Типовой расчет по рядам. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант 68

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

2

4

6

8

10

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

10

26

50

82

122

P

k¼x

ao

P

k¼x

1)

1

2)

1

1

bk sin(

2

)

2

+

1

bk sin(

2

)

¢

¢

Po

1

k¼x

ao

P

¡

k¼x

k¼x

3)

1

4)

1

1

ak cos(

2

)

2

+

1

ak cos(

2

) + bk sin(

2

)

3.

a

P

b16

разложения в ряд Фурье на отрезке [ 5; 5]

5)

2

+ 1

ak cos(

2

)

функции

Коэффициент

¡

¡3 j x j ¡1 вычисляется по

формуле

f(x) =5

1

5

16¼x

1)

2

(¡3 j x j ¡1) sin(

16¼x

) dx

2)

(¡3 j x j ¡1) cos(

) dx

5

0

5

5

5

5

2

R5

16¼x

1

¡R5

16¼x

3)

R0

(¡3 j x j ¡1) cos(

) dx

4)

¡R5

(¡3 j x j ¡1) sin(

) dx

5

5

5

5

n=1

(2n)!! .

7.

Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

3x ¡ 3

4x ¡ 1.

8.

Вычислить сумму коэффициентов a6 + b6 разложения в ряд Фурье функции

<

3

x ; x (0; 3]

f(x) =8

5 ; x 2 [¡3; 0]

9.

Вычислить коэффициент a5 разложения функцииf(x) =8

2

:

¡

2

:

¡ ¡

6

;

x

2

[0; 3]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 6].

<

2

x

;

x

(3; 6]

Типовой расчет по рядам

73

Вариант 69

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

8

12

16

20

24

+ ¢ ¢ ¢ .

+

+

+

+

12

29

54

87

128

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡6; 6] функции f(x) = ¡3x j x j имеет вид

ao

P

k¼x

P

k¼x

1)

2

+

1

bk sin(

6

)

2)

1

ak cos(

6

)

ao

P

k¼x

P

k¼x

3)

2

+

1

ak cos(

6

)

¢

¢

4)

1

bk sin(

6

)

[

5; 5]

ao

P

¡

a12

k¼x

5)

2

+

1

ak cos(

6

)

+ bk sin(

6

)

функции

3. Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

f(x) =5x(2x2 ¡ 6) вычисляется по формуле

1)

1

(x(2x2

6)) cos(

12¼x

) dx

2) a12 = 0

5

5

2

¡R55

¡

12¼x

1

5

¡

12¼x

3)

2

R05

¡

5¼x

¡R5

5

(x(2x2

6)) sin(

) dx

4)

5

(x(2x2

6)) sin(

5

) dx

5)

R0

(x(2x2 ¡ 6)) cos(

12

) dx

5

5

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

6

8

10

12

¡

+

¡

+ :::

9

22

45

78

n=1

(2n + 1)!!

.

7.

Найти

длину

области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) = r3

3x + 6

¡

.

3x + 4

¡

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

¡4 + x ; x 2 [¡5; 0]

:

2

<

6 ;

x

(0; 5]

9.

Вычислить коэффициент a3 разложения функцииf(x) =8

2 + x

;

x 2 [0; 3]

<

3

;

x

(3; 6]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 6].

:

2

f(x) = 100 cos ¡2

2

¢

в ряд Маклорена.

x + 3

ao

P

k¼x

ao

P¡

k¼x

¢

k¼x

¢

1)

2

+

1

ak cos(

4

)

2)

2

+

1

ak cos(

4

)

+ bk sin(

4

)

ao

1

k¼x

1

k¼x

3)

+

P1

bk sin(

)

4)

bk sin(

)

2

4

4

1

k¼x

P1

3.

P

ak cos(

b13 разложения в ряд Фурье на отрезке [

3; 3] функции

5)

1

4 )

Коэффициент

¡

2

¡ 3) вычисляется по

формуле

f(x) =3x(3x

2

3

13¼x

1)

1

¡R33

(x(3x2

¡

3)) sin(

13¼x

) dx

2)

R0

(x(3x2

¡

3)) sin(

) dx

3

3

3

3

3)

2

13¼x

(x(3x2

3)) cos(

) dx

4) b13 = 0

3

3

1

R03

¡

13¼x

5)

¡R3

(x(3x2 ¡ 3)) cos(

) dx

3

3

n=1 (¡3)n(n4 + 3n2 + 8).

7. Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) = r

³

.

2x + 3

a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

5x + 3

3

8. Вычислить сумму коэффициентов

f(x) =8

4x ; x 2 [¡2; 0]

:

2

<

3x ;

x

(0; 2]

9. Вычислить коэффициент b3 разложения функцииf(x) =8

6 + x

;

x 2 [0; 3]

<

4

;

x

(3; 6]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 6].

:

2

f(x) = 100 sin ¡3

3

¢

в ряд Маклорена.

x + 4

Типовой расчет по рядам

75

1

P

Po

1

1)

ao

+

1

bk sin(

k¼x

)

2)

1

ak cos(

k¼x

)

2

1

6

1

6

k¼x

3)

k¼x

4)

a

bk sin(

)

+ 1

ak cos(

)

1

6

a16

¢

¢

2

[

6

4x + 4

3.

a

P¡

P

3; 3] функции f(x) =

5)

Po

1

k¼x

k¼x

2

+

1

ak cos(

6

)

+ bk sin(

6

)

Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

¡

вычисляется по формуле

1

16¼x

1)

1

3

16¼x

3

(

¡

4x + 4) cos(

) dx

2)

(

¡

4x + 4) sin(

) dx

3

3

3

3

2 ¡R33

16¼x

¡R3

3)

R03

(

¡

4x + 4) cos(

) dx

4) a16 = 0

3

3

2

16¼x

5)

R0

(¡4x + 4) sin(

) dx

3

3

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

2 + x ; x 2 [¡5; 0]

<

3 ; x

(0; 5]

9.

Вычислить коэффициент a3 разложения функцииf(x) =8

6 x

;

x

2

(1; 2]

:

¡

2

<

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 2].

:

¡

2

Вариант 72

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

¡1

+

2

+

5

+

8

+

11

+

¢ ¢ ¢

.

16

34

60

94

136

Po

1

Po

1

1)

1

k¼x

2)

1

k¼x

1

bk sin(

5

)

¢

¢

1

ak cos(

5

)

3)

a

P

¡

k¼x

k¼x

4)

a

P

k¼x

2

+

1

ak cos(

5

)

+ bk sin(

5

)

2

+ 1

bk sin(

5

)

2x + 5

3.

ao

P

b9

[

4; 4] функции f(x) =

5)

2

+

1

ak cos(

5

)

Коэффициент

разложения в ряд Фурье на отрезке

¡

¡

вычисляется по формуле

1)

1

4

9¼x

2) b9 = 0

(

2x + 5) cos(

) dx

4

4

2 ¡R44

¡

9¼x

1 4

9¼x

3)

R04

¡

¡R4

¡

2

(

9¼x

) dx

4) 4

2x + 5) sin(

4

) dx

4

2x + 5) cos(

4

(

5)

R0

(¡2x + 5) sin(

) dx

4

4

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

13