Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие
.pdf
26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных
Следовательно, минимальная стоимость коробки С(6, 2) = = 144 (рубля). Так как объем коробки 48 дм2, то ее высота
z = 6482 = 4 , когда x = 6 и y = 2. Таким образом, оптимальные
размерыкоробки: 6 дм— ширина, 2 дм— глубинаи4 дмвысота. Пример 7.10. Найти локальный экстремум функции
f(x1, x2 , x3 )= x12 + 2x22 +3x32 + 2x1x2 + 2x2 x3 +
+2x1x3 −8x1 −12x2 −12x3 + 22.
Решение. Находим первые частные производные:
∂ f = 2x + 2x + 2x −8, |
||||
∂ x1 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
∂ f |
= 4x |
+ 2x |
+ 2x |
−12, |
|
||||
∂ x2 |
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
∂ f |
= 6x |
+ 2x |
+ 2x |
−12. |
|
||||
∂ x3 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
и приравниваем их к нулю:
2x1 + 2x2 + 2x3 =8, 2x1 + 4x2 + 2x3 =12, 2x1 + 2x2 + 6x3 =12.
Система имеет единственное решение K(1, 2, 1). Матрица Гессе, составленная из вторых частных производных исходной функции, имеет вид:
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
H |
f |
(x |
, x |
, x |
)= |
|
2 4 |
2 |
. |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Находим ее главные миноры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= 2 > 0, |
|
2 |
2 |
|
= 4 > 0, |
|
2 |
2 |
2 |
|
= |
|
2 |
2 |
2 |
|
=16 > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
2 |
|
|
0 |
2 |
0 |
|
||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
2 |
2 |
6 |
|
|
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
VII. Функции нескольких переменных
Значит, матрица Гессе положительно определенная и в точке K(1, 2, 1) мыимеем минимум. Вычислим его: fmin (1, 2, 1) = 0.
27. Наибольшее и наименьшее значение функции
При решении задач экономического характера очень часто приходится находить экстремум функции в ограниченной замкнутой области. Это далеко не простая задача при достаточно большом числе независимых переменных. Существуют специальные разделы математики и методы, позволяющие решать подобные задачи. Остановимся лишь на случае функции двух переменных. Заметим, что функция f (M), дифферен-
цируемая в ограниченной замкнутой области, достигает сво-
его наибольшего (наименьшего) значения или в критической точке, или в граничной точке области.
Пример 7.11. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции z = x2 y (2 − x − y) в |
треугольнике, ограниченном |
|||||||||
прямыми x = 0, y = 0, x + y = 6. |
|
|
||||||||
|
Решение. Находим первые частные производные: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
z′x = xy (4 −3x − 2y), |
z′y = x2 (2 − x − 2y). |
|
|||
|
Находим критические точки, лежащие внутри данного тре- |
|||||||||
угольника. Получим одну критическую точку M0 (1; 0,5). |
||||||||||
|
Находим вторые частные производные: |
|
||||||||
|
z′′xx = 4y −6xy −2y2 , z′′xy = z′′yx = 4x −3x2 − 4xy, z′′yy = −2x2 . |
|||||||||
|
Гессиан, |
вычисленный в данной точке M0 (1; 0,5), |
равен |
|||||||
|
|
= |
|
−1,5 |
−1 |
|
= 2 > 0 , значит, точка M0 (1; 0,5) — |
точка |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
M0 |
|
|
|
−1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
локального экстремума, причем точка локального максимума
1 = −1, 5 < 0, zmax 1, 12 = 14 .
Исследуем функцию на границах области. На сторонах x = 0 и y = 0 треугольника значения функции z равны нулю. Найдем ее
27. Наибольшее и наименьшее значение функции
наибольшее и наименьшее значения на стороне x + y = 6. На ней y = 6 – x (0 ≤ x ≤ 6) и z = z (x)= −4x2 (6 − x). На концах интервала z (0) = z (6) = 0. Критические точки находим из уравнения z′(x) = 0, −48x +12x2 = 0, 12x(x −4) = 0 . Отсюда x = 4 (так как
x = 0 — граничная точка). При этом y = 2, z = –128.
Итак, наибольшее и наименьшее значения функции z в данном треугольнике надо искать среди следующих ее значений: z = 1/4 внутритреугольника вточке(1; 1/2); z = 0 насторонах x = 0 иy = 0 (в том числе и в вершинах); z = –128 на стороне x + y = 6 в точке (4, 2). Отсюда видно, что наибольшее значение z = 1/4 данная функция принимает внутри треугольника, в точке (1; 1/2), а наименьшее z = –128 — на его границе, в точке(4, 2).
Задания
1.Исследовать функции на локальный экстремум.
a) z = e2x (xy + x + 4y2 ), b) z = 3y x + y2 + 6x − 2y +3,
c) z = −x4 − y4 + 2y2 + 2x2 + 4xy + 2, |
|
||||||||||||||||
d) |
z = |
|
1+ x + y |
|
|
, |
e) |
z = |
2 |
|
+ |
x2 |
|
+ y, |
|||
|
1+ x2 + y2 |
|
|
x |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f ) |
z = x2 + y2 − 2ln x −18ln y, |
|
|
g) u = xyz (4 − x − y − z), |
|||||||||||||
h) |
u = |
|
x3 |
+ y3 |
+ z3 |
, |
x, y, z > 0, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
xyz |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i) |
u = |
|
x |
|
+ |
y |
|
+ |
z |
, x, y, z > 0. |
|
||||||
y + z |
x + z |
|
x + y |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций. |
||||||||||||||||
a)z = 3xy в круге x2 + y2 ≤ |
2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
b)z = x2 + y2 −6x +4y +2 в прямоугольнике 1≤ x ≤ 4, −3 ≤ y ≤ 2 .
VII. Функции нескольких переменных
c)z = x2 +3y2 + x − y в треугольнике x ≤ 0, y ≥ 0, y − x ≤1. d)z = x + y в круге x2 + y2 ≤ 4 .
3. Издержки фирмы зависят от количества x произведенных изделий A и от количества y произведенных изделий B в соот-
ветствии с формулой: f (x, y) = 7x2 −5xy + 2y2 −4x −3y +6 .
Фирма может производить в совокупности не более 18 изделий в неделю, а изделий А должно быть не менее 7. Найти, сколько изделий A и B должна произвести фирма, чтобы ее издержки были наименьшими.
4. Прибыль фирмы зависит от количества x и y произведенного товара A и В соответственно по формуле:
z = y x − y2 − x + 6y . Фирма может производить в неделю не
более 9 единиц товара А и не более 8 единиц товара В. Найти, сколько изделий A и B должна произвести фирма, чтобы получить наибольшую прибыль.
5.Найти максимально возможное произведение трех натуральных чисел, сумма которых равна 120.
6.Найти минимальную стоимость материалов, необходимых для изготовления коробки без крышки заданного объема
600 дм3, если стоимость дна составляет 6 руб. / дм2, а стоимость материала для четырех стенок составляет 5 руб. / дм2.
7.Найти размеры коробки без крышки заданного объема 4000 дм3, имеющей минимальную площадь всех четырех стенок и дна.
8.Найти минимальную стоимость фанеры, необходимой для изготовления ящика с крышкой объема 48 дм2, если стои-
мость фанеры для дна и крышки составляет 3 руб. / дм2, а стоимость фанеры для четырех стенок составляет 4 руб. / дм2.
9. Прямоугольное здание имеет объем 8000 м2. Ежемесячная плата за отопление и поддержание постоянной температуры рассчитывается из условия 2 руб. / м2 за потолок, переднюю и заднюю стенки и по 4 руб. / м2 за две боковых стенки. Каковы должны быть размеры здания, чтобы минимизировать эти платежи?
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Асимптоты графика функции 49
Б
Бесконечно малые и бесконечно большие величины 31, 44
В
Вертикальная асимптота 50 Внутренняя точка множества 127 Возрастающаяпоследовательность 24 Вогнутость вверх 110 Вторая производная 89
Второй замечательный предел 54 Второй дифференциал 136
Г
Геометрический смысл дифференциала 76
Геометрическое изображение функций двух переменных 123
Гессиан 135 Горизонтальная асимптота 49 Градиент 132 Граничная точка области 127
Д
Дисконтирование 63 Дифференциал функции 75 Дифференциалы высших порядков
функциинескольких переменных 138
Дифференцируемая функция 70
З
Зависимая переменная 122, 123 Задача о непрерывном начислении
процентов 63
К
Квадратичная форма 140 Критерий Сильвестра 141 Кусочно-гладкая функция 86
Л
Линия уровня 124 Логарифмическая производная 81 Локальный экстремум 142
М
Матрица Гессе 135 Множество ограниченное 127
Монотонная последовательность 24
Н
Наклонная асимптота 49 Наибольшее и наименьшее значение
функции, непрерывной на отрезке 48
Неограниченная последовательность 24
Непрерывность функции
—на отрезке 48
—в точке 45
—слева, справа 46
—нескольких переменных 128
Тематический указатель
О
Ограниченность последовательности 23
Общий член последовательности 19 Окрестность точки 27
П
Первый замечательный предел 53
Предел
—последовательности 28
—левый, правый 43
—по Гейне 42
—по Коши 42
—функции нескольких
переменных 128 Предельные величины 71 Приращение аргумента 46 Приращение функции 46 Производная
—высшего порядка 88
—левая 86
—обратной функции 79
—правая 86
—сложной функции 80 Производственная функция 122
Р
Разложение функций
—в ряд Маклорена 101
—по формуле Тейлора 101, 138 Раскрытие неопределенностей
(правило Лопиталя) 95 Рекуррентная формула 22
Расстояние между точками 126
С
Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими переменными 32
СимволЛандау(символ«омалое») 44 Сравнение бесконечно малых
ибесконечнобольших функций 44
Сходимость последовательности 29
Т
Теоремы о пределах 33 Теоремы
—Ферма 92
—Ролля 93
—Лагранжа 93
—Коши 94 Точки перегиба 111
Точки разрыва функции 46
У
Убывающая последовательность 24 Уравнение касательной 88 Условия возрастания и убывания
функции 104
Ф
Формулы Тейлора и Маклорена 138 Функция Кобба — Дугласа
как макроэкономическая производственная функция 122
Функции Торнквиста 50
Э
Эластичность 72
Задания
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1.Корсакова Л. Г. Высшая математика для менеджеров. Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. Калининград, 1997.
2.Корсакова Л. Г. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие. Ч. 1. Изд. 2-е, испр. и доп. Калининград: Изд-во КГУ, 2005.
3.Красс М. С. Математика для экономических специальностей: Учебник. 4-е изд., испр. М.: Дело, 2003.
4.Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономического бакалавриата: Учебник. М.: Дело, 2005.
5.Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов. СПб.: Питер 2007.
6.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. и др. Высшая мате-
матика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н. Ш. Кремера М.: Банки и биржи; ЮНИТИ, 1998.
7.Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие / Под ред. В. И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2001.
8.Bloech J. Mathematik-Trainer fuer Wirtschaftsstudenten / 4 Auflage. Goettingen; London; Hainholz, 2000.
9.Boeker F. Formelsammlung fuer Wirtschaftswissenschaftler Mathematik und Statistic. Pearson Studium, Muenchen, 2007.
10.Chiang A. Fundamental Methods of Mathematical Economics. McGraw Hill Book Company, 1984.
11.Edwards C., Penney D. Calculus with analytic geometry. 5-th ed. Prentice-Hall, Inc., 1999.
12.Sydsaeter K., Hammond P. Essential mathematics for economic analysis. Prentice-Hall, Inc. 2002.
Дополнительная
1.Архипов Г. И., Садовничий В. Ф., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.
2.Бочаров П. П., Касимов Ю. Ф. Финансовая математика: Учеб-
ник. М.: Гардарики, 2002.
Тематический указатель
3.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математи-
ка в упражнениях и задачах: Учеб. пособие. 6-е изд. М.: ОНИКС; Мир и образование, 2005. Ч. 1, 2.
4.Жуленев С. В. Финансовая математика: введение в классическую теорию. М.: Изд-во МГУ, 2001.
5.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математи-
ческиеметодывэкономике: Учебник. М.: Изд-воМГУ; ДИС, 1997.
6.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
М.: Наука, 1995.
7.Клименко Ю. И.. Высшая математика для экономистов в примерах и задачах. М.: Экзамен, 2006.
8.Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов: Учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2001.
9.Колемаев В. А. Математическая экономика: Учебник для вузов.
М.: ЮНИТИ, 1998.
10.Коршунова Н. И., Плясунов В. С. Математика в экономике:
М.: Вита-Пресс, 1996.
11.Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и её приложение в экономическом образовании. М.: Дело, 2001.
12.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа: В 2 т. М.: АЛЬФА, 1998.
13.Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление: Лекции и практикум / Под ред. И. М. Петрушко. 2-е изд. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2006.
14.Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. 5-е изд., перераб. и доп.
М.: Дело, 2003.
15.Малугин В. А. Математика для экономистов: Математический анализ. Курс лекций. М.: Эксмо, 2005.
16.Малыхин В. И. Математика в экономике. М.: ИНФРА-М,
1999.
17.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. 14-е изд., испр. М.: Физ.-мат. лит., 2003.
18.Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие / Н. Ш. Кремер, И. М. Тришин, Б. А. Путко; Под ред. Н. Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Задания
19.Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: Учеб. пособие / А. В. Кузнецов, Д.С. Кузнецова, Е. И. Шилкина
идр. Минск: Выш. шк., 1994.
20.Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. и др. Мате-
матика в экономике: Учебник: В 2 ч. Ч.2. М.: Финансы и статистика, 1999.
21.Сюдсетер К., Стрём А., Берк П. Справочник по математике для экономистов / Пер. с норвежск. СПб.: Экономическая школа, 2000.
22.Федосеев В. В., Гармаш А. Н., Дайитбегов Д.М и др. Эконо-
мико-математические методы и прикладные модели. Учеб. пособие
для вузов / Под ред. Федосеева В. В. М.: ЮНИТИ, 1999.
23.Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расче-
тов. М.: Дело, 1995.
24.Чжун К., Сахлиа Ф. Элементарный курс теории вероятностей, стохастические процессы и финансовая математика. М.: Бином; Лаборатория знаний, 2007.
25.Anthony M., Biggs N. Mathematics for economic and finance Methods and modelling. Cambridge University Press, 1996.
26.Armstrong B., Davis D. Finite mathematics: solving problems in business, economics, and the social and behavioral sciences. PrenticeHall, 2003.
27.Berck P., Sydsaeter K. Economists’ Mathematical Manual. 2 Auflage. Springer. Berlin, Heidelberg, New York, 1993.
28.Buecker R. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler. Muenchen: Oldenbourg, 2003.
29.Carter M. Foundations of mathematical economics. MIT Press,
2001.
30.Doersam P. Mathematik anschaulich dargestellt —fuer studierende der Wirtschaftswissenschaften / PD-Verlag 7. Auflage. Heidenau, 1997.
31.Dowling E. Mathematical Methods for business and economics. McGraw Hill Book Company, 1993.
32.Econometric models in marketing / Ed. by Philip Hans Franses, Alan L. Montgomery. Amsterdam: JAI, 2002.
33.Jensen U. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler., 4 Auflage, Oldenbourg, Muenchen, 2006.
34.Karmann A. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler, 5 Auflage, Oldenbourg, Muenchen, 2003.
Тематический указатель
35.Larek E. Analytische Methoden in der Wirtschaft: Analysis, Finanzmathematik. Frankfurt am Main: Lang, 2004.
36.Luderer B., Nollau V., Vetters K. Mathematical formulas for economists: with 6 tables. Berlin: Springer, 2002.
37.Luderer B. Starthilfe Finanzmathematik: Zinsen — Kurse — Renditen. Stuttgart: Teubner, 2003.
38.Meyberg K. und Vachenauer P. Hoehere Mathematik 1, Differential und Integralrechnung, Vector — und Matrizenrechnung, 6 Auflage, Berlin, Springer, 2001.
39.Mohnen A. Performancemessung und die Steuerung von Investitionsentscheidungen. Wiesbaden: DUV, 2002..
40.Mehler — Bicher A. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler / Muenchen: Oldenbourg, 1999.
41.Nollau V. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler. 2 Auflage, Teubner, Stuttgart, Leipzig 1995.
42.Ohse D. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler I, Analysis, 6 Auflage, Muenchen 2004.
43.Ostaszewski A. Advanced mathematical methods. Cambridge University Press, 1990.
44.Shao S. Mathematics and Quantitative Methods for Business and Economics. Old Dominion University. Printed in the U.S.A., 1976.
45.Spooner H., Wilson D. The Essence of Mathematic for Business. Prentice-Hall, Inc. 1991.
46.Sydsaeter K., Hammond P. Mathematics for economic analysis. Prentice-Hall, Inc. 1995.
47.Sydsaeter K., Hammond P. Mathematik fuer Wirtschaftswissenschaftler: Basiswissen mit Praxisbezug / Uebers. und fachlektorient durch F. Boeker. Muenchen: Pearson Studium, 2004.
48.Takayama A. Mathematical Economics. 2. Aufl. Cambridge University Press, 1985.
49.Tietze J. Einfuehrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik, 12. Aufl. Vieweg., Wiesbaden, 2005.
50.Tietze J. Einfuehrung in die Finanzmathematik: klassische Verfahren und neuere Entwickl Effektivzins — und Renditeberechnung, Investionsrechnung, derivative Finanzinstrumente; mit ueber 500 Uebungsaufgaben. Wiesbaden: Vieweg, 2004.