Типовой расчет по рядам. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

1

P¡

¢

¢

Po

1

1)

ao

1

k¼x

k¼x

2)

1

k¼x

2

+

1

ak cos(

6

) + bk sin(

6

)

1

ak cos(

6

)

3)

Po

1

k¼x

4)

a

P

k¼x

bk sin(

)

+ 1

ak cos(

)

1

6

k¼x

2

6

5)

a

+

bk sin(

)

2

1

6

3.

Коэффициент

b16

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

5; 5]

функции

f(x) = 2

x

6

P

¡

j

j ¡

вычисляется по формуле

1)

2

5

16¼x

2) b16 = 0

(2

x

6) sin(

) dx

5

5

3)

1

R05

j

j ¡

16¼x

2 5

16¼x

(2 j x j ¡6) sin(

) dx

4)

0

(2 j x j ¡6) cos(

) dx

5

5

5

5

5

1

¡R5

16¼x

R

5)

¡R5

(2 j x j ¡6) cos(

) dx

5

5

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

6.

Вычислить радиус сходимости степенного ряда

1

(2x + 5)2n

nP

n

p

p

.

n + 6

n)

=1 16 (4n

7.

Найти длинуp

области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

¡3

x + 6

4px + 3 .

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

¡5 ; x 2 [¡4; 0]

:

¡

2

<

2

x

;

x

(0; 4]

9.

Вычислить коэффициент b3 разложения функцииf(x) =8

¡3 + x

;

x 2 [0; 1]

<

2

;

x

(1; 2]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 2].

:

¡

2

Типовой расчет по рядам

13

Вариант

9

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

6

10

14

18

22

+ ¢ ¢ ¢ .

+

+

+

+

9

21

39

63

93

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡3; 3] функции f(x) = 4x + 5 имеет вид

ao

1

k¼x

ao

1

k¼x

1)

+

P1

ak cos(

)

2)

+

P1

bk sin(

)

2

3

2

3

3)

1

k¼x

4)

1

k¼x

bk sin(

)

ak cos(

)

1

3

a9

¢

1

3

4; 4]

a

P¡

¢

P

[

5)

Po

1

k¼x

k¼x

2

+

1

ak cos(

3

) + bk sin(

3

)

функции

3. Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

f(x) = x(4x2 + 3) вычисляется по формуле

1

4

9¼x

2

4

9¼x

1)

(x(4x2 + 3)) cos(

) dx

2)

R04

(x(4x2 + 3)) cos(

) dx

4

4

4

4

4

1 ¡R4

9¼x

2

9¼x

3)

¡R4

(x(4x2 + 3)) sin(

) dx

4)

R0

(x(4x2 + 3)) sin(

) dx

4

4

4

4

5)

a9 = 0

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

5

7

9

11

¡

+

¡

+ :::

5

9

17

29

<

3

;

x (0; 3]

f(x) =8

4 + x

;

x 2 [¡3; 0]

9. Вычислить коэффициент a3 разложения функцииf(x) =8

2

:

¡

2

:

¡ ¡

5

;

x

2

[0; 2]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 4].

<

3

x

;

x

(2; 4]

f(x) = 100 cos ¡4

2

¢

в ряд Маклорена.

x + 2

Po

1

Po

1

1)

1

k¼x

2)

1

k¼x

1

bk sin(

3

)

1

ak cos(

3

)

3)

a

P

k¼x

4)

a

P

k¼x

+

bk sin(

)

+ 1

ak cos(

)

2

1

3

¢

¢

2

3

3.

ao

P

¡

b10

k¼x

[

3; 3]

5)

2

+

1

ak cos(

3

)

+ bk sin(

3

)

функции

Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

2

¡ 6) вычисляется по

формуле

f(x) =3x(¡3x

2

3

10¼x

1)

1

(x(¡3x2 ¡ 6)) sin(

10¼x

) dx

2)

R03

(x(¡3x2 ¡ 6)) sin(

) dx

3

3

3

3

3

1

¡R3

10¼x

2

10¼x

3)

¡R3

(x(¡3x2 ¡ 6)) cos(

) dx

4)

R0

(x(¡3x2 ¡ 6)) cos(

) dx

3

3

3

3

<

4x

;

x (0; 2]

f(x) =8

¡2x

;

x 2 [¡2; 0]

9. Вычислить коэффициент b5 разложения функцииf(x) =8

2

: ¡

2

:

¡

4

;

x

2

[0; 3]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 6].

<

5

x

;

x

(3; 6]

f(x) = 100 sin ¡¡2

3+ 3¢

в ряд Маклорена.

x

Типовой расчет по рядам

15

Вариант 11

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

числового ряда

10

+

15

+

20

+

25

+

30

+ ¢ ¢ ¢ .

7

20

43

76

119

P

k¼x

ao

P

k¼x

1)

1

2)

1

1

ak cos(

4

)

2

+

1

ak cos(

4

)

¢

4

¢

1

P1

k¼x

k¼x

ao

P1

¡

k¼x

3)

ao

1

4)

1

k¼x

2

+

bk sin(

4

)

2

+

ak cos(

4

)

+ bk sin(

[

)

3.

P

a14

6; 6] функции f(x) = 3x 6

5)

1

bk sin(

4

)

разложения в ряд Фурье на отрезке

Коэффициент

¡

¡

вычисляется по формуле

2

14¼x

1

6

14¼x

6

1)

¡R66

(3x

6) sin(

) dx

2)

(3x

6) sin(

) dx

6

6

6

6

3)

2

¡

14¼x

R0

¡

(3x

6) cos(

) dx

4) a14 = 0

6

6

1

R06

¡

14¼x

5)

¡R6

(3x ¡ 6) cos(

) dx

6

6

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

n=1

3n2 + 4

.

7.

Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

5x + 7

¡4x ¡ 4.

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

¡4 ; x 2 [¡3; 0]

:

¡

2

<

3

x ;

x

(0; 3]

9.

Вычислить коэффициент a3 разложения функцииf(x) =8

¡4 + x

;

x 2 [0; 2]

<

2

;

x

(2; 4]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 4].

:

¡

2

Вариант

12

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

4

+

6

+

8

+

10

+

12

+ ¢ ¢ ¢ .

11

28

55

92

139

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡3; 3] функции f(x) = 5 j x j ¡4 имеет вид

ao

P

k¼x

ao

P

k¼x

1)

2

+

1

bk sin(

3

)

2)

2

+

1

ak cos(

3

)

¢

¢

P

k¼x

ao

P

¡

k¼x

k¼x

3)

1

4)

1