних предела

2) они были равны.

Если хотя бы одно из этих условий нарушено, то говорят, что в точке x0 функция имеет разрыв. Различают два вида

разрывов.

В точке а имеется разрыв I рода, или скачок, если оба односторонних предела существуют, но они не равны между собой f(a + 0) ≠ f(a – 0).

В точке а имеется разрыв II рода, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен

бесконечности.

Пример 2.4. Найти lim x2 − 4 .

x→2 x − 2

Решение. Имеем неопределенность вида 00 . Для раскры-

тия этой неопределенности разложим числитель на множители и при x ≠ 2 сократим сомножители (x – 2). Получим непрерывную функцию: