Типовой расчет по рядам. Сетевое обновляемое электронное учебное пособие

Вариант

118

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2 + dn + e

числового ряда

3

8

13

18

23

+ ¢ ¢ ¢ .

+

+

+

+

6

17

38

69

110

2. Разложение в ряд Фурье на отрезке [¡3; 3] функции f(x) = ¡3x3 ¡ 5x имеет вид

P

k¼x

ao

P¡

k¼x

¢

k¼x

¢

1)

1

2)

1

1

ak cos(

3

)

2

+

1

ak cos(

3

)

+ bk sin(

3

)

ao

1

k¼x

ao

1

k¼x

3)

+

P1

bk sin(

)

4)

+

ak cos(

)

2

3

2

3

5)

1

k¼x

P1

bk sin(

)

1

3

Коэффициент

b13

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

2; 2]

функции

f(x) = 3

x

4

3.

P

¡

j

j ¡

вычисляется по формуле

2

13¼x

1

2

13¼x

2

1)

¡R22

(3

x

4) cos(

) dx

2)

(3

x

4) sin(

) dx

2

2

2

2

2

j

j ¡

13¼x

1

R02

j

j ¡

13¼x

3)

R0

(3 j x j ¡4) cos(

) dx

4)

¡R2

(3 j x j ¡4) sin(

) dx

2

2

2

2

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

3x ; x 2 [¡2; 0]

<

2x ; x

(0; 2]

9.

Вычислить коэффициент b3 разложения функцииf(x) =8

¡

;

x

2

(1; 2]

:

¡

2

<

2 x

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 2].

:

¡

2

Типовой расчет по рядам

123

Вариант 119

pn + q

1. Вычислить сумму p + q + c + d + e формулы общего члена an =

cn2

+ dn + e

3

7

11

15

19

числового ряда

+

+

+

+

+ ¢ ¢ ¢ .

15

36

67

108

159

ao

P

k¼x

P

k¼x

1)

2

+

1

ak cos(

3

)

¢

¢

2)

1

ak cos(

3

)

ao

P

¡

k¼x

k¼x

P

k¼x

3)

2

+

1

ak cos(

3

)

+ bk sin(

3

)

4)

1

bk sin(

3

)

5)

ao

+

1

bk sin(

k¼x

)

2

1

3

3.

Коэффициент

a14

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

5; 5]

функции

P

¡

2

¡ 5) вычисляется по

формуле

f(x) =5 x(4x

2

5

14¼x

1)

2

(x(4x2

5)) sin(

14¼x

) dx

2)

(x(4x2

5)) cos(

) dx

5

5

5

5

1 R05

¡

14¼x

1

R05

¡

14¼x

3)

¡R5

(x(4x2 ¡ 5)) sin(

) dx

4)

¡R5

(x(4x2 ¡ 5)) cos(

) dx

5

5

5

5

n=1 (¡2)n(n4 + 2n2 + 8).

7.

Найти длину области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

¡3x2 ¡ 3

4x2 ¡ 2 .

8.

Вычислить сумму коэффициентов a3 + b3 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

5 + x ; x 2 [¡2; 0]

<

4 ;

x (0; 2]

2

9.

Вычислить коэффициент a4 разложения функцииf(x) =8

:

¡

2

:

2 + x

;

x

2

[0; 3]

в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0; 6].

¡

<

4

;

x

(3; 6]

f(x) = 100 cos ¡¡2

2+ 2¢

в ряд Маклорена.

x

ao

P

k¼x

P

k¼x

1)

2

+

1

bk sin(

3

)

¢

¢

2)

1

bk sin(

3

)

ao

P

¡

k¼x

k¼x

P

k¼x

3)

2

+

1

ak cos(

3

)

+ bk sin(

3

)

4)

1

ak cos(

3

)

5)

ao

+

1

ak cos(

k¼x

)

2

1

3

3.

Коэффициент

b11

разложения в ряд Фурье на отрезке

[

4; 4]

функции

P

¡

2

¡ 1) вычисляется по

формуле

f(x) =4 x(¡5x

1

4

11¼x

1)

2

(x(

5x2

1)) sin(

11¼x

) dx

2)

(x(

5x2

1)) cos(

) dx

4

4

4

4

3)

1

R04

¡

5x2

¡

11¼x

¡R4

¡

¡

(x(

1)) sin(

) dx

4) b11 = 0

4

4

2

¡R44

¡

¡

11¼x

5)

R0

(x(¡5x2 ¡ 1)) cos(

) dx

4

4

4. Определить количество членов данного числового ряда, находящихся вне

"-окрестности точки x = 0 (" = 0:06)

12

15

18

21

¡

+

¡

+ :::

3

10

23

42

6.

Вычислить радиус сходимости степенного ряда

1

(4x + 3)2n

nP

=1 9n(3np

n

+ 10p

n

).

7.

Найти длинуp

области сходимости разложения в ряд Маклорена функции

f(x) =

¡4p

x

+ 2

.

¡3 x ¡ 4

8.

Вычислить сумму коэффициентов a5 + b5 разложения в ряд Фурье функции

f(x) =8

3x ; x 2 [¡2; 0]

<

¡

2x ;

x

2

(0; 2]

:

9.

Вычислить коэффициент b3 разложения функцииf(x) =8

¡3 + x

;

x 2 [0; 2]

<

6

;

x

(2; 4]

в ряд Фурье по синусам на отрезке [0; 4].

:

2

¡

2

¢

в ряд Маклорена.

f(x) = 100 sin

5x ¡ 4