Типовой расчет по рядам. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Типовой расчет по рядам

83

ao

1

k¼x

ao

1

k¼x

k¼x

¢

1)

+

P1

bk sin(

)

2)

+

P1

ak cos(

)

+ bk sin(

)

2

3

2

3

3

1

k¼x

1

¡k¼x

¢

3)

Po

1

4)

P

bk sin(

3 )

1

ak cos( 3 )

1

6; 6]

3.

a

P

a9

в ряд Фурье на отрезке [

5)

2

+

1

ak cos(

3

)

функции

Коэффициент

разложения

¡

2

вычисляется

ïî

формуле

f(x) =6 x(¡5x

+ 1)

9¼x

1

6

9¼x

1)

2

(x(¡5x2 + 1)) sin(

) dx

2)

(x(¡5x2

+ 1)) cos(

) dx

6

0

6

6

6

6

2

R6

9¼x

1 ¡R6

9¼x

3)

R0

(x(¡5x2 + 1)) cos(

) dx

4)

¡R6

(x(¡5x2

+ 1)) sin(

) dx

6

6

6

6

n=1 4n(n2 + 2n + 5).

7. Найти

длину

области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) = r3

24x+ 11.

x

¡ ¡

8.

Вычислить сумму коэффициентов a6 + b6 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

2x ; x 2 [¡2; 0]

<

3x ; x (0; 2]

9.

Вычислить коэффициент a5 разложения функцииf(x) =8

¡

;

x

2

(3; 6]

:

2

<

3 x

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 6].

:

¡

2

P

P

1

1)

ao

1

k¼x

2)

1

k¼x

2

+

1

bk sin(

2

)

1

bk sin(

2

)

2

¢

2

¢

1

P1

k¼x

k¼x

ao

P1

¡

3)

ao

1

4)

k¼x

k¼x

2

+

ak cos(

2

)

2

+

ak cos(

)

+ bk sin(

)

3.

P

b9 разложения в ряд Фурье на отрезке [

5; 5] функции

5)

1

ak cos(

2

)

Коэффициент

¡

2

вычисляется

ïî

формуле

f(x) =5x(¡4x

+ 1)

9¼x

1

5

9¼x

1)

1

4x2

4x2

(x(

+ 1)) sin(

) dx 2)

(x(

+ 1)) cos(

) dx

5

5

5

5

3)

2

¡R55

¡

9¼x

¡R5

¡

(x(

¡

4x2

+ 1)) cos(

) dx

4) b9 = 0

5

5

2

R05

9¼x

5)

R0

(x(¡4x2

+ 1)) sin(

) dx

5

5

6.

Вычислить радиус сходимости степенного ряда

1

(2x + 2)n

=1 2n

p

.

3

nP

3

¢

n

+ 4n + 6

7.

Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) = r

³

¡

.

3x + 2

a4 + b4 разложения в ряд Фурье функции

2x + 4

3

¡

8.

Вычислить сумму коэффициентов

f(x) =8

7 ; x 2 [¡5; 0]

<

¡

4

¡

x ;

x

2

(0; 5]

:

9.

Вычислить коэффициент a5 разложения функцииf(x) =8

¡2 + x

;

x 2 [0; 3]

<

5

;

x

(3; 6]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 6].

:

¡

2

¡

2

¢ в ряд Маклорена.

f(x) = 100 cos

4x ¡ 2

Типовой расчет по рядам

85

Вариант

81

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

9

12

15

18

21

+ ¢ ¢ ¢ .

+

+

+

+

9

26

53

90

137

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡4; 4] функции f(x) = ¡5x + 6 имеет вид

1)

ao

1

k¼x

2)

1

k¼x

+

ak cos(

)

bk sin(

)

2

1

4

k¼x

1

4

ao

1

k¼x

1

k¼x

3)

+

P

ak cos(

)

+ bk sin(

)

4)

P

ak cos(

)

2

1

4

4

1

4

ao

1

¡

k¼x

¢

¢

P

5)

P

+

bk sin(

)

2

1

4

3.

Коэффициент

a14

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

6; 6] функции f(x) = 4x

2

P

¡

¡

вычисляется по формуле

1

14¼x

1)

2

6

14¼x

2)

6

(4x ¡ 2) cos(

) dx

(4x ¡ 2) cos(

) dx

6 0

6

6

6

6

2

R6

14¼x

1

¡R6

14¼x

3)

R0

(4x ¡ 2) sin(

) dx

4)

¡R6

(4x ¡ 2) sin(

) dx

6

6

6

6

5) a14 = 0

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

12

16

20

24

¡

+

¡

+ :::

18

35

60

93

5. Вычислить сумму данного числового ряда с использованием критерия Лейбница

с точностью не менее 10¡4

1

1

¡

1

¡

1

1

1

¡

1

¡

1

+

+

+

+ :::

17

16

35

31

61

52

95

79

n=1

2n2 + 5 .

8.

Вычислить сумму коэффициентов a6 + b6 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

2 + x ; x 2 [¡5; 0]

:

¡

2

<

5

; x

(0; 5]

9.

Вычислить коэффициент b5 разложения функцииf(x) =8

¡3 + x

;

x 2

[0; 3]

<

5

;

x

(3; 6]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 6].

: