Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

25. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Определим операцию возведения этого символа в степень как обычное возведение в степень бинома в правой части. Тогда формулу для второго дифференциала можно переписать в виде

Аналогичным образом можно определить дифференциа-

лом третьего порядка функции z = f (x, y) в точке M0 (x0 , y0 ),

который имеет вид:

разложения по формуле бинома Ньютона. Дифференциал d n z определим и запишем в таком же виде:

d n z = d (d n−1z)= ∂∂x dx + ∂∂y dy n z .

По аналогии с рассмотренным случаем функции двух переменных также вводится понятие дифференциала k-го порядка для функции z = z (x1, x2 ,K, xn ). Для удобства записи и

запоминания введем символ d, полагая

Определим операцию возведения символа d в степень как обычное возведение в степень многочлена в правой части.

VII. Функции нескольких переменных

Тогда для k-го дифференциала функции z = z (x1, x2 ,K, xn ) получим выражение

d k z = ∂∂x1 dx1 + ∂∂x2 dx2 + L + ∂∂xn k z .

26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Локальный экстремум функции нескольких переменных

Теорема. Пусть функция y = f (M) дифференцируема (n+1) раз в некоторой ε-окрестности точки M0 (x10 , x20 ,K, xn0 ). Тогда приращение этой функции f = f (M )− f (M0 ) в точке M0 для любой точки M U (M0 , ε) можно представить в виде:

f = df (M0 )+ 1 d2 f (M0 )+L+ 1 dn f (M0 )+ ( 1 ) dn+1 f (M0′), 2! n! n +1 !

где M0′ U (M0 , ε).

Данная формула носит название формулы Тейлора для функции нескольких переменных с центром разложения в точке M0 . Доказательство ее мы не приводим.

Определение. Функция y = f (M), определенная на множе-

стве X, имеет в точке M0 локальный максимум (минимум),

если существует такая окрестность U (M0 , ε) X, что для лю-

бой точки M U (M0 , ε) выполняется неравенство f (M )≤ f (M0 ) (f (M )≥ f (M0 )).

Согласно данному определению локального экстремума, полное приращение функции f = f (M )− f (M0 ) удовлетво-

ряет одному из условий в окрестности точки M0 :

VII. Функции нескольких переменных

Достаточные условия экстремума.

Рассмотрим сначала несколько вопросов, относящихся к алгебре.

Функция

i,k =1

где aik — постоянные, называется квадратичной формой, за-

висящей от n переменных x1, x2 ,K, xn . Если aik = aki , то квад-

ратичная форма называется симметричной.

Квадратичная симметрическая форма называется положи-

тельно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений переменных x1, x2 ,K, xn , не равных нулю

одновременно, указанная форма имеет положительные (отрицательные) значения. Оба этих случая объединены под назва-

нием знакоопределенных форм.

Сформулируем критерий знакоопределенности квадратичной формы. Будем называть симметрическую матрицу

матрицей квадратичной формы. Определители

VII. Функции нескольких переменных

имеет все непрерывные вторые частные производные. Тогда,

если в этой точке второй дифференциал d 2 z является знакоопределенной квадратичной формой относительно дифференциалов независимых переменных dx1,dx2 ,K,dxn , данная функ-

ция имеет в точке M0 локальный экстремум. При этом: а) если d 2 z > 0, то это локальный минимум;

б) если d 2 z < 0, то это локальный максимум.

Если же d 2 z является знакопеременной квадратичной формой в точке M0 , то функция z = z (x1, x2 ,K, xn ) в точке

Доказательство. Разложим функцию z = f (M ) по фор-

муле Тейлора при n = 1.

Тогда полное приращение функции в точке M0 , поскольку

в точке локального экстремума первый дифференциал равен нулю, имеет вид:

где M1 — точка из окрестности точки M0 . Учитывая, что

Поскольку все вторые частные производные непрерывны в точке M0 , то

VII. Функции нескольких переменных

мума. Подставляя координаты этих точек, найдем соответствующие значения функции:

zmin =8+3 2 1−15 2 −12 =−28, zmax =−8+3(−2)+30 +12 =28.

Итак, zmin (2, 1)= −28, zmax (−2, −1)= 28 .

Пример 7.9. Найти минимальную стоимость и размеры прямоугольной коробки заданного объема в 48 дм2, изготовленной из разных сортов картона, если стоимость одного квадратного дециметра картона такова: 1 руб. на передней и задней стенке, 2 руб. на крышке и дне и 3 руб. на боковых стенках.

Решение. Обозначим через x, y, z линейные размеры коробки, тогда ее стоимость в рублях есть функция C = 2xz + 4xy + 6yz. Но x, y, z не будут независимыми переменными, так как объем коробки фиксирован: V = xyz = 48. Мы можем выразить любую из переменных, например z, через остальные две:

Вот теперь функция C — это функция двух независимых переменных, других зависимостей между x, y, z больше нет. Итак, находим экстремум функции двух переменных:

C (x, y)= 4xy + 288x + 96y .

Частныепроизводныепервогопорядкаприравниваемкнулю: