Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

VI. Применение производных к исследованию функций

постройте ее график. Пользуясь этим графиком, определите, при каком объеме производства выручка максимальна (минимальна). Чему равна при этом предельная выручка?

25.В пункте В, расположенном в 6 км от реки AD, производится добыча руды (расстояние AD =100 км, AB =6 км). Руду сначала везут на машинах до реки, затем на барже доставляют в пункт D. Стоимость перевозки руды на 1 км на машинах в 2 раза выше стоимости доставки на барже. Где необходимо начинать доставку руды баржей, чтобы суммарная стоимость транспортировки груза была наименьшей?

26.Имеется проволока длиной 120 м. Требуется огородить участок для выпаса домашних животных в виде прямоугольника, чтобы площадь участка была наибольшей.

27.Требуется огородить сад прямоугольной формы так, чтобы с трех сторон сад был огорожен сеткой, а четвертая примыкала к дому. При каких размерах сад будет иметь наибольшую площадь, если имеется 160 погонных метров сетки?

28.Издательство выпускает детективные романы. Текст на странице должен занимать 300 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое по 1см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страниц?

29.Оптовый склад находится от железной дороги, идущей

сюга на север и проходящей через город Калининград, считая по кратчайшему расстоянию, в 10 км. Под каким углом к железной дороге следует построить подъездной путь от склада, чтобы транспортировка грузов от склада в город была наиболее экономичной, если стоимость провоза груза по подъездному пути в 2 раза дороже, чем по железной дороге. Калининград расположен в 25 км севернее склада.

30.Если собрать яблоки в начале сентября, то с каждого дерева можно получить 300 кг и реализовать их по цене 20 руб. за кг. Отсрочка уборки яблок на неделю способствует увеличению урожайности на 30 кг с каждого дерева. При этом цена яблок за 1 кг снижается на 1 руб. Когда следует собрать

VI. Применение производных к исследованию функций

37.Фабрика «Морозко» производит x тонн мороженого в

месяц и реализует его по цене Р =20 – 1/10x. Суммарные издержки производства составляют: К = 1/20x2 +5x +200. Определите, при каком объеме производства прибыль фабрики будет максимальной. При каком объеме производство становится убыточным?

38.Если собрать помидоры в начале августа, то можно получить 100 кг и реализовать их по цене 40 руб. за кг. Отсрочка уборки урожая на неделю способствует увеличению урожайности на 10 кг. При этом цена помидор за 1 кг снижается на 2 руб. Когда следует собрать помидоры, чтобы доход от их продажи был максимальным, если срок уборки 2 месяца.

39.Главному редактору газеты «Калининградская правда» дано задание: найти наиболее выгодные размеры страницы

газеты, принимая во внимание только экономию бумаги. Текст на странице должен занимать 900 см2. Верхнее и нижнее поля должны быть по 2 см, правое и левое по 0,5 см.

40.Исследовать функцию и построить ее график

VII. Функции нескольких переменных

23. Функции нескольких переменных в экономике. Предел и непрерывность

Ранее мы рассматривали функции y = f(x) одной переменной. Областью определения такой функции является множество X R. В экономике часто рассматриваются и использу-

ются многофакторные функции, или функции нескольких переменных. Например, производственные функции, в которых независимых переменных бывает несколько. Производственные функции описывают взаимосвязь между объектами вовлечения и получения благ в ходе деятельности предприятия. Часто вовлекаемые блага называют факторами производства, «Input» («вход»), или исходными продуктами. К выпускаемым благам относятся полуфабрикаты и готовые изделия, промежуточная и готовая продукция; они называются выпуском продукции? или «Output» («выход»).

Например, производственная функция Кобба — Дугласа имеет вид Y =Y0 Kα L1−α , где Y — величина общественного

продукта, L — затраты труда, K — объем производственных фондов (обычно Y и K измеряются в стоимостных единицах, L — в человеко-часах); Y0 и α — постоянные, 0 < α < 1. Пере-

менные K и L меняются независимо друг от друга и каждой упорядоченной паре чисел (K, L) соответствует число Y по

закону Y =Y0 Kα L1−α . Переменные K и L называются независи-

мыми переменными, или аргументами, Y-функцией двух переменных.

Уровень рентабельности R зависит от прибыли P на реализованную продукцию, величин основных (a) и оборотных (b)

фондов, R = a P+b , т. е. R является функцией трех независи-

мых переменных P, a, b.

При изучении закономерностей функционирования некоторой экономической системы каждая входящая в ее состав

VII. Функции нескольких переменных

ствие число z, которое мы можем отложить на прямой, перпендикулярной плоскости Oxy в соответствующей точке (x, y) X. Геометрическое место таких точек будет представлять не-

которую поверхность в пространстве R3 , поэтому уравнение z = f (x, y) часто называют уравнением поверхности.

Пример 7.1. Найти область определения функции z = 1− x2 − y2 .

Какая поверхность задается уравнением z = 1− x2 − y2 ?

Решение. Область определения функции z находится из условия 1− x2 − y2 ≥ 0, x2 + y2 ≤1, т. е. это круг радиуса 1 с центром в начале координат. Преобразовав уравнение поверхности к виду x2 + y2 + z2 =1 с учетом того, что z ≥ 0, получим, что это

верхняяполусферарадиуса 1 с центромвначалекоординат. Пусть процесс производства описывается с помощью

двухфакторной производственной функции z = f (x, y). Равенство z0 = f (x0 , y0 ) означает, что при затратах ресур-

сов в объемах x = x0 , y = y0 выпуск продукции составляет z0 единиц (в натуральном или стоимостном выражении). Возникает вопрос: можно ли достичь уровня выпуска z0 при других объемах затрат этих ресурсов? На математическом языке это

Oxy множество точек, в каждой из которых функция z = f (x, y) принимает одно и то же значение z0 .

Определение. Линией уровня функции z = f (x, y) называют линию f (x, y) = C, где C = const.

Пример 7.2. Линии уровня функции z = x2 + y2 — концен-

трические окружности радиуса R = C , (С ≥ 0) с центром в начале координат.

VII. Функции нескольких переменных

Вторая производная принимает положительные значения для всех K > 0. Функция L вогнута, L убывает все быстрее с возрастанием K. В процессе производства, описываемом функцией Кобба — Дугласа, ресурсы взаимозаменяемы, причем с ростом затрат одного ресурса высвобождается все большее количество другого.

Сформулируем некоторые свойства изоквант. Свойство 1. Никакие две изокванты не пересекаются.

Если бы существовали точки, принадлежащие одновременно двум изоквантам, то при одних и тех же затратах ресурсов оказалось бы возможным произвести разное количество продукции.

Свойство 2. Если оба ресурса абсолютно необходимы для производства (т. е. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов невозможно производить продукцию), то изокванты не имеют общих точек с осями координат.

Свойство 3. Чем дальше удалена изокванта от начала координат, тем больше соответствующий ей выпуск продукции.

Для функций y = f (x1, x2 ,K, xn ) при n > 2 непосредствен-

ной геометрической интерпретации не существует, но геометрические термины и понятия обобщаются для случаев n > 2 и широко используются при изучении и применении функций

1.ρ (M , N )> 0, если M ≠ N, и ρ (M , M )= 0;

2.ρ (M , N )= ρ (N, M );

3.ρ (M , N )+ ρ (N, K ) ≥ ρ (M , K )