Высшая математика для экономистов. Часть 2. Учебное пособие

15. Односторонние и бесконечные производные

Очевидно, что в точке x = 0 существуют только односторонние производные, которые не равны между собой:

f+′(0) = cos 0 =1 и f−′ (0) = −cos 0 = −1. Таким образом, обычной производной в точке x = 0 не существует, функция y = │sin x│ не является дифференцируемой в данной точке. С геометрической точки зрения это означает, что в точке x = 0 существует две касательных, имеющих различные угловые коэффициенты. Найдем уравнения этих касательных.

Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x0 , f (x0 )) имеет вид:

y − f (x0 ) = f ′(x0 ) (x − x0 ).

Поскольку f+′(0) = cos 0 =1 , а f(0) = sin 0 = 0, то уравнение правой касательной: y = x, аналогично, уравнение левой касательной: y = – x.

Таким образом, из одной и той же точки (0, 0) выходят две касательные, это угловая точка.

16. Производные высших порядков

Начнем со следующей задачи: как оценить изменение предельной производительности ресурса. В производстве продукции используется несколько видов сырья, однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции x от затрат этого специфического ресурса r описывается формулой

x = f (r).

16. Производные высших порядков

Высшие производные обозначают также римскими цифра-

ми: yV , yVII , yX .

Пример 4.11. Найти все производные для функции y = x3 + 4x2 −5x +1.

Решение. Имеем:

y′ = 3x2 +8x −5, y′′ = 6x +8,

y′′′ = 6, yIV = yV =K= y(n) =K= 0 .

Пример 4.12. Найти все производные для функции y = e4x .

Решение. Имеем:

y′ = 4e4x , y′′ = 42 e4x , K, y(n ) = 4n e4x .

Задания

1.Выведите формулы для эластичности суммы и разности двух функций.

2.Докажите, что эластичность степенной функции постоянна и равна ее показателю степени.

3.Убедитесь в том, что показатель эластичности функции

y = ax прямо пропорционален соответствующему значению аргумента.

4.Докажите, что при любом x > 0, x ≠ 1 значение функции y = ln x обратно соответствующему показателю эластичности.

5.Найдите эластичность следующих функций:

6. Спрос d и предложение s изменяются по следующим законам:

17. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Найдите цену p, при которой спрос совпадает с предложением (цену равновесия). Рассчитайте эластичность спроса при этой цене. Постройте эскизы графиков спроса и предложения.

7.Установите зависимость между показателями эластичности взаимно обратных функций в соответствующих точках.

8.Найдите точки, в которых функции не дифференцируемы, и составьте уравнения касательных к графикам функций в этих точках:

a)y = 1− (x − 2)2 , b)y = 3 x2 , c)y = cos2 x, d)y = 3 +(2x −5), e)y = 5 (x + 2)2 .

9. Найдите производные следующих функций: a)y = xx , b)y = xln x , c)y = (3x2 +1)x−2 ,

d)y = (sin2 x)x , e)y = (5x4 )tgx.

V.Основные теоремы дифференциального исчисления

V.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

17. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ферма. Пусть функция y = f(x) определена на множестве X и во внутренней точке x0 X принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке существует конечная производная f ′(x0 ), то f ′(x0 )= 0.

Доказательство. Если f ′(x0 ) существует, то существуют и равны обе односторонние производные в точке x0 X :

f+′(x0 ) = f−′(x0 ).

Предположим для определенности, что в точке x0 функция принимает наименьшее значение. Тогда для любой точки

Поскольку f+′(x0 )= f−′(x0 )= f ′(x0 ), то f ′(x0 )= 0.

17. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Замечание. Проведенное рассуждение, в сущности, доказывает, что в точке x0 не может существовать и (двухсторон-

ней) бесконечной производной. Таким образом, заключение теоремы сохранится, если предположить в этой точке существование (двухсторонней) производной, не делая наперед оговорки, что она конечна.

Обращение в нуль производной f ′(x0 ) геометрически означает, что в соответствующей точке кривой (x0 , f (x0 )) каса-

тельная параллельна оси Ox.

Теорема Ролля. Пусть функция y = f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b];

2)дифференцируема на интервале (a, b);

3)f (a) = f (b).

Тогда существует точка c (a, b), в которой f ′(c)= 0 .

Доказательство. Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на нем в некоторых точках x1, x2

наименьшего и наибольшего значений m = f (x1), M = f (x2 ) . Если M = m, то функция y = f(x) постоянна и в любой точке x интервала (a, b) производная f ′(x)= 0 . Поэтому можно счи-

тать, что M ≠ m. Положим c = x1 , если f (a) ≠ m, и c = x2 , если f (a) = m. При таком определении имеем c ≠ a. Поскольку f (a) = f (b), то f (b) ≠ f (c), поэтому c ≠ b. Итак, c — это точка, в которой достигается наибольшее или наименьшее значение функции f(x) и c (a,b). По теореме Ферма f ′(c)= 0 .

Теорема Лагранжа. Пусть функция y = f(x):

1)непрерывна на отрезке [a, b];

2)дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует такая точка c (a, b), что

f (b)− f (a)= f ′(c) (b − a). (17.1)

Формула (17.1) называется формулой Лагранжа, или фор-

мулой конечных приращений.

18. РаскрытиенеопределенностейпоправилуЛопиталя

неопределенности других видов могут быть сведены к этим двум видам либо с помощью алгебраических преобразований, либо логарифмированием.

Решение. Имеем неопределенность вида (∞ 0). Непосредственно правило Лопиталя применять нельзя. Преобразуем