Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

23. Функции нескольких переменных в экономике

каковы бы ни были точки M, N, K. Свойства 1 и 2 очевидны, свойство 3 носит название «неравенство треугольника», по-

скольку в случаях R2 , R3 оно выражает тот факт, что сумма двух сторон треугольника больше либо равна третьей стороне.

Определение. Пусть M0 — точка в Rn и ε — положитель-

ное число. Открытым шаром, или просто шаром радиуса ε с центром M0 , называется множество всех точек, расстояние

которых от M0 меньше ε

{M Rn ρ(M0 , M )< ε} .

Шар радиуса ε с центром M0 обозначается U ( M0 ,ε). Час-

то шар U ( M0 ,ε) называют ε-окрестностью точки M0 . При n = 2, естественно, говорят не о шаре, а о круге.

Определение. Множество X Rn называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре.

Определение. Пусть X — множество в пространстве Rn . Точка M называется:

внутренней точкой множества X, если существует шар

U ( M , ε), все точки которого принадлежат X;

внешней точкой по отношению к X, если существует шар

U ( M , ε), ни одна точка которого не принадлежит X;

граничной точкой для X, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой X, иначе говоря, если любой шар с центром M содержит точки, принадлежащие X, так и точки, не принадлежащие X.

Определение. Пусть X — множество в пространстве Rn .

Точка M0 называется предельной точкой множества X, если в любой окрестности точки M0 (в любом шаре U ( M0 ,ε)) содержатся точки множества X, отличные от M0 .

24. Частные производные. Градиент

Для упрощения записи ограничимся случаем функции двух переменных. Все определения справедливы для случая трех, четырех и любого числа n независимых переменных. Итак, пусть нам дана функция z = f(x, y), определенная в окрестности точки (x0 , y0 ) X . Придадим значению x0 прираще-

ние x.

Разность x z = f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 ) называется част-

ным приращением функции по переменной x, тогда в случае существования предела

его называют частной производной функции по переменной x

и обозначают одним из символов:

zx , z′x , ∂∂ xz , fx′(x0 , y0 ), ∂∂ xf .

Заметим, что символ для обозначения частной производ-

ной ∂∂ xf в отличие от обычной производной не может рас-

сматриваться как дробь. Итак,

Аналогично определяется частная производная функции z = f(x, y) по переменной y: это предел отношения частного приращения функции по переменной y к приращению y, если такой предел существует:

VII. Функции нескольких переменных

Другими словами, частная производная функции по одной из переменных — это производная, вычисленная при постоянном значении другой переменной (или постоянных значениях

всех остальных переменных в случае n > 2).

Для вычисления частных производных можно пользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Пример 7.4. Найти частные производные функций: aа) z = x2 ln y, b)) z = xy , c)) z = ex −3 y .

Решение.

aа) Считая y = const, находим z′x = 2x ln y . Считая x = const, находим

z′y = xy2 .

b) Производная z′x = y x y −1 вычисляется как производная степенной функции (y = const). Производная z′y = xy ln x вычисляется как производная показательной функции (x = const).

Пример 7.5. (предельные производительности ресурсов).

Рассмотрим производственную функцию

Y = F(K, L),

описывающую зависимость объема выпускаемой продукции Y от затрат основных производственных фондов K и трудовых ресурсов L. Выясним, как изменение потребления каждого из указанных факторов производства отражается на величине выпуска. Очевидно, при неизменных затратах одного ресурса выпуск изменяется только под влиянием меняющихся затрат

24. Частные производные. Градиент

Происшедшие при этом изменения выпуска выражаются разностью KY = F(K0 + K, L0 ) − F(K0 , L0 ) . Поделим KY на K. Отношение

выражает то дополнительное количество продукции (в стоимостном или натуральном выражении), которое в среднем может быть получено в результате увеличения основных производственных фондов на единицу (на 1 руб., на 1 млн руб., на

вают средней эффективностью (производительностью) пер-

вого ресурса, или средним продуктом в точке (K0 , L0 ). В на-

шем случае первый ресурс — основные производственные фонды и средний продукт (24.1) представляет собой фондоотдачу. Отношение

построенное по аналогичной схеме для трудовых ресурсов,

называется трудоотдачей, или производительностью труда.

Отметим, что отношения (24.1) и (24.2) характеризуют изменение выпуска в точке (K0 , L0 ) в среднем. Характеристика

ресурсоотдачи при K = K0 и L = L0 будет тем точнее, чем меньше абсолютный прирост соответствующего ресурса

т. е. это частная производная функции F по переменной K, которую называют предельной эффективностью (производи-

тельностью) ресурса, или коэффициентом приростной ресур-

соотдачи. В данном случае речь идет о фондоотдаче. Аналогично при переходе к пределу в (24.2) при L→ 0 получим

VII. Функции нескольких переменных

т. е. это частная производная функции F по переменной L, которую называют производительностью труда при объеме

затрат (K0 , L0 ).

Определение. Градиентом функции в точке M называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке M.

Градиент функции y = f(M) обозначается символами grad f, или f (знак читается как «набла»). Так, для функции двух переменных f (x, y)

grad f (M) = (fx′(M ), fy′(M )).

Пример 7.6. Найти градиент функции z = ln (x2 +9y2 ) в

Вычисляем значения этих производных в точке M0 (3, 1):

По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие односторонней частной

24. Частные производные. Градиент

производной: правой (левой) частной производной функции называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю справа (слева). Обозначения для функции z = f (x, y):

(односторонние частные производные по переменной x). Односторонние частные производные по переменной y

обозначаются: z′y + , z′y − .

По аналогии с функциями одной переменной для функций многих переменных вводится понятие частной, или частичной эластичности. Важной характеристикой производствен-

ной функции являются коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов.

Пусть аргумент x функции z = f(x, y) получил приращение x, а значение y осталось прежним. Изменение значения функ-

сколько процентов в среднем изменится значение функции при увеличении x на 1 % (т. е. от x до x +0,01 x). Найдем предел этого отношения при x→0.