Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

6. Непрерывность функции в точке

Определение. Говорят, что функция y = f(x), определенная на отрезке [a, b], непрерывна на этом отрезке, если она не-

прерывна в каждой точке отрезка [a, b].

Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств. Сформулируем эти свойства без доказательств.

Теорема о существовании корня.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т. е. f(a) f(b) < 0), то существует точка c (a, b), такая, что f (c) = 0.

Ограниченность непрерывной функции.

Функция y = f(x), непрерывная на отрезке [a, b], ограничена на этом отрезке.

Иначе говоря, существует такое число M > 0, что f(x) ≤ M для всех x из [a, b].

Теорема о промежуточном значении.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B, A ≠ B. Тогда для любого числа C, расположенного между A и B, найдется такая точка c (a, b), что f(c) = C.

Иначе говоря, непрерывная функция на отрезке принимает все значения, промежуточные между ее значениями на концах отрезка.

Достижение крайних значений.

Для всякой функции y = f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует такая точка c [a, b], что f(c) ≥ f(x) для всех x [a, b] и точка d [a, b], такая, что f(d) ≤ f(x) для всех x [a, b].

Иначе говоря, функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем как своего наибольшего, так и своего наименьшего значений.

Множество значений непрерывной функции.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то множество E(f) значений функции также является отрезком.

8. Асимптоты

Пример 2.6. Найти асимптоту функции

y = f (x) = x2 −1 . x2 +1

Решение. В том случае, если функция дробно-рациональ- ная, можно выделить целую часть дроби, записав ее в виде

Обозначим g(x) = 1.

Поскольку y = f (x) — четная функция, то у функции f (x) =

=x2 −1 есть лишь одна горизонтальная асимптота y = 1.

x2 +1

Вотличие от наклонных асимптот вертикальных асимптот у функции может быть столько, сколько у нее точек бесконеч-

x = a — это вертикальная асимптота функции f (x). Пример 2.7. Найти асимптоты функции

3x

y = f (x) = (x − 2)(x +1)(2x +5).

Решение. У данной функции три точки бесконечного разрыва x = 2, x = –1, x = –2,5. Значит, существуют три вертикальных асимптоты, которые определяются уравнениями x = 2, x = –1, x = –2,5. Для нахождения наклонных асимптот найдем предел

Итак, данная функция имеет одну горизонтальную асимптоту y = 0 и три вертикальных x = 2, x = –1, x = –2,5.

Пример 2.8. Найти асимптоты функций Торнквиста, задающих спрос на товары первой необходимости, второй необходимости и предметы роскоши:

II. Предел и непрерывность функции

В этих формулах через z обозначен уровень доходов, при котором начинается приобретение тех или иных товаров.

Решение. Имеем:

следовательно, у кривой y1 = za+1 zc1 , проходящей через начало

координат, есть горизонтальная асимптота y = a1 . Это означает, что рост спроса на товары первой необходимости с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел a1 . Аналогично для второй функции:

т. е. кривая, задающая спрос на товары второй необходимости, асимптотически приближается к прямой y = a2 , при этом спрос на эту группу товаров появляется лишь после того, как доход достиг величины b2 ( z ≥ b2 ).

Находя предел

limy3 = lima3 z(z −b3 )= ∞ ,

z→∞ z→∞

мы получим, что кривая, задающая спрос на предметы роскоши, горизонтальной асимптоты не имеет. Спрос на эти товары появляется сразу после того, как доход превысит величину b3

( z ≥ b3 ) и далее быстро возрастает.

Графики функций Торнквиста изображены на рисунке 10.

8. Асимптоты

Рис. 10

9. Замечательные пределы

Важнейшие пределы

В этих формулах число e — это основание натурального логарифма, e ≈ 2, 72, два последних предела носят названия

первого и второго замечательных пределов. С их помощью

раскрывают неопределенности вида 00 , (1∞ ). Второй замеча-

тельный предел (или число е) имеет исключительное большое

9. Замечательные пределы

справедливы и для – π/2 < x < 0. Переходя к пределу при x → 0,

имеем limcos x =1 в силу непрерывности функции cos x на

x→0

всей числовой оси. Используя предельный переход в неравен-

стве, мы и получим формулу limsin x =1.

x→0 x

Пример 2.9. Найти lim sin 5x .

x→0 x

Решение. Используем обобщенную формулу для первого замечательного предела, обозначим α = 5x, тогда при x → 0 и α →0. Имеем:

Второй замечательный предел.

Рассмотрим числовую последовательность

можно предположить, что последовательность {xn } является

возрастающей. Докажем это предположение, воспользовавшись формулой бинома Ньютона.

Если рассмотреть следующий, (n+1)-й член последовательно-

первых, число положительных слагаемых увеличится при пе-

9. Замечательные пределы

при x→ + ∞ и при x→ – ∞ (где x в отличие от натурального числа n, возрастая, принимает все значения на числовой оси, а не только натуральные) имеет предел, равный числу e:

Полагая y = 1x , найдем x = 1y . При x→ ∞ y→ 0. Получаем еще один вариант записи второго замечательного предела:

lim(1+ y)1 = e .

y

y→0

Число e (число Эйлера, неперово число) играет очень важную роль в математическом анализе как в теоретическом плане, так и в прикладных задачах. Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т. п.

Решение. Пусть α= 3x , тогда при x → ∞ α → 0. Имеем: