Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

≈ 259 (ден. ед.);

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

9. Замечательные пределы

В частности, если логарифм натуральный, то

lim ln(1+α)=1 .

(10.3)

α→0

Второе следствие:

lim

aα −1

= ln a,

a > 0,

a = const .

(10.4)

α→0

Докажем формулу (10.4). Обозначим

β= aα −1, α= loga (β+1),

α → 0 β → 0 . Имеем:

lim

aα −1

= lim

= ln a .

loga e

α→0

β→0 loga (1+ β )

Если основание степени a = e, то

lim

eα −1

=1.

(10.5)

α→0

Третье следствие:

lim

(1+α )μ −1

= μ, μ = const .

(10.6)

α→0

Для доказательства формулы (10.6) обозначим

β = (1 +α )μ −1, (1 +α )μ =1 + β,ln (1 +α )μ = ln (1 + β ),

μ ln (1 +α )= ln (1 + β ).

Тогда lim

(1+α )μ −1

= lim

μ ln(1+α )

= μ .

α→0

α→0 ln(1+ β )

Задания

1. Исследовать функцию на непрерывность или установить характер точек разрыва:

x +5

а) y =1+

;

y = 2

x−3

; с) y =

;

x +5

− 4

II. Предел и непрерывность функции

y =

2x −1

;

y = 2x ln(x −1) .

x +3

2. Найти пределы функций на бесконечности:

а)

lim(

+3x − x),

lim

; c) lim

4x2 +1 − 4 x4 +1

;

x→+∞

x→−∞

x +1

→+∞

x3 +5

d) lim

4x2 +1 −4 x4 +1

; e)

lim

3 − 4 2x

x→−∞

3 x3 +5

x→+∞

2x+1

3. Найти пределы функций в точке:

а)

lim

x −1 −5

lim

x2 + x −6

x→3

x −3

x→2

x − 2

lim

4x +3

lim

x2 + 2x −8

lim

sin x −cos x

x3 −8

cos2x

x→−2 x3 +8

x→2

x→π

4. Найти пределы:

а)

lim

sin 7x

;

lim

tg5x

;

lim

tg5x

;

2x +3 −

x→0

x→0 sin4x

x→π sin4x

d) lim

arcsin(x −3)

;

е)

lim

sin2 4x

x2 −3x

x→3

x→0

5. Найти пределы:

1 3n+4

а) lim 1

;

lim 1+

;

x→∞

n→∞

lim(1− 4x)

− 4 n+2

;

lim

x→0

n→∞

6. Найти пределы:

3x − 2x

4x −64

−1

а)

lim

;

lim

;

lim

;

x −3

3x)

x→0

x→3

x→0 ln(1

lim

x −1

;

lim

ln(2n4 + n2 +1)

ln(3n2 + n

−1)

e x−1 −1

x→1

n→∞

Задания

7. Найти пределы:

+K+

n −1

limn(ln(n +3)−ln n),

a) lim

n→∞ n2

n→∞

x +1 −1

3x4 − 2

−cos x

lim

x→0

x→∞

+3x + 4

x→0

1+ x −

8. Доказать равенства при x → 0.

а)

x3 arcsin 2 3x = o(x3 ),

b) 3x2 sin

= o(x),

3sin x

−1

arcsin x,

ln3

d) ln (1+4x) sin 4x,

1+ x −1 ex 2

−1.

9. Найти асимптоты кривых:

y =

, c) y = x2 ex, d) y =

, e) y = − e1/x,

2 (x+1)

x−1

x2 −1

f )

y =

3x2

y = arctgx,

y = 3

x3 − 6x2,

y = x − lnx,

y =

x3 +5

, k)

y = ln (

x−4), l )

2x2 +3x−5

y = 2x

+ arctg

x−3

x (x−4)

lnx

y =

y = x ln

p) y =

q) y =

(1+x)

2x +x

−1

III.ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

ВЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

11.Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден. ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия мы получим 150 ден. ед., а еще через полгода — 150 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года мы получим

		1	3
100 1	+		≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоеди-
		3

нения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т. д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

11. Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов

			1	100
100 1+						≈ 270 (ден. ед.);
100 1+			100			≈ 270 (ден. ед.);
			100
			1		1000
100 1	+					≈ 271 (ден. ед.).
100 1	+					≈ 271 (ден. ед.).
		1000

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому числу, равному приблизительно 272. Более чем в 2,72 раз капитал, положенный под 100 % годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу ежесекундно, потому что число e ≈ 2,71828 и

		1	n
lim 1	+			= e .
		n
n→∞

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал, месяц и т. д.). Время — дискретная переменная. В некоторых случаях — в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, — возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S = P (1+i)n .

Здесь P — первоначальная сумма; i — ставка процентов (в виде десятичной дроби); S — сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года.

Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необхо-

III. Применение пределов в экономических расчетах

димо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S — P называют дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной величиной S. Имеем:

P =		S	limP = lim		S	= 0 .
	(1	+i)n			(1+i)n
			n→∞	n→∞

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процентов более адекватно, чем на основе дискретных.

Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

			i mn
Sm	= P 1	+		.

			m

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m — число периодов начисления в году; i — годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m→∞ имеем:

i mn

S = limS

= limP 1

= P lim 1

= P e

m→∞

11. Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки — силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того чтобы отличить ставку непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, ее

обозначают через δ. Тогда S = P eδn . Сила роста δ представ-

ляет собой номинальную ставку процентов при m→∞. Множитель наращения рассчитывается с помощью компьютера или по таблицам функции.

Пример 3.1. Начальная сумма вклада составляет 30000 руб., а ставка начисления за год 5 %. Найти:

а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года; б) проценты за третий год; в) накопленную сумму за 6 лет;

г) проценты за последние 3 года.

Решение.

а) Накопленная сумма, согласно формуле сложных процентов

S = P (1+i)n ,

равна S(3)= 30000 (1,05)3 = 34729 (руб.), а проценты за тот же

период представляют разность 34729 – 30000 = 4729 (руб.). б) Проценты за третий год определяем по формуле:

30000 ((1,05)3 −(1,05)2 )=1654 (руб.).

в) Накопленная сумма за 6 лет будет равна:

S(6)= 30000 (1,05)6 = 40203 (руб.).

г) Наконец, найдем проценты за последние 3 года:

S(6)− S(3)= 40203 −34729 = 5474 (руб.).

Пример 3.2. Первоначальный вклад, положенный в банк под 4 % годовых, составил 70000 руб. Найти размер вклада через 4 года и 3 месяца при начислении процентов:

III.Применение пределов в экономических расчетах

а) поквартальном; б) помесячном; в) непрерывном.

Решение.

а) Используем формулу для начисления процентов m раз в году:

Sm = P 1+ i mn .

Внашем случае P = 70000; i = 0,04; n = 4,25; m = 4. Имеем:

S4					0,04	4 4,25		((1+ 0,01)	4	)	4,25
	=	70000	1	+			= 70000					=
	=	70000	1	+	4		= 70000					=
					4
= 70000 (1,0406)4,25						=	82901.

б) Если проценты начисляются каждый месяц, то m = 12, и конечная сумма будет равна:

			0,04	12 4,25	4,25
S12	= 70000 1	+			= 70000 (1,04074)	=82948.
			12

в) Используем формулу для непрерывного начисления процентов:

S = P eδn = 70000 2,718280,04 4,25 =82971.

Пример 3.3. Вклад был положен в банк на 3 года и в конце срока составлял 750 долларов. Каков был первоначальный капитал, если годовая процентная ставка составляла 5 % и проценты начислялись непрерывно?

Решение. По формуле непрерывного начисления процентов имеем:

Kn = K0 ein , K0 = Kn e−in ,K0 = 750 2,71828−(0,05 3) = 645,53.

Здесь через K0 обозначена величина первоначального вклада, через Kn — величина вклада через n лет.

Пример 3.4. Вклад пролежал в банке 3 года и 6 месяцев и в конце срока составил 10000 руб. Первоначальный вклад был равен 8765 руб. Каков был размер номинальной процентной годовой ставки, если проценты начислялись непрерывно?

11. Сложные проценты. Непрерывное начисление процентов

Решение. Логарифмируя формулу для непрерывного начисления процентов, получим:

Kn = K0 ein , ln Kn = ln K0 +i n,

			ln	Kn		ln	10000
	ln Kn −ln K0
								8765
i =		=	K0		=				= 0,0377.
	n		n				3,5

12. Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хо- зяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и p-срочные, где p характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример 3.5. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн рублей, проценты начисляются в конце года, ставка — 5 % годовых. В этом случае первый взнос

обратится к концу срока ренты в величину 106 1,053 (руб.), так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 106 1,052 (руб.), так как был на счете

2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них про-

III. Применение пределов в экономических расчетах

центами представляют ряд чисел: 106 1,053 ; 106 1,052 ; 106 1,05; 106 . Наращенная к концу срока ренты величина бу-

дет равна сумме членов этого ряда. Обобщим данный пример, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S — наращенная сумма ренты; R — размер члена ренты; i — ставка процентов (десятичная дробь); n — срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n–1, n–2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит:

R (1+i)n−1 , R (1+i)n−2 , K, R (1+i), R .

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим:


	S = R			(1+i)n −1		= R	(1+i)n −1	.
				(1+i)−1			i
Обозначим	Sn,i	=	(1+i)n −1		и будем называть эту величину

				i

коэффициентом приращения ренты. Если же проценты на-

числяются m раз в году, то

S = R	(1+i / m)mn −1		,
	(1+i / m)m −1

где i — номинальная ставка процентов.

Величина an,i =	1−(1+i)−n	называется коэффициентом
	i

приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n→∞ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

liman,i	1	−(1+i)−n		1
	= lim		=			.
		i			i
n→∞	n→∞

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено — она выплачи-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 166 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]