Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

14. Основные правила дифференцирования

y + y = (u + u)(v + v), y = uv , y + y = uv + v u +u v + u v ,

y =v u +u v =Δu v
y =v	u +u	v	+ u	v
x	x	x	x
v →0	при		x →0,

поскольку дифференцируемая функция является непрерывной в данной точке. Переходя к пределу в последнем равенстве,

мы получим (uv)′ = u′v +uv′ .

Теорема. Функция y =

имеет производную, причем

′

u v −uv

Доказательство. Имеем:

y +

y =

u +

v +

y =

u + u u

uv +v u −uv −u v

v u −u v

−

v + v

v(v + v)

y =

−u

→ vu′−uv′,

v → 0 при

x → 0 .

Продолжим

вычисление производных

элементарных

функций, используя доказанные теоремы.

Имеем:

′

sin x

cos2 x +sin2 x

(tgx)

= sec

x ,

cos2

cos x

IV. Производная и дифференциал

′

(ctgx)

= −

= −cosec

x .

sin2 x

Теорема о производной обратной функции.

Пусть 1) y = f (x)

имеет в точке х0 конечную и отличную

от нуля производную

f ′(x0 ).

2) Существует обратная однозначная функция х = g(y), ко-

торая непрерывна в точке y0, где y0 = f(x0).

Тогда

g′( y0 ) существует и равна

f ′(x0 )

Доказательство.

Итак,

y = f (x) дифференцируема и y′ = f ′(x0 )≠ 0 .

Пусть

y ≠ 0 приращение независимой переменной,

х —

соответственно приращение обратной функции.

x = g(y),

x =

lim

= lim

y→0

Так как g(y) непрерывна в точке y0, то при

y → 0 и

x → 0 .

Предел справа существует, x′y

y′x

Пользуясь доказанной теоремой, найдем производные обратных тригонометрических функций.

Пусть y = arcsin , тогда обратная функция x = sin y . Если

−1< x <1 , то −	π	< y <	π	. Тогда
	2		2
x′y = cos y,		y′x =	1	=	1	=	1	=	1	.
x′y = cos y,		y′x =	x′y	=	cos y	=	1−sin2 y	=		.
			x′y		cos y		1−sin2 y	1	− x2

cos y > 0 в указанном промежутке. Таким образом,

(arcsin x)′ =	1	.

1	− x2

14. Основные правила дифференцирования

Пусть y = arccos x , тогда обратная функция x = cos y . При −1< x <1 имеем: 0 < y <π . Тогда

x′y = −sin y y′x

= −

−sin y

−cos 2y

x′y

− x2

Пусть y = arctg ,

тогда обратная функция

x = tg y и при

−∞ < x < ∞ имеем:

−

π < y < π

, тогда

x′y = +

; y′x

= cos

y =

cos2

1+tg 2 y

1+ x2

′

(arctgx)

1+ x2

Пусть y = arcctgx,			тогда обратная функция
−∞ < x < ∞ имеем: 0 < y <π , тогда
1			1		2		1
x′y = −		; y′ =		= −sin		y = −
x′y = −	sin2 y	; y′ =	x′y	= −sin		y = −	1+ ctg 2 y

x = сtg y и при

= −1+1x2 .

Теорема о производной сложной функции

Если функция y = f(u) дифференцируема в точке u0 , а функция u = ϕ(x) — в точке x0 , то сложная функция y = f (ϕ(x)) также дифференцируема в точке x0 и имеет место равенство

′		′		′
yx = yu			ux .
Доказательство. Запишем разностное отношение					y	в
виде:					x
виде:
y	=	y		u
x	=	u		x
x		u		x

и перейдем к пределу в последнем равенстве при x→0, используя теорему о пределе произведения. Получим:

IV. Производная и дифференциал

lim

y = lim

lim

u .

x→0

Поскольку функция u = ϕ(x) дифференцируема точке x0 , то

она и непрерывна в этой точке, значит,

u → 0, когда

x → 0.

Поэтому полученное равенство можно переписать в виде

lim

= lim

lim

u =

lim

u =

x→0

u→0

x→0

x du dx

Теорема доказана.

Пример 4.1. Найти производную функции y = ln (3x2 +1).

Решение. Обозначим u = (3x2 +1), тогда y = ln u. Имеем:

′		u′			2	′		6x
(ln u)	=		,	u′ = (3x		+1) = 6x,	y′ =		.
		u						3x2 +1

Пример 4.2. Найти производную функции y = esin 5x+cos4x .

Решение. Обозначим u = sin 5x + cos 4x, тогда y = eu ,

(eu )′ = eu u′ Найдем производную функции u = sin 5x + cos 4x,

опять используя теорему о производной сложной функции:

u′ = (sin5x)′ +(cos4x)′ = cos5x (5x)′ −sin 4x (4x)′ = . = 5cos5x − 4sin 4x

Итак, y′ = (esin5x+cos 4x )′ = (5cos5x − 4sin 4x) esin 5x+cos 4x .

Логарифмической производной положительной функции y = f(x) называется производная (ln y)′ . Так как (ln x)′ = 1x , то

по правилу дифференцирования сложной функции получим

(ln y)′ = yy′ .

14.Основные правила дифференцирования

Спомощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции. Такое вычисление основано на формуле, полученной из предыдущей умножением на y:

y′ = y (ln y)′.

Используя эту формулу, найдем производную степеннопоказательной функции y = uv , где u = u (x), v = v(x) — дифференцируемые функции, производные от которых известны: y′ = y (ln y)′ = uv (v ln u)′ = uv (v′ ln u + v (ln u)′)=

=uv v′ ln u + v u′ .

Пример 4.3. Найти производную функции y = (cos x)x для

значений x	−	π	,	π	.
		2		2

Решение. Имеем: для указанных значений аргумента функция u = cos x положительна, v = x. Находим производные:

u′ = −sin x, v′ =1,
y′ = (cos x)x ln cos x − x	sin x	= (cos x)x (ln cos x − x tgx).

	cos x

Пример 4.4. Функция затрат имеет вид K = 2x +ln (x + 1). Определить предельные издержки производства при данном

объеме выпуска x1 = 2,

x2 = 9 .

Решение.

′

(x)= 2

+ x +1

, тогда

′

(2)= 2 3

(9)= 210 .

, K

Функция

K′(x)

является убывающей функцией (график

этой функции — гипербола), то есть с ростом объема производ-

IV. Производная и дифференциал

ства предельные издержки убывают. Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат.

Пример 4.5. Зависимость между издержками производства

уи объемом выпускаемой продукции х выражается функцией

у= 50х – 0,05х3 (ден. ед.)

Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 единиц.

Решение. yср. = xy = 50 −0,05x2 .

При х = 10 средние издержки (на единицу продукции) рав-

ны уср. (10) = 45 (ден. ед.).

Функция предельных издержек выражают производной y′(x)= 50 −0,15 x2 , при х = 10.

y′(10)= 50 −0,15 102 = 35 (ден. ед.).

Предельные издержки характеризуют приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 денежных единиц, то предельные издержки, т. е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объеме выпускаемой продукции10 ед.), составит35 ден. ед.

Пример 4.6. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у (ден. ед.). и выпуском х (ден. ед.) выражается функцией у = –0,5х + 80. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 ден. ед.

Решение.

Ex (y)= y′x

= −0,5 ,

Ex (y)=

−0,5x

−0,5x +80

x −160

E60 (y)= 60 60−160 = −60100 = −0,6 ,

т. е. при выпуске продукции, равном 60 ден. ед., увеличение его на 1 % приведет к снижению себестоимости на 0,6 %.

14. Основные правила дифференцирования

Пример 4.7. Пусть p — цена товара на некотором рынке, s (p) — его предложение при цене p, d (p) — спрос. Равновесная

цена p0 определяется уравнением s (p0 ) = d (p0 ). Предполо-

жим, что вводится дополнительный налог с производителей в размере t с каждой единицы товара. Так как зависимость предложения от цены определяется прибылью, а при цене p и налоге t прибыль такая же, что и при цене p – t и отсутствии до-

полнительного налога, то st (p)= s (p −t ), где st (p) — функ-

ция предложения после введения налога. Таким образом, кривая предложения после введения налога сдвигается на t единиц вверх. Пусть pt — новая равновесная цена. Равенство

спроса и предложения при цене pt выражается уравнением st (pt ) = d (pt ), которое эквивалентно уравнению

s (pt −t ) = d (pt ) .

(14.1)

Заменяя приращения функций s (p) и d (p) в точке p0 их дифференциалами, получим приближенные равенства:

s (p

p) = s (p

)+ s′(

)

p ,

(14.2)

d (p

p) = d (p

)+ d′(

)

p ,

(14.3)

в которых

p = pt − p0

— изменение равновесной цены. С уче-

том (14.2) и (14.3) равенство (14.1) приобретает вид

s (p )+ s′(

) ( p −t )

= d (p

)+ d

′(p ) p .

Так как

s (p0 ) = d (p0 ), то

последнее

равенство

эквива-

лентно равенству

s′(

) ( p −t )

= d

′(p

)

p .

Откуда

t s′(p

)

p =

(14.4)

s′(p0 )− d′(p0 )

IV. Производная и дифференциал

Итак, после введения дополнительного налога на покупку единицы товара затраты потребителя увеличатся на величину p, которую можно приближенно рассчитать по формуле (14.4). Соответственно, доход производителя (также на единицу продукции) уменьшится на

t −	p =	−t d′(p 0 )
			.
		s′(p0 )− d′(p0 )

Следовательно, налоговое бремя распределяется между потребителями и производителями продукции в отношении

p		s′(p	)
	0
	=			.
t − p		(−d′(p0 ))

Поскольку в точке p0 спрос равен предложению, то

s′(p

)

s′(p

) p

d (p

)

(s)

(−d′(p0 ))

s (po )

(−d′(p0 ) p0 )

(−Ep (d ))

где Ep (s), Ep (d ) — коэффициенты эластичности предложения и спроса в точке p0 .

Пример 4.8. Пусть ценовая эластичность спроса равна (–3), ценовая эластичность предложения равна 2, а вводимый налог t = 100 (ден. ед.). Тогда после введения этого налога цена уве-

личится на 2 +2 3 100 = 40 , а прибыль производителя от еди-

ницы продукции уменьшится на 100 – 40 = 60 (ден. ед.).

15. Односторонние и бесконечные производные

Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется гладкой на этом промежутке.

15. Односторонние и бесконечные производные

Если производная функции допускает конечное число точек разрыва (причем 1-го рода), то функция называется кусоч-

но-гладкой.

Если в формуле для производной обычный предел заменить на односторонний, то получается определение односторонней производной.

Правой производной от функции y = f(x) в точке x0 называется предел

f+′ (x0 )=	lim	f (x0 +	x)− f (x0 )	.

	x→0+0		x
Левой производной от функции y = f(x) в точке x0 называ-
ется предел
f−′ (x0 )=	lim	f (x0 +	x)− f (x0 )		.

	x→0−0		x

Из свойств пределов функции следует, что когда функция f(x) имеет правую илевую производные вточке x0 иониравны, то

f ′(x0 ) = f+′(x0 ) = f−′ (x0 ).

Если же f+′(x0 ) ≠ f−′ (x0 ), то функция f(x) не имеет производной в точке x0 и в этом случае функция не дифференцируема в точке x0 .

Рассмотрим различные случаи недифференцируемости непрерывной функции.

1) Угловая точка. Точка A(x1, y1 ) кривой y = f(x) называется угловой, если в этой точке производная y′ не существует, но существуют левая и правая различные производные:

lim	y = k ,		lim	y = k	2	.
x→ − 0	x	1	x→ + 0	x

Из угловой точки выходят две касательных с угловыми коэффициентами k1, k2 .

IV. Производная и дифференциал

2) Точка возврата с вертикальной касательной. Точка

B(x2 , y2 ) называется точкой возврата с вертикальной каса-

тельной, если точке производная y′ не существует, но суще-

ствуют левая и правая бесконечные производные разных зна-

ков (+ ∞ и — ∞). Такая точка является частным случаем угловой. Из нее выходит один вертикальный касательный луч или, можно считать, что из нее выходят два слившихся касательных луча.

3) Точка перегиба с вертикальной касательной. Точка

C(x3 , y3 ) называется точкой перегиба с вертикальной каса-

тельной, если в ней существует бесконечная производная

y′= lim	y	=	lim	y	=+∞ (или – ∞).
x →−0	x		x →+0	x

Втакой точке существует вертикальная касательная.

Вточках A и B функция y = f(x) не имеет производной; в точке С она имеет бесконечную производную. Во всех трех точках функция непрерывна, но недифференцируема.

Пример 4.9. Доказать, что функция у = | х | не имеет про-

изводной в точке х0=0.

Решение. Имеем:

y′ = lim

= lim

x0 +

−

x/0

x→0

Если х0=0,

0 +

−

если

x > 0

−1, если

x < 0

откуда следует, что разностное отношение предела не имеет, а значит, нет и производной в точке х0=0.

Пример 4.10. Найти производную функции y = │sin x│в точке x = 0.

Решение. Раскроем модуль и запишем функцию в виде:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]