Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

2. Предел последовательности

члены попадут в любую ε-окрестность точки 0, начиная с но-

ни взять, начиная с некоторого номера, все члены последова-

Указанное свойство чисел 0 и 1 для рассмотренных последовательностей и является определяющим для понятия предела последовательности.

Определение. Число а называется пределом числовой по-

следовательности (хn), если для любого как угодно малого по-

2. Предел последовательности

Решение. Требуется показать, что для любого ε >0 найдется номер N такой, что при любых п> N выполняется неравенство

2n −3 − 2 <ε. n

Посмотрим, при каких п оно справедливо. Для этого решим данное неравенство, считая ε известным:

Получаем равносильное неравенство n3 <ε . Отсюда n > ε3 .

Таким образом, как бы ни было мало ε , для всех номеров

все члены последовательности, а именно члены с номерами N +1, N +2, … попадают в ε-окрестность точки 2. Следова-

тельно, lim 2n −3 = 2.

n→∞ n

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Теоремы о пределах

Определение. Последовательность, имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой.

Разность αn между общим членом xn последовательности{ xn } и ее пределом a есть величина бесконечно малая, так как αn = xn − a < ε для всех членов последовательности { xn } с номерами n > N. Обратно, если αn → 0 , то xn = a +αn .

Определение. Последовательность { xn } называется беско-

нечно большой, если для любого заранее заданного числа L > 0 найдется номер N, начиная с которого, т. е. при n > N, выполняется неравенство xn > L.

Иначе говоря, последовательность { xn } называется бесконечно большой, если ее значения xn становятся и остаются по модулю больше любого наперед заданного числа L > 0.

Например, xn = n , xn = n2 , xn = − n , xn = −n3 — бесконечно большие последовательности. В этом случае пишут

lim xn = +∞ (lim xn = −∞) .

n→∞ n→∞

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Очевидно, что если переменная xn — бесконечно малая,

то обратная величина 1 — бесконечно большая и наоборот. xn

Докажем две леммы о бесконечно малых переменных.

Лемма 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Докажем это утверждение для двух бесконечно малых αn, βn .

Возьмем ε > 0. Тогда N1 , что при n > N1 выполняется не-

оба неравенства выполняются одновременно при n > N. По свой-

т. е. сумма двух бесконечно малых есть величина бесконечно малая. Для случая произвольного числа k бесконечно малых это утверждение доказывается методом математической индукции.

Лемма 2. Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Доказательство. Пусть{ xn } — ограниченная переменная, т. е. существует такое число M >0, что для всех n выполняется неравенство xn ≤ M . Пусть {α n } есть бесконечно малая по-

следовательность. Тогда для любого ε> 0 найдется номер N, что при n > N выполняется неравенство

что и требовалось доказать.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Пусть N есть наибольшее из чисел N1 , N2 .

Тогда при n > N оба неравенства выполняются одновре-

Сформулируем без доказательства следующую теорему.

Теорема 4. Если { xn } — монотонно возрастающая и огра-

ниченная сверху последовательность (монотонно убывающая и ограниченная снизу последовательность), то она имеет конечный предел.

Рассмотрим арифметические операции над сходящимися последовательностями. В последующих трех теоремах будем

Теорема 5. Предел суммы двух сходящихся последователь-

ностей равенсуммеих пределов, т. е. lim(xn ± yn ) = a±b .

n→∞

Доказательство. Представим общие члены последователь-

Теорема 6. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов, т. е.

lim(xn yn ) = a b .

n→∞

Доказательство. Аналогично тому, как это делалось в пре-

дыдущей теореме, имеем: xn yn = a b + (a βn + b αn +αn βn ) . Используя леммы 1 и 2, получим, что выражение в скобках

есть бесконечно малая величина, значит, xn yn → a b .

Теорема 7. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен отношению их пределов, если предел знаме-

3.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

3)Если переменная xn→∞, а переменная yn имеет ко-

нечный предел, yn→a, то xn → ∞ . yn

Имеем на основании 1) yn → 0 , значит, обратная величина xn

xn → ∞ . yn

4) Пусть числитель и знаменатель дроби xn являются ве- yn

личинами бесконечно малыми, т. е. xn→0, yn→0, тогда отно-

шение xn может иметь любой предел или предела может не yn

существовать. В этом случае говорят, что мы имеем неопре-

Итак, пусть xn→0, yn→0, покажем на простейших примерах, что отношение двух бесконечно малых величин может стремиться к любому пределу, конечному или бесконечному или вовсе не иметь предела.

ет предела.

I.Числовая последовательность и ее предел

5)Аналогично можно показать, что в случае, когда числи-

тель и знаменатель дроби xn являются величинами бесконеч- yn

но большими, тогда отношение xn может иметь любой пре- yn

дел или его может не существовать. В этом случае говорят,

ждение пределов такого вида называется «раскрытие неоп-

ределенности вида ∞∞ ».

6) Если рассматривать произведение двух переменных xn·yn, то при xn→0, yn→∞ мы также имеем неопределенность вида [0 ∞].

7) Неопределенность возникает и при сложении двух бесконечно больших величин разных знаков. Пусть xn→ + ∞, yn→ – ∞. Тогда говорят о неопределенности вида [∞ −∞].

Рассмотрим несколько примеров нахождения пределов последовательностей.

Решение. Мы имеем неопределенность вида ∞∞ , поэтому

теорему о пределе частного применять сразу нельзя. Преобразуем дробь, поделив числитель и знаменатель на наивысшую

степень n2 . Получим дробь, равную данной, в которой числитель и знаменатель уже стремятся к конечным пределам и