Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
I.ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
ИЕЕ ПРЕДЕЛ
Ключевые термины, обозначения, формулы
●постоянная величина
●переменная величина (последовательность, функция)
●ограниченная переменная
●монотонная переменная
●ε-окрестность точки а (а – ε, а + ε)
●предел последовательности lim xn=a или xn→a
●сходящаяся последовательность
●бесконечно малая величина
●бесконечно большая величина
1.Способы задания, ограниченность
имонотонность числовой последовательности
Величина, которая не меняет своего значения в рассматриваемом вопросе, называется постоянной величиной, в противном случае она именуется переменной величиной.
Рассмотрим множество N всех натуральных чисел
N = {1, 2, 3,..., п,...}.
Определение. Пусть каждому п из множества натуральных чисел сопоставляется по определенному правилу действитель-
I. Числовая последовательность и ее предел
ное число хп. Тогда говорят, что задана числовая последова-
тельность
x1 , x2 , x3 ,..., xn ,... (1.1)
Кратко числовая последовательность обозначается {хп}, или (хп), или хп = f(n), n N , при этом хп называется n-м чле-
ном, или общим членом последовательности. Все члены по-
следовательности можно пронумеровать, что и подчеркивается в обозначении хп. Индекс п указывает номер члена последовательности.
Например, 1; 4; 9;...; n2;... — числовая последовательность. Общий ее член хп = п2 показывает, что каждому натуральному числу п сопоставляется квадрат этого числа.
Непосредственно из определения числовой последовательности следует, что задание последовательности xn= f(n), n N можно рассматривать как задание функции, областью определения которой является множество всех натуральных чисел. И наоборот, функция f(п), областью определения которой является множество всех натуральных чисел, определяет числовую последовательность:
f(1), f(2),…,f(n),….
Если положить f(n)=xn, то получим последовательности в виде (1.1).
Поэтому можно дать второе равносильное определение числовой последовательности.
Определение. Числовой последовательностью называется функция, областью определения которой является множество всех натуральных чисел, множеством значений — некоторое подмножество действительных чисел.
Как и числовую функцию, последовательность можно изображать графически в виде точек координатной плоскости, по оси абсцисс которой откладываются значения п, по оси ординат — значения хn (рис. 1).
1. Способы задания, ограниченность и монотонность
Рис. 1
Чаще последовательность (хп) изображается в виде точек координатной прямой (рис. 2).
Рис. 2
Пример 1.1. Изобразить на координатной прямой первые пять членов последовательности
xn = (−1)n n n+1.
Полагая n = 1; 2; 3; 4; 5, получим
x1 = − 12 , x2 = 23 , x3 = − 34 , x4 = 54 , x5 = − 56 .
На рисунке 3 показано, как изображаются члены последовательности на координатной прямой.
I. Числовая последовательность и ее предел
Рис. 3
Поскольку последовательность есть частный случай функции (функции натурального аргумента), то и способы задания последовательностей такие же, как и способы задания функций.
Чаще всего последовательность задается аналитическим способом, т. е. при помощи формулы, указывающей, какие математические операции нужно выполнить над числом n, чтобы получить число хп = f(n).
Например:
1) хп = 2п–1. Придавая п последовательно значения 1, 2, 3, 4,..., получим развернутую запись этой последовательности:
1; 3; 5; 7; 9;...; 2n–1;....
2) хп=1. Очевидно, каждый член последовательности с таким общим членом равен единице:
|
|
|
|
|
1; 1; 1;...; 1;.... |
|
1 |
, если n − нечетное |
|||
|
|
|
|||
|
|
||||
3) xn |
|
|
|
|
|
= n |
n |
|
|
||
|
|
|
, если n −четное. |
||
|
|
|
+1 |
||
|
n |
|
|||
В развернутом виде получим последовательность
1; 23 ; 13; 54 ; 15 ;... .
До сих пор, задавая последовательность, мы указывали ее общий член. Однако иногда выписывают только несколько первых членов, считая, что сам их вид дает достаточно оснований для того, чтобы судить о законе образования последовательности. Например, естественно считать, что запись 2; 4; 6; 8;... подразумевает задание последовательности с общим
1. Способы задания, ограниченность и монотонность
членом хп = 2п. Но это совершенно не обязательно, так как последовательность могла бы быть продолжена и так: 2; 4; 6; 8; 11; 17; …
Строго говоря, бесконечную числовую последовательность нельзя без специальных словесных добавлений задать никаким конечным числом членов. Последовательность также задается словесным способом. Например, последовательно находя и записывая приближенные значения квадратного корня из числа 2 с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. с недостатком, получим последовательность чисел: 1; 1,4; 1,41; 1,414;....
Здесь формулы общего члена нет, но закон образования последовательности указан словесно: для получения n-го члена последовательности нужно извлечь квадратный корень из
числа 2 с точностью до |
1 |
с недостатком. |
|
10n−1 |
|||
|
|
Кроме указанных, существуют и другие способы задания последовательности. Так, иногда общий член последовательности задают при помощи рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает n-й член последовательности через предшествующие (через члены с меньшими номерами). При этом один или несколько первых членов должны быть заданы.
Например:
1) рекуррентной формулой xn+1 = xn + d (где d — некоторое число и х1 = а) задается последовательность a;a + d;a + 2d;...,a + d(n −1);..., которую называют арифметической прогрессией. Эту прогрессию можно задать также формулой xn = a + d(n −1),
2) рекуррентной формулой хn+1= qxn (где q — некоторое
число отличное от нуля, x1=a) определяется последовательность a; aq; aq2;...; aqn–1;..., которая называется геометриче-
ской прогрессией.
Формула хп = aqn–1, n N задает ту же прогрессию.
I. Числовая последовательность и ее предел
Последовательность{хп}, где xn = n n+1 , обладает той осо-
бенностью, что все ее точки расположены справа от 1, т. е. для
n-го члена при любых п верно неравенство xn ≥1. |
Аналогично |
||||||||
каждый член последовательности {y }, |
y |
|
= |
1 |
> 0 |
для любых |
|||
n |
|
||||||||
п |
|
≥n− |
|
|
|
||||
п; для последовательности {uп}, un = |
(−1)n−1 |
1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
2 |
|
|
|||
Говорят, что такие последовательности ограничены снизу.
Определение. Числовая последовательность {хп} называется ограниченной снизу, если существует число т такое, что для всех значений n выполняется неравенство xn ≥ m .
Для числовой последовательности {yп} при всех п выпол-
няется неравенство yn = 1n ≤1, для числовой последовательно-
сти {uп} при любых п un ≤1. В таких случаях говорят, что последовательность ограничена сверху.
Определение. Числовая последовательность {хп} называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что для всех значений n выполняется неравенство xn ≤ M .
Определение. Числовая последовательность {хп} называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, т. е. существуют такие числа т и М, что для всех п выполняются неравенства m ≤ xn ≤ M .
С геометрической точки зрения это означает, что все точки, изображающие члены последовательности, принадлежат отрезку [т, М] координатной прямой.
Если в качестве числа L взять наибольшее из чисел |т| и |M|, т. е. положить L = max (|m|, |M|), то при выполнении неравенств m ≤ хп ≤ М будут верны и неравенства − L ≤ xn ≤ L .
Поэтому можно дать другое определение ограниченной последовательности.
1. Способы задания, ограниченность и монотонность
Определение. Числовая последовательность {хп} называется ограниченной, если существует неотрицательное число L
такое, что для всех n выполняется неравенство xn ≤ L .
|
Например, |
числовая последовательность |
{uп}, где |
||||||||||||
un |
= |
(−1)n−1 |
, ограничена, так как |
|
un |
|
= |
|
(−1)n−1 |
|
= |
1 |
≤1. |
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
n |
n |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. Числовая последовательность, которая не является ограниченной, называется неограниченной. Это определение можно дать и в другой форме.
Определение. Числовая последовательность {хп} называет-
ся неограниченной, если для любого положительного числа L
можно указать такой номер k, что xk > L .
Определение. Последовательность { xn } называется:
возрастающей, если xn < xn+1 для всех n; неубывающей, если xn ≤ xn+1 для всех n;
убывающей, если xn > xn+1 для всех n;
неубывающей, если xn ≥ xn+1 для всех n.
Все такие последовательности называются монотонными.
2. Предел последовательности
Понятие предела последовательности является одним из основных понятий математического анализа.
Рассмотрим это понятие вначале на нескольких примерах, ограничиваясь наглядными, интуитивными представлениями.
1. Пусть задана последовательность с общим членом xn = 1n , или в развернутом виде
1; 12 ; 13; ...; 1n ; ... .
I. Числовая последовательность и ее предел
Отмечая члены последовательности на координатной прямой (рис. 4), замечаем, что члены этой последовательности с возрастанием п сколь угодно близко приближаются к нулю. Иначе говоря, какой бы интервал, содержащий точку 0, ни взять, найдется номер N такой, что члены последовательности xN+1, XN+2,… будут принадлежать этому интервалу, а вне его будет располагаться только конечное число членов. Например,
|
− |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
если взять интервал |
|
|
|
, |
|
|
|
|
, то начиная с 11-го члена все |
||||
10 |
|
10 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
члены последовательности |
|
1 |
|
, |
1 |
,... |
будут принадлежать это- |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
11 12 |
|
|
|||||
му интервалу, а вне его будут расположены только первые 10 членов. Это свойство данной последовательности можно вы-
1 |
|
|
|
|
||
разить так: последовательность |
|
при возрастании п имеет |
||||
|
||||||
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
своим пределом нуль, или последовательность |
|
сходится |
||||
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
к нулю. Этот факт записывают так: |
lim |
1 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
Рис. 4
2. Пусть задана последовательность с общим членом
x |
n |
=1+ (−1)n+1 |
, |
те.. .. 2; |
1 |
; |
4 |
; |
3 |
; ...;1+ (−1)n+1 |
;... . |
|
|
|
|||||||||
|
n |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
Изобразим члены данной последовательности на координатной прямой (рис. 5).
2. Предел последовательности
Рис. 5
Данная последовательность обладает, как видно, аналогичным свойством. С ростом номера п члены последовательности все меньше отличаются от 1, приближаются сколь угодно близко к 1, «скапливаются» около нее, и какой бы малый интервал, содержащий 1, ни брать, начиная с некоторого номера, все остальные члены последовательности будут попадать в этот промежуток. В заштрихованный интервал (рис. 5) попадают все члены, начиная с 3-го, т. е. х3, х4, х5, … Поэтому можно записать
lim xn =1.
n→∞
3. Пусть задана последовательность yn = sin π2n ,n N , т. е.
1; 0; –1; 1; 0; –1; ….
Изобразим члены этой последовательности на координатной прямой (рис. 6).
Рис. 6
Расстояние между точками –1 и 1 равно 2. Поэтому в интервал, длина которого меньше 2, обе точки –1 и 1 попасть не могут. Это означает, что вне интервала, содержащего любую точку а и имеющего длину меньше 2, содержится бесконечное число членов данной последовательности. В этом случае можно сказать, что данная последовательность не имеет предела.
I. Числовая последовательность и ее предел
Чтобы дать строгое определение предела числовой последовательности, введем понятие окрестности точки координатной прямой, и в частности ε-окрестности (эпсилон окрестности) точки.
Определение. Окрестностью точки а называется любой открытый интервал, содержащий точку а.
Определение. ε-окрестностью (ε>0) точки а называется интервал (а – ε; а + ε).
По определению, ε-окрестность точки а представляет собой множество всех точек х координатной прямой, удовлетворяющих двойному неравенству
a −ε < x < a +ε . |
(1.2) |
Расстояния от этих точек (рис. 7) до точки а меньше ε , т. е. неравенство (1.2) равносильно условию x − a <ε .
Рис. 7
Теперь обратимся к рассмотренным ранее последовательностям.
|
1 |
|
Число 0 для последовательности |
|
обладает тем свойством, |
|
||
n |
|
|
что если выбрать любую окрестность точки 0, то начиная с некоторого номера N + 1 все члены данной последовательности попадают в эту окрестность, а вне ее будет находиться только конечное число членов. Иначе, какую бы ε-окрестность точки 0 ни взять, начиная с некоторого номера N+1, члены последовательности будут попадать в выбранную ε-окрестность, т. е. при
п > N будет выполнятьсянеравенство |
|
1 |
|
<ε . |
|
n |
|||||
|
|
|
|