Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

21. Экстремум функции

Необходимые условия экстремума функции f(x) следуют из теоремы Ферма: экстремум нужно искать в тех точках, где:

1)либо производная f ′(x)= 0 ,

2)либо производная f ′(x) не существует.

Такие точки называют критическими точками, или точ-

ками, «подозрительными» на экстремум. Точки, в которых производная f ′(x)= 0 , называются стационарными.

Допустим x0 — это точка, «подозрительная» на экстремум.

Достаточные условия экстремума функции f(x) сле-

дующие:

1) Если при переходе через точку x0 производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой локального максимума, а если с минуса на плюс, то точка x0 явля-

ется точкой локального минимума. Этот критерий непосредственно следует из достаточного условия возрастания (убывания) функции.

2) Для того чтобы функция f(x) имела локальный максимум (минимум) в стационарной точке x0 , достаточно, чтобы в

окрестности этой точки существовала непрерывная вторая производная и выполнялось неравенство

f ′′(x0 ) < 0 ( f ′′(x0 ) > 0).

Это утверждение доказывать не будем.

Второй способ исследования стационарных точек не всегда применим. Случаи, когда первой производной в исследуемой точке не существует, а также когда вторая производная равна нулю, этим способом исследования не охватываются. Иногда и вычисление второй производной настолько громоздко, что проще воспользоваться первым способом исследования.

Пример 6.3. Исследовать на экстремум функцию y = x . Решение. Находим производную. Для x > 0 будет x = x и y′ =1, для x < 0 будет x = – x и y′ = −1. В точке x = 0 производная не существует, но функция непрерывна. Однако в этой

21. Экстремум функции

Других критических точек у функции нет. Нетрудно убедиться в том, что данная точка x = 6000 — это точка максимума и наибольшая прибыль будетравна С(6000) = 26000 (ден. ед.).

Пример 6.6. Завод D нужно соединить шоссейной дорогой с прямолинейной железной дорогой, на которой расположен город A. Расстояние DB до железной дороги равно 10 км (рис. 12), расстояние AB по железной дороге равно 50 км. Стоимость перевозок по шоссе в 5 раз дороже стоимости перевозок по железной дороге. Как провести шоссе DC к железной дороге, чтобы стоимость перевозок от завода к городу была наименьшей?

Рис. 12

Решение. Очевидно, что DC — отрезок и точка C не должна лежать правее B и левее A. Пусть AC = x, тогда 0 ≤ x ≤ 50. Пусть стоимость тонно-километра провоза по железной дороге равна K, тогда стоимость тонно-километра провоза по шоссе равна 5K. Общая стоимость провоза:

P(x)= Kx +5K 100 +(50 − x)2 .

Следовательно, нужно найти наименьшее значение функции P(x) на отрезке [0, 50]. Используя правило вычисления производной сложной функции, получим:

22. Направление вогнутости. Точки перегиба

Доказательство. Пусть для определенности f ′′(x) > 0 дляx X. Возьмем произвольное значение x0 X . Запишем уравнение касательной к кривой в точке M (x0 , f (x0 )):

Y = f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ).

(Через Y обозначена текущая ордината касательной, чтобы не путать ее с текущей ординатой кривой y). Докажем, что дляx X, x ≠ x0 выполняется неравенство y > Y, то есть

y −Y = f (x)− f (x0 )− f ′(x0 )(x − x0 )> 0.

Пусть x> x0 . Применим теорему Лагранжа для функции y = f(x) на отрезке [ x0 , x ]:

f (x)− f (x0 ) = f ′(c)(x − x0 ), где c ( x0 , x ).

Тогда получим:

y −Y = f ′(c)(x − x0 )− f ′(x0 )(x − x0 ) = ( f ′(c)− f ′(x0 ))(x − x0 ).

Поскольку функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке X, то мы можем опять применить теорему Ла-

гранжа для функции f ′(x) на отрезке [ x0 , c ]:

зана для случая x> x0 . При условии x< x0 все выкладки проводятся аналогично, произведение (c − x0 )(x − x0 )> 0; но в дан-

ном случае оба сомножителя отрицательны.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную.

Определение. Точка x0 называется точкой перегиба функ-

ции f(x), если функция f(x) при переходе через точку x0 ме-

няет направление вогнутости.

VI. Применение производных к исследованию функций

В этом случае точка (x0 , f (x0 )) называется точкой пере-

гиба графика функции f(x), Если (x0 , f (x0 )) — точка перегиба

графика функции f(x), то график функции f(x) переходит с одной стороны, касательной к нему в этой точке, на другую ее сторону.

Необходимые условия существования точки перегиба.

Если точка x0 является точкой перегиба функции f(x), то либо f ′′(x0 )= 0, либо f ′′(x0 ) не существует. Такие точки называ-

ются «подозрительными» на перегиб.

Эти условия не являются достаточными. Например, для функции y = x4 вторая производная y′′ =12x2 ≥ 0 для всех

x R, график функции вогнут вверх и в точке x = 0 перегиба нет.

Достаточные условия существования точки перегиба.

1) (с использованием второй производной). Если при переходе через точку x0 , «подозрительную» на перегиб, вторая

производная меняет знак, то перегиб есть, в противном случае перегиба нет;

2) (с использованием высших производных). Пусть функция f(x) имеет в точке x0 производные до порядка n > 2 включительно и пусть

f ′′(x0 )= f ′′′(x0 )=K= f (n−1) (x0 )= 0, a f (n) (x0 )≠ 0 ,

тогда если n — нечетное число, то x0 — точка перегиба; если же n — четное число, то в точке x0 перегиба нет.

Пример 6.7. Найти интервалы вогнутости и точки пере-

Решение. Функция дифференцируема при всех x R, кроме x = 1, причем

22. Направление вогнутости. Точки перегиба

f ′(x)= − x(x + 2),

(x −1)4

В точках x = −2 ± 3 вторая производная равна нулю, а в точке x = 1 не существует. На интервалах

(−∞, − 2 − 3), (−2 − 3, − 2 + 3),

(−2 + 3, 1), (1,+∞)

вторая производная сохраняет знак. Следовательно, каждый из этих интервалов — интервал вогнутости. На первом и третьем

интервалах f ′′(x) > 0, значит, на этих интервалах функция вогнута вверх; на втором и четвертом интервалах f ′′(x) < 0, т. е. это интервалы вогнутости вниз. При переходе через точки x = −2 ± 3 , x = 1 функция меняет направление вогнутости. Но

в точке x = 1 функция не определена, поэтому точка x = 1 не является точкой перегиба. Итак, функция имеет две точки пе-

региба: x = −2 ± 3 .

При исследовании функций и построения их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1.Найти область определения функции.

2.Найти точки пересечения с осями координат.

3.Исследовать функцию на четность — нечетность.

4.Найти асимптоты функции.

5.Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

6.Найти интервалы вогнутости и точки перегиба.

Задания

1. Необходимо сконструировать цилиндр, верх и низ которого должны быть сделаны из медных пластин, цена которых

Задания

и диаметра D), чтобы на ее изготовление пошло минимальное количество жести?

8. Сахарный завод производит x единиц продукции в месяц, а суммарные издержки производства составляют

K (x)= 50x2 +15x +800 денежных единиц. Зависимость между

удельной ценой P (т. е. ценой единицы продукции) и количеством единиц продукции x, которое можно продать по этой

цене, такова: P(x)= 57 −10x . Рассчитать, при каком объеме

производства прибыль будет максимальной.

9. Предприятие производит x единиц продукции в месяц и реализует ее по цене P(x)= 25 − 301 x . Суммарные издержки

производства составляют K (x)= 15x2 +5x +300 денежных еди-

ниц. Определить, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной. При каких условиях производство становится убыточным?

10. Нужно изготовить тару формы прямоугольного параллелепипеда с крышкой, объем которого равен 576 дм3, а стороны основания относятся как 1:2. Каковы должны быть размеры всех сторон параллелепипеда, чтобы на изготовление тары пошло наименьшее количество материала?

11.Если собрать урожай в конце сентября, то с одной сотки можно получить 400 кг винограда и реализовать его по цене 150 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 20 кг с одной сотки, но цена винограда при этом падает на 5 рублей за килограмм. Когда следует убирать виноград, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 6 недель?

12.Цементный завод производит x тонн цемента в день. По договору, он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 тонн цемента. Производственные мощно-