Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ex (y)= lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

12. Потоки платежей. Финансовая рента

вается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией — на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты, можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по фор-

муле:	R	(1+i)n −1	→ ∞	при n→∞. Коэффициент приведения
		i

для вечной ренты an,i → 1i , откуда следует, что современная

величина равна Ri , т. е. она зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.

Задания

1.Пусть вклад P помещен в банк под годовую процентную ставку i. Сколько лет должен пролежать вклад в банке, чтобы наращеннаяпосложнымпроцентамсуммасоставилавеличинуS?

2.Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной процентной ставке (с капитализацией накоплений) 24 % годовых. Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если первоначальный вклад составил 36 тыс. руб.

3.Вкладчик вносит в банк 10 тыс. руб. Банк платит проценты по ставке5 % в месяц. Какова будетсуммавкладачерез2 года?

4.Начальная сумма вклада равна 500 дол. Процентная ставка банка составляет 20 % годовых. Найти проценты, начисленные банком: а) за 3 года с момента открытия вклада; б) за третий год.

5.Какую сумму следует положить в банк, чтобы за 5 лет накопить 200 тыс. руб., еслигодовая ставка банкасоставляет 10 %?

6.За какой срок при ставке 24 % с ежемесячным начислением суммавкладаувеличится: а) в2 раза? б) в3 раза? в) в 10 раз?

7.За 5 лет сумма вклада выросла в 3 раза. Какова номинальная годовая ставка банка, если проценты начисляются: а) раз в квартал? б) ежедневно? в) непрерывно?

IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Ключевые термины, обозначения, формулы


• приращение аргумента	x функции y = f(x)
• приращение функции	y = f (x0 +			x)− f (x0 )
• среднее значение функции			(x)=	f (x)
		f
				x
	y
• производная y′ = lim
	x
x→0

• маржинальная, или предельная, функция f ′(x)

• эластичность Ex (y)= y′ xy

• дифференцируемая функция

• эластичный спрос

• экстремум функции

13. Производная. Экономический смысл производной

Пусть функция y = f(x) определена на множестве X. Рассмотрим произвольную точку x0 X . Придадим значению

x0 X приращение x так, чтобы x0 + x X , тогда функция получит приращение

13. Производная. Экономический смысл производной

y = f (x)− f (x0 ) = f (x0 + x)− f (x0 ) .

Производной от функции y = f(x) в точке x0 X называется

предел отношения	y	, когда x→0 (при условии, что предел
	x

отношения приращения функции к приращению аргумента существует).

Производная от функции y = f(x) точке x0 X обознача-

ется

y′(x

), f ′(x

Используют

также обозначения

df (x0 )

f (x ).

Определение производной можно записать в виде формулы

f ′(x0 )= lim

= lim

f (x0 +

x) − f (x0 )

x→0

Если в точке x0 X существует конечная производная, то

функция называется дифференцируемой в данной точке. Если данный предел не существует, то говорят, что функ-

ция y = f(x) в точке x0 X не имеет производной.

Если предел равен +∞ или –∞, то говорят, что функция y = f(x) имеет в точке x0 X бесконечную производную (рав-

ную +∞ или –∞).

Геометрический и физический смысл производной хорошо известенизкурсаматематикидлясреднейшколы. Сгеометрической точки зрения производная функции y = f(x) в точке x0 — это тан-

генс угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке (x0 , f (x0 )). С физической точки зрения f ′(x0 ) представляет

собоймгновеннуюскоростьточкивмоментвремени x0 .

В самых различных задачах (в том числе экономических) производная рассматривается как скорость изменения величины y относительно x. Рассмотрим один из вариантов экономического истолкования производной, а именно задачу о нахождении производительноститрударабочего в данный моментвремени.

IV. Производная и дифференциал

Пусть U = U(t) — это функция, выражающая зависимость количества произведенной продукции U в зависимости от времени t. Рассмотрим момент времени t0 и придадим этому зна-

чению приращение t. За промежуток времени	t будет произ-
ведено количество продукции, равное U =U (t0 + t )−U (t0 ) .
Средней производительностью труда рабочего за время t на-
зывается отношение количества произведенной	продукции к

затраченному времени, т. е. Ut , тогда производительностью труда рабочего в данный момент времени t0 называется предел

lim	U .
t→0	t

Экономический смысл производной состоит в том, что про-

изводная от количества произведенной продукции по времени есть производительность труда рабочего

U ′ = lim	U .
t→0	t

Для обозначения производных в экономической литературе используются и обозначения, отличные от общепринятых. Например, если K = K(x) — это функция, выражающая зависимость издержек K в зависимости от количества произведен-

ной продукции x, то производную K′(x) часто называют пре-

дельными, или маржинальными издержками и иногда обозна-

чают ее символом MK. Аналогично, когда речь идет о пре-

дельной выручке, предельной полезности и т. д., это значит,

что рассматриваются производные функций, задающих выручку, полезность и т. д.

Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции.

Пусть x — прирост продукции, тогда K — прираще-

ние издержек производства и	K	— среднее приращение
	x

издержек производства на единицу продукции.

13. Производная. Экономический смысл производной

Производная K′(x) выражает предельные издержки про-

изводства и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство дополнительной продукции.

Предположим, издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции х) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т. д.).

Производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Предельная величина называется также маржинальной. Маржинальная величина обозначается буквой М, средняя величина — буквой А, например, если R есть функция дохода, то символ MR — предельный доход, AR — средний доход.

Кроме того, в экономике очень часто вместо обычной производной используется так называемая относительная производная, или эластичность, которая для функции y = f(x) определяется и обозначается следующим образом:

Для обозначения эластичности функции y = f(x) в разных источниках можно найти и другие символы, например,

Eyx (x), Ey (x), ε f (x), Elx f (x), Elx y .

Используя определение производной, эластичность можно задать формулой:

Ex (y)= y′ xy .

Говорят также, что Ex (y) — это коэффициент эластично-

сти y по x. Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим и может применяться при анализе любых дифференцируемых функций. Из опреде-

IV. Производная и дифференциал

ления эластичности вытекает, что при достаточно малых x выполняется приближенное равенство

yy ≈ Ex (y) xx .

Отсюда следует, что эластичность Ex (y) — это коэффици-

ент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x. Если, например x увеличится на 1 %, то y увели-

чивается (уменьшается) приблизительно на Ex (y) процентов.

Эластичность в экономике используется достаточно часто еще и потому, что эта величина является безразмерной и не зависит от выбора единиц измерения величин y и x. Это утверждение следует из безразмерности и независимости от вы-

бора единиц измерения отношений yy , xx .

14. Основные правила дифференцирования

Рассмотрим, как вычисляются производные некоторых элементарных функций непосредственно по определению, используя следствия из второго замечательного предела и важнейшие пределы.

1) (ax )′ = ax ln a,	вчастности			(ех )′	= еx .
Доказательство.
Рассмотрим разностное отношение
y =		ax+ x − ax	=	ax	a x −1	.
		x
x					x

Производная, то есть предел разностного отношения, есть

lim	y	=	lim ax	a x −1	= ax lim	a x −1	= ax ln a .
	x			x		x
x→0			x→0		x→0

14. Основные правила дифференцирования

′

loga e

′

2) (loga x)

(ln x)

Доказательство. Имеем:

y = log

(x + x)−log

x = log

= log

log

предел

разностного отношения есть

log

1 +

lim

loga e .

x→0

loga (1

+ a)

Использовали формулу:

lim

= loga

e .

a→0

(sin x)′ = cos x .

Доказательство.

Используя формулу разности синусов, получим:

sinα −sin β =

2sin

α − β cos

α + β

y = sin(x +

x)−sin x = 2sin

cos x +

lim

x→0

= lim

x→0

2sin

cos x +

= lim

x→0

sin

limcos x +

= cos x .

x→0

IV. Производная и дифференциал

4). (cos x)′ = −sin x .

Доказательство.

Имеем:

cosα −cos β = 2sin

α + β sin

α − β , тогда

y = cos(x +

x)−cos x = 2sin(x +

−

)sin

−

sin

lim

= lim

lim sin x +

= −sin x .

x→0

Теорема о приращении функции.

Если функция y = f (x)

имеет в точке

конечную произ-

водную f ′(x0 ), то

y = f ′(x0 ) x +α

x ,

где α =α(

x), α →0 при

x → 0 .

Доказательство. Так как по условию

lim

f ′(x0 ), су-

x→0

ществует и конечен, то разность между переменной и ее пределом есть бесконечно малая величина:

α =	y	− f ′(x0 ); где α → 0 при x → 0 .
	x

Отсюда получаем

y = f ′(x0 ) x +α x .

Теорема доказана. Полученная формула носит название

формулы для приращения функции и часто используется в приложениях.

Линейная часть приращения функции, т. е. слагаемое f ′(x0 ) x , называется дифференциалом функции f (x) и обо-

значается dy . Выясним, что представляет собой дифференци-

14. Основные правила дифференцирования

ал dy = f ′(x0 ) x с геометрической точки зрения. Рассмотрим график функции f (x) и касательную M0T в точке M0 кривой,

M — произвольная точка кривой. Проведем через точки M0 и M прямые, параллельные координатным осям Оx и Оy соответственно, обозначим через А точку пересечения этих прямых, а через B — точку пересечения касательной M0T с прямой AM. Через α обозначим угол, образуемый касательной M0T с положительным направлением оси Оx. Рассматривая прямо-

угольный треугольник M0AB (рис. 11), имеем: BA = tgα , от-

M 0 A

куда BA = f ′(x0 ) x , тогда dy = BA, а это означает, что диф-

ференциал представляет собой приращение ординаты каса-

тельной к кривой при перемещении точки M0 в точку M. Еще раз подчеркнем, что символом y обозначают приращение

ординаты кривой, а символ dy обозначает приращение ординаты касательной.

Рис. 11

В частности, если y = x, то dy = x′ y = 1· y = y , y = dy,

а поскольку y = x, то x = dx.

IV. Производная и дифференциал

Дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением, dy = y′ dx, y′ = dxdy , т. е. символ для обозначения производной можно рассматривать как дробь.

Теорема. Если в точке х0 функция f(x) дифференцируема, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Имеем: y = f ′(x0 ) x +α x , откуда следует, что при x → 0 y → 0 .

Замечание. Обратное утверждение неверно, например, функция y = | x | непрерывна всюду в R, но недифференцируема в точке x = 0.

Теоремы о производных.

Будем предполагать, что функции u = u(x),v = v(x) имеют в точке x конечные производные u′(x) и v′(x). Обозначим их u′,v′, т. е. u и v — дифференцируемые функции.

Теорема.

Функция y = u ± v имеет производную,

причем

′

(u ± v) = u

± v .

Доказательство. Придадим x приращение

x .

Тогда

функции

v, y соответственно

получают приращения

u, v, y.

y + y = (u + u)±(v ± v),

y = u ± v,

y =

u ±

v .

Переходя к пределу при

x → 0

и учитывая,

что предел

суммы равен сумме пределов, получим y

′

= u

′

± v .

Теорема. Функция y = u v имеет производную, причем

′

(uv) = u v +uv

Доказательство.

Имеем:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]