Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

V. Основные теоремы дифференциального исчисления

исходную функцию, записав ее в виде дроби и затем находим предел:

lim x

−x

∞

3x2

lim

= lim

lim

=0 .

x→+∞

x→+∞ e

∞

x→+∞

x→+∞ e

Пример 5.4. Вычислить lim (ex + x)x .

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида 1∞ . Обозначим искомый предел через A. Тогда

ln (ex + x)

ln A = lim

ln (ex + x)

= lim

x→0

+ x

A = e2

Пример 5.5. Вычислить

1 sin x

lim

x→0

Решение. Имеем неопределенность вида ∞0 . Обозначим

искомый предел через A. Прологарифмировав, получаем:

−ln x

sin

ln A = lim

sin x

= lim

sin

−1

x cos x

x→0

sin x

= lim

lim

= 0, A = e0 =1 .

cos x

x→0

Здесь мы использовали формулу (первый замечательный

предел) lim

sin x

=1 .

→0

19. Формулы Тейлора и Маклорена

Формулы Тейлора и Маклорена являются важнейшими формулами математического анализа и имеют многочисленные приложения. Рассмотрим многочлен n-й степени

19. Формулы Тейлора и Маклорена

P (x) = a0 + a1x + a2 x2 + K + an xn .

Продифференцируем его n раз по x, найдем значения многочлена и его производных в точке x = 0 и выразим коэффициенты многочлена из каждого полученного выражения. Имеем:

P(x) = a + a x + a x2

+ K + a xn ,

P(0) = a , a = P(0) ,

′

n−1

′

P (0)

(x)=a1 +2a2x +3a3x

+ K+nanx

=a1,a1

, P (0)

′′

(0)

′′

n−2

′′

(x)=2a2

+3 2 a3x + K+n (n−1) anx

(0)

=2a2, a2 =

, P

(x)=3 2 1 a3 + K+n(n−1)(n−2)anx

, P

(0)=3 2a3

, a3

′′′

(0)

′′′

n−3

′′′

LLL

LLLL

P(n) (x)=n (n−1) (n−2) K 2 1 a , P(n) (0)

=P(n) (x), a

P(n) (0)

Подставим найденные значения коэффициентов в P(x), по-

лучим формулу Маклорена:

P (x)= P(0)

P′(0)

x +

P′′(0)

P′′′(0)

x3 +

K +

P(n) (0)

xn .

Рассуждая аналогичным образом, можно разложить мно-

гочлен P(x) по степеням (x – a), где a — любое число. Будем иметь:

P(x)= P(a)+ P′1!(a)(x − a) + P′′2!(a)(x − a)2 +

+ P′′′(a)(x − a)3 + K + P(n) (a)(x − a)n . 3! n!

Это выражение называется формулой Тейлора для много-

члена P(x), или формулой разложения многочлена P(x) по степеням (x – a).

rn (x)=

V. Основные теоремы дифференциального исчисления

Пусть теперь в окрестности точки x = 0 задана функция y = f(x), не являющаяся многочленом, но имеющая в этой окрестности производные до n-го порядка включительно. Вычислим

величины

′

′′

(n)

(0) и зададим функцию

f (0), f (0), f

(0), K, f

′

′′

′′′

(n)

(0)

(x)= f (0)+

f (0)

x3 + K +

xn .

Pn (x)

есть многочлен степени n. Он называется прибли-

жающим многочленом для функции y = f(x). Если бы исходная функция y = f(x) являлась многочленом степени n, то выполня-

лось бы тождество f(x) ≡ Pn (x) для всех значений x из рас-

сматриваемой окрестности. Поскольку это не так, положим f (x)= Pn (x)+ rn (x), где rn (x) называется остаточным чле-

ном. Существуют различные формы записи rn (x). Наиболее простая из них — в форме Пеано: rn (x)= o(xn ), тогда формула Маклорена для функции y = f(x) принимает вид:

f (x)= f (0)+				f ′(0)		x +	f ′′(0)			x2 +
				1!			2!

+	f ′′′(0)	x3	+ K +		f (n) (0)			xn	+ o(xn ).
	3!
						n!

Данная формула показывает, что, заменив y = f(x) в окрестности точки x = 0 приближающим многочленом n-й степени, мы совершим ошибку, которая при x → 0 будет бесконечно

малой более высокого порядка, чем xn .

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

f (n+1) (ξ)xn+1 , при этом должна существовать еще про-

(n +1)!

изводная (n+1)-го порядка в точке x = ξ, принадлежащей окрестности точки x = 0.

19. Формулы Тейлора и Маклорена

Проводя аналогичные рассуждения при разложении функции y = f(x) в окрестности точки x = a, получим формулу Тейлора, а точнее, имеет место

Теорема Тейлора. Пусть функция y = f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные вплоть до порядка n + 1. Тогда между точками a и x ≠ a найдется такая точка ξ, что справедлива следующая формула:

f (x)= f (a)		+	f ′(a)	(x − a)+		f	′′(a)		(x − a)	2	+

			1!				2!

K +	f (n) (a)	(x − a)n +			f (n+1) (ξ )			(x − a)n+1 .
	n!
					(n +1)!

Поскольку точка ξ лежит между x и a, можно ее представить в виде: ξ = a +θ (x – a) и 0 < θ < 1.

Отсюда вывод: любые функции, удовлетворяющие условиям теоремы Тейлора, с достаточной степенью точности мо-

гут быть представлены в виде многочлена n-й степени. Мно-

гочлены являются наиболее простыми элементарными функциями, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т. д. Хотя формула Маклорена есть частный случай формулы Тейлора при a = 0, она наиболее часто используется в приложениях. Формула Тейлора может быть приведена к формуле Маклорена подстановкой x – a = t.

Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа записывается в виде:

f (x)= f (0)

f ′(0)

x +

f ′′(0)

2 +

f ′′′(0)

f (n) (0)

K +

xn +

(n+1) (θx)

xn+1

(n +

1)!

где 0 < θ < 1.

V. Основные теоремы дифференциального исчисления

Найдем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1) f (x)= ex .

Поскольку для этой функции f (n) (x)= (ex )(n) = ex , то f (n) (0)= e0 =1 для любого n и формула Маклорена имеет вид

=1+

+ K +

+ o(x

Данная формула используется для вычисления числа e с любой необходимой точностью.

2) f(x) = sin x.

Так как f (n) (x)= sin x				+ n π		, то
					2
	(n)		π		0,			n = 2k
f	(n)		π				(n−1 )	.
f		(0)= sin n	2		=		(n−1 )	.
			2		(−1)			2 , n = 2k +1

Подстановка в формулу Маклорена дает результат:

	x3		x5		x7		n−1 x2n−1			2n
sin x = x −		+		−		+K +(−1)			+ o(x		).
	3!		5!		7!			(2n −1)!

3) f(x) = cos x.

Поскольку f (n) (x)= cos x + n π

, то

(n)

n = 2k +1

(0)= cos n

(−1)

2 ,

n = 2k

Имеем:

n x2n

cos x =1−

−

+ K +(−1)

+ o(x

(2n)!

19. Формулы Тейлора и Маклорена

Пример 5.6. Представить функцию f (x) = 2x в виде мно-

гочлена третьей степени относительно x. Решение. В данном случае a = 0. Имеем:

f (x) = 2x ,	f (0) =1,
f ′(x)= 2x ln 2,	f ′(0)= ln 2,
f ′′(x)= 2x ln2 2,	f ′′(0)= ln2 2,
f ′′′(x)= 2x ln3 2,	f ′′′(0)= ln3 2,

f IV (x)= 2x ln4 2, f IV (θx)= ln4 2 2θx ,

0 <θ <1.

Используя формулу Маклорена, получим:

2x =

1+ ln 2 x +

ln2 2

2 +

ln3 2

x3 + r

(x),

(x)=

ln4 2

θx

где

0 <θ <1.

VI. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ

КИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

20.Возрастание и убывание функций

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке X, а ее производная f ′(x)≥ 0 ( f ′(x)≤ 0) для любого x X и

не обращается тождественно в нуль ни на каком интервале из промежутка X. Тогда f(x) возрастает (убывает) на X.

Доказательство. Пусть x1, x2 — две точки из промежутка X, причем x1 < x2 . По теореме Лагранжа найдется точка c ( x1, x2 ), для которой

f (x2 )− f (x1 )= f ′(c) (x2 − x1 ).

Так как x1 < с < x2 , то точка с является внутренней точкой

промежутка	X. Поэтому	f ′(c)≥ 0, f (x	)≥ f (x	),
	f (x2 )≤ f (x1 )).	2	1
′
(f (c)≤ 0,

Итак, мы доказали, что f(x) не убывает (не возрастает) на промежутке X. Следовательно, для любой точки x ( x1, x2 ),

выполняются неравенства f (x1 ) ≤ f (x), f (x) ≤ f (x2 ) для

неубывающей функции (аналогично для невозрастающей функции, только неравенства противоположного знака). Предполо-

жим, что f (x1 )= f (x2 ). Тогда для любой точки x ( x1, x2 ) имеем: f (x1 )= f (x)= f (x2 ), т. е. f(x) = const на интервале

20. Возрастание и убывание функций

( x , x	2	). Но в этом случае f ′(x)= 0		на ( x , x	2	), что противоре-
1	2			1	2
чит условию теоремы.
Поэтому
		f (x1 )< f (x2 ) ( f (x1 )> f (x2 ))
и функция f(x) возрастает (убывает) на X.
Пример 6.1. Если формула
		d =	100
		d =	p +1
			p +1

выражает зависимость спроса d на товар в зависимости от цены p на него, то

d′ = −	100
	(p +1)2

это скорость изменения спроса, или предельный спрос. Спрос является убывающей функцией цены, так как d′< 0 при любом значении p. Темп изменения спроса находится с помощью второй производной:

d′′ =	200	> 0.
	(p +1)3

Пример 6.2. (Ценовая эластичность спроса)

Пусть d = d (p) — функция спроса (в натуральных единицах) на некоторый товар при цене p. Так как при увеличении

цены спрос уменьшается, то эластичность спроса Ep (d )< 0. Спрос называется эластичным, если Ep (d ) > 1, и неэластичным, если Ep (d ) < 1. Если Ep (d ) =1, то спрос на-

зывают нейтральным. Термин совершенно неэластичный

спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. В этом случае Ep (d )= 0.

В другом крайнем случае, когда самое малое снижение цены

VI. Применение производных к исследованию функций

побуждает покупателя увеличивать покупки от нуля до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. Можно считать, что для совершенно эла-

стичного спроса Ep (d ) = ∞. Если продавцы обладают дос-

таточно большими запасами товара, то d = d (p) — это не только количество спрашиваемого товара, но и одновременно количество проданного товара. В этом случае общая выручка всех продавцов R = p d. Находим эластичность выручки по цене:

Ep (R)=	R′	p =	d + p d′	p =1+	d′	p =1+ Ep (d ).
	R		p d		d

Следовательно, при эластичном спросе Ep (R)< 0, а при неэластичном спросе Ep (R)> 0. Итак, если спрос эластичен,

то изменение цены вызывает изменение общей выручки в противоположном направлении. Если же спрос неэластичен, то изменение общей выручки происходит в том же направлении, что и изменение цены.

21. Экстремум функции

Определение. Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для всех x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство

f (x)≤ f (x0 )

( f (x)≥ f (x0 )).

Очевидно, что у функции может быть несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем локальный максимум может оказаться меньше некоторого локального минимума. Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локального экс-

тремума.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]