Типовой расчет по рядам. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант 28

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

2

4

6

8

10

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

15

34

63

102

151

1)

ao

1

k¼x

k¼x

2)

1

k¼x

+

ak cos(

)

+ bk sin(

)

bk sin(

)

2

1

5

5

1

5

k¼x

1

P¡k¼x

¢

¢

a

1

3)

4)

Po

ak cos(

)

+

bk sin(

)

1

5

2

1

[

5

3.

a

P

b11

P

4; 4] функции

5)

Po

+

1

ak cos(

k¼x

)

2

1

5

Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

f(x) =4 ¡2 j x j +6 вычисляется по

формуле

1

4

11¼x

1)

2

R0

(¡2 j x j +6) sin(

11¼x

) dx

2)

(¡2 j x j +6) cos(

) dx

4

4

4

4

4

3)

b

4)

1

¡R4

x

11¼x

dx

¡R4

(¡2 j

j +6) sin(

2114= 0

11¼x

4

4

)

5)

R0

(¡2 j x j +6) cos(

) dx

4

4

n=1

n!

.

7.

Найти дëèíó îáëасти сходимости разложения в ряд Маклорена функции

p

a6 + b6 разложения в ряд Фурье функции

f(x) = ln 2 j x j +6.

8.

Вычислить сумму коэффициентов

f(x) =8

¡

7 ; x 2 [¡4; 0]

:

2

<

6

x ; x

(0; 4]

9.

Вычислить коэффициент b3 разложения функцииf(x) =8

3 + x

;

x 2 [0; 1]

<

4

;

x

(1; 2]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 2].

:

2

10. Найти коэффициент при (x

¡

x

)4 в разложении функции f(x) =

¡4x + 4

x + 2 â ðÿä

o

Типовой расчет по рядам

33

Вариант

29

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

8

12

16

20

24

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

5

17

39

71

113

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡5; 5] функции f(x) = 2x j x j имеет вид

P

k¼x

ao

P

¡

k¼x

¢

k¼x

¢

1)

1

2)

1

1

ak cos(

5

)

k¼x

2

+

1

ak cos(

5

)

+ bk sin(

5

)

ao

1

ao

1

k¼x

3)

+

P1

ak cos(

)

4)

+

P1

bk sin(

)

2

5

2

5

1

k¼x

3.

P

a8 разложения в ряд Фурье на отрезке [

5; 5]

bk sin( 5 )

5)

1

функции

Коэффициент

¡

f(x) = x(2x2 + 4) вычисляется по формуле

1)

2

5

8¼x

2

5

8¼x

(x(2x2 + 4)) cos(

) dx

2)

(x(2x2

+ 4)) sin(

) dx

5

5

5

5

3)

1

R05

(x(2x2 + 4)) cos(

8¼x

R0

) dx

4) a8 = 0

5

5

5

1

¡R5

8¼x

5)

¡R5

(x(2x2 + 4)) sin(

) dx

5

5

n=1

(2n)!! .

7.

Найти дëèíó îбласти сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) = ln p4x + 8.

8.

Вычислить сумму коэффициентов a6 + b6 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

3 + x ; x 2 [¡2; 0]

<

7 ; x (0; 2]

9.

Вычислить коэффициент a4 разложения функцииf(x) =8

¡

;

x

2

(2; 4]

:

2

<

6 x

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 4].

:

¡

2

Вариант 30

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

4

7

10

13

16

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

11

29

57

95

143

ao

1

k¼x

k¼x

ao

1

k¼x

1)

+

P1

ak cos(

)

+ bk sin(

)

2)

+

P1

ak cos(

)

2

5

5

2

5

1

¡k¼x

¢

¢

1

k¼x

3)

Po

1

4)

P

5 )

bk sin( 5

)

1

ak cos(

1

5)

a

+

bk sin(

k¼x

)

2

1

5

3.

Коэффициент

b15

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

4; 4]

функции

P

¡

2

¡ 6) вычисляется по

формуле

f(x) = x(2x

1

4

15¼x

1)

b15 = 0

2)

¡R44

(x(2x2

¡

6)) cos(

) dx

4

4

3)

2

4

15¼x

2

15¼x

(x(2x2

6)) cos(

) dx

4)

(x(2x2

6)) sin(

) dx

4

4

4

1

R04

¡

15¼x

4

R0

¡

5)

¡R4 (x(2x2 ¡ 6)) sin(

) dx

4

4

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

12

17

22

27

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

¡

+

¡

+ :::

12

23

38

57

n=1

(2n + 1)!!

.

7.

Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

3x + 7

2x + 1.

8.

Вычислить сумму коэффициентов a4 + b4 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

4x ; x 2 [¡3; 0]

<

4x ; x

(0; 3]

¡

2

9.

Вычислить коэффициент b4 разложения функцииf(x) =8

:

¡

2

:

¡

3

;

x

2

[0; 2]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 4].

<

2

x

;

x

(2; 4]

f(x) = 100 cos ¡¡4

4¡ 3¢

в ряд Маклорена.

x

Типовой расчет по рядам

35

Вариант 31

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

1

5

9

13

17

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

5

18

41

74

117

P¡

¢

¢

1

P

1)

ao

1

k¼x

k¼x

2)

ao

1

k¼x

2

+

1

ak cos(

5

) + bk sin(

5

)

2

+

1

bk sin(

5

)

ao

1

k¼x

k¼x

3)

+

P1

ak cos(

)

4)

ak cos(

)

2

5

5

1

k¼x

P1

3.

P

a9

[

6; 6] функции f(x) = 4x

3

bk sin(

5 )

5)

1

разложения в ряд Фурье на отрезке

Коэффициент

¡

¡

вычисляется по формуле

2

¡R66

¡

9¼x

2

R0

¡

9¼x

1)

(4x

3) sin(

) dx

2)

(4x

3) sin(

) dx

6

6

6

6

3)

a

= 0

4)

R0

(4

x

¡ 3) cos(

)

dx

19

6

9¼x

6

6

5)

¡R6 (4x ¡ 3) cos(

) dx

6

6

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

6.

Вычислить радиус сходимости степенного ряда

1

(2x

¡

4)n

=1 ( 3)n(n4

+ 4n2 + 10).

nP

¡

7.

Найти

длину

области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

¡2x + 5

f(x) = 3

3x + 3 .

r

8.

Вычислить сумму коэффициентов a4 + b4 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

2 ; x 2 [¡3; 0]

<

3

x ;

x

(0; 3]