Поскольку мы поняли, что алгебраическое замыкание поля k определяется однозначно с точностью до k-изоморфизма, то обозначим его через k.

Лемма 2.32. Пусть расширение K/k алгебраично. Тогда алгебраическое замыкание K поля K будет и алгебраическим замыканием для k, поэтому можно отождествить K = k.

Доказательство. Действительно, поле K алгебраически замкнуто и по лемме 2.24 алгебраично над k, поэтому удовлетворяет определению алгебраического замыкания поля k. □

Расширения K/k и F/k поля k называются изоморфными, если существует k-изоморфизм полей K → F .

Следствие 2.33. Пусть K/k и F/k — изоморфные алгебраические расширения, содержащиеся в k. Тогда любой изоморфизм полей K и F над k продолжается до автоморфизма поля k.

Доказательство. По теореме 2.31 изоморфизм полей F и K продолжается до изоморфизма их алгебраических замыканий, которые совпадают с k. □

Предложение 2.34. В условиях теоремы 2.31 пусть K — поле разложения над k некоторого множества многочленов Ω k[x] и τ : K → K′ — соответствующее вложение, продолжающее σ. Тогда Kτ — поле разложения над k′ множества Ωσ k′[x]. Два поля разложения над k одного и того же множества многочленов Ω k[x] изоморфны над k.

Доказательство. Если α1, . . . , αn — корни некоторого многочлена f Ω, то α1τ, . . . , αnτ — корни многочлена fσ(x) Ωτ = Ωσ. Поскольку K порождается над k корнями многочленов из Ω, его образ Kτ порождается над k′ корнями многочленов из Ωσ, т. е. является полем разложения Ωσ.

Если есть два поля разложения K и L одного множества многочленов Ω k[x], то рассмотрим L как алгебраическое замыкание поля k и продолжим тождественное отображение k → k до вложения K → L, а затем воспользуемся уже доказанным. □

2.4.Нормальные и сепарабельные расширения

Втеории Галуа принципиальную роль играют не просто алгебраические расширения полей, а расширения с дополнительными свойствами

44

нормальности и сепарабельности. Мы определим и изучим эти свойства.

Для данного расширения K/k обозначим через Autk K группу автоморфизмов поля K, тождественно действующих на k.

Теорема 2.35 (определение нормального расширения). Для алгебраического расширения K/k (без ограничения общности предполагаем k K k) следующие три условия эквивалентны, в случае их выполнения расширение называется нормальным.

1) K — поле разложения над k некоторого множества многочленов Ω k[x] (можно считать Ω ).

2)Если σ Autk k, то Kσ = K.

3)Если многочлен f(x) k[x] неприводим над k и некоторый его корень принадлежит K, то и все корни лежат в K.

Доказательство. 1) 2). Пусть многочлен f(x) Ω разлагается над k как (x − α1) . . . (x − αn) и σ Autkk. Так как

f(x) = fσ(x) = (x − α1σ) . . . (x − αnσ),

то σ просто переставляет корни f(x), а тогда Kσ = K.

2) 3). Пусть корень α неприводимого многочлена f(x) k[x] лежит в K и β k — другой корень. По предложению 2.19 существует изоморфизм σ : k(α) → k(β), переводящий α в β и тождественный на k. По теореме 2.31 и лемме 2.32 он продолжается до автоморфизма поля k. Но тогда ασ = β K.

3) 1). Возьмем произвольный элемент α K и его минимальный многочлен fα(x) k[x]. Он неприводим над k и его корень α принадлежит K. Но тогда все корни должны лежать в K. В этой ситуации K совпадает с полем разложения множества всех таких многочленов fα(x) (α K). □

Из следствия 2.33 и второго определения нормального расширения напрямую следует следующее утверждение.

Лемма 2.36. Пусть K/k — нормальное расширение, и k F1, F2 K. Тогда любой изоморфизм полей F1 и F2 над k продолжается до автоморфизма поля K.

Доказательство. По следствию 2.33 изоморфизм полей F1 и F2 продолжается до автоморфизма σ алгебраического замыкания k. Поскольку K/k нормально, поле K инвариантно относительно σ и сужение σ|K является автоморфизмом поля K, продолжающим исходный изоморфизм. □

45

Лемма 2.37. Пусть имеются поля k K, L k. Если K/k и L/k — нормальные расширения, то и расширения KL/k, (K ∩ L)/k нормальны.

Доказательство. Сначала воспользуемся условием 1) из теоремы 2.35. Пусть K — поле разложения множества многочленов Ω1 над k, а L — поле разложения Ω2. Тогда KL — поле разложения Ω1 Ω2.

Затем воспользуется условием 3). Пусть один корень неприводимого над k многочлена содержится в K ∩L. Тогда все корни должны лежать как в K, так и в L, значит они лежат в пересечении K ∩ L. □

Заметим, что свойство нормальности расширения не транзитивно.

√ √

В качестве примера возьмем цепочку полей Q Q( 2) Q( 4 2). В ней

√ √ √

расширения Q Q( 2) и Q( 2) Q( 4 2) имеют степень 2, а потому

нормальны (упражнение для читателя), в то время как расширение

√

Q Q( 4 2) не является нормальным, так как не содержит все корни неприводимого над Q многочлена x4 − 2.

В лемме 2.37 утверждается, что пересечение двух нормальных расширений поля k нормально. На самом деле это верно и для пересечения любого множества нормальных расширений поля k, доказательство то же самое. Можно взять пересечение всех нормальных расширений поля k, содержащих K, чтобы получить следующее утверждение.

Лемма 2.38. Пусть k K k. Тогда в k существует наименьшее нормальное расширение E/k, которое содержит K.

Назовем E/k нормальным замыканием расширения K/k.

Лемма 2.39. Нормальное замыкание конечного расширения само является конечным.

Доказательство. Пусть поле K получается присоединением к k алгебраических элементов α1, . . . , αn. Возьмем минимальные многочлены f1(x), . . . , fn(x) k[x] для этих элементов. Тогда из теоремы 2.35 следует, что нормальным замыканием расширения K/k будет поле разложения множества многочленов {f1(x), . . . , fn(x)}, в частности, это расширение конечно. □

Определим сепарабельную степень конечного расширения K/k. Для этого рассмотрим произвольный изоморфизм полей σ : k → kσ и вложим поле kσ в его алгебраическое замыкание L. По теореме 2.31 отображение σ продолжается до вложения поля K в L. Число (мощность

46

λ

E L

множества) таких продолжений называется сепарабельной степенью конечного расширения K/k, оно обозначается через |K : k|s.

Разумеется, необходимо обосновать корректность данного определения — оно не должно зависеть от выбора изоморфизма σ. Обозначим через Sσ = {σi | i I} множество соответствующих вложений σi : K → L. Возьмем другой изоморфизм τ : k → kτ, вложим поле kτ в его алгебраическое замыкание E, рассмотрим множество Sτ = {τj | j J} вложений τj : K → E. Отображение τ−1σ будет изоморфизмом полей kτ → kσ. По теореме 2.31 оно продолжается до изоморфизма алгебраических замыканий λ: E → L (см. рис. 1). Тогда λ индуцирует отображение Sτ → Sσ по правилу τj 7→τj λ, а λ−1 индуцирует обратное отображение Sσ → Sτ . Поэтому мощности множеств Sσ и Sτ одинаковы.

Из доказанного следует, что можно рассмотреть тождественный изоморфизм k → k, тогда |K : k|s равняется числу вложений K → k над k.

Из предложения 2.19 вытекает следующая характеризация сепарабельной степени.

Лемма 2.40. Если K = k(α) — простое алгебраическое расширение поля k и f(x) — минимальный многочлен для α, то |K : k|s равняется

числу различных корней многочлена f(x) в k.

Покажем, что для сепарабельной степени, как и для обычной степени расширения, выполняется свойство мультипликативности.

Лемма 2.41. Пусть K/L и L/k — конечные расширения. Тогда

|K : k|s = |K : L|s · |L : k|s.

Доказательство. Предположим, что K k и рассмотрим вложения K и L в k, тождественные на k. Пусть {σi | i I} — множество

47

таких вложений поля L. Мощность этого множества равна |L : k|s. Каждое σi имеет ровно |K : L|s продолжений до вложений σij : K → k (j J) над k. Наоборот, любое вложение K → k над k имеет вид σij , поскольку индуцирует на L какое-то вложение σi. Получаем искомую формулу |K : k|s = |K : L|s · |L : k|s. □

Из следующего утверждения получается, что сепарабельная степень конечного расширения конечна.

Лемма 2.42. Для конечного расширения K/k выполняется неравенство |K : k|s |K : k|.

Доказательство. В случае когда K = k(α) — простое алгебраическое расширение поля k, все следует из того, что сепарабельная степень расширения равна числу корней минимального многочлена для α в k, а обычная степень расширения — степени этого многочлена, она не меньше числа корней.

В общем случае представим K в виде k(α1, . . . , αn), где αi — алгебраические над k элементы, и рассмотрим цепочку простых алгебраических расширений:

k k1 = k(α1) k2 = k(α1, α2) . . . kn = k(α1, . . . , αn) = K.

Имеем

|K : k|s = |k1 : k|s · |k2 : k1|s · . . . · |K : kn−1|s,

(2.4)

|K : k| = |k1 : k| · |k2 : k1| · . . . · |K : kn−1|.

Далее надо воспользоваться тем, что в правых частях приведенных равенств множители, которые стоят сверху, не превосходят соответствующих множителей под ними. □

Назовем многочлен из k[x] сепарабельным, если он не имеет кратных корней в k. Известно, что сепарабельность многочлена равносильна тому, что он взаимно прост со своей производной.

Элемент α алгебраического расширения K/k называется сепарабельным, если он является корнем некоторого сепарабельного многочлена из k[x], что равносильно следующему условию: минимальный многочлен для α сепарабелен.

Теорема 2.43 (определение сепарабельного расширения). Для алгебраического расширения K/k следующие два условия эквивалентны, в случае их выполнения расширение называется сепарабельным.

48

1)Элементы из K сепарабельны над k.

2)Для всякого конечного подрасширения F/k выполняется равенство

|F : k|s = |F : k|.

Доказательство. 1) 2). Представим F в виде k(α1, . . . , αn) и рассмотрим равенства (2.4) с заменой K на F . Равенство |F : k|s = = |F : k| будет следовать из 2.4, если мы докажем, что для любого промежуточного расширения L/k и элемента α K имеет место |L(α) : L|s = |L(α) : L|. По условию α является корнем какого-то сепарабельного многочлена из k[x]. Этот многочлен должен делиться на минимальный многочлен f(x) для α над L. Но тогда степень f(x) (она равна |L(α) : L|) должна равняться числу корней f(x) (оно равно

|L(α) : L|s).

2) 1). Рассмотрим произвольный элемент α K и его минимальный многочлен f(x) над k. Так как |k(α) : k|s = |k(α) : k|, то степень многочлена f(x) совпадает с числом корней. Поэтому многочлен не имеет кратных корней. □

Читатель легко докажет следующий факт в качестве упражнения.

Лемма 2.44. Конечное расширение полей K/k сепарабельно тогда и только тогда, когда |K : k|s = |K : k|.

Лемма 2.45. 1) Расширение K = k(αi | i I) поля k, полученное присоединением алгебраических сепарабельных элементов αi, само сепарабельно.

2)Свойство сепарабельности расширений транзитивно.

3)Композит сепарабельных расширений сепарабелен.

Доказательство. 1) Понятно, что задача сводится к случаю конечного расширения K = k(α1, . . . , αn). Дальше доказательство ничем не отличается от доказательства пункта 1) 2) теоремы 2.43.

2) Пусть расширения K/L и L/k сепарабельны. Рассмотрим произвольный элемент α K и его минимальный многочлен f(x) = xn + + a1xn−1 + . . . + an над L. Этот многочлен будет минимальным и над полем F = k(a1, . . . , an). Расширение F (α)/k является конечным. Получаем

|F (α) : k| = |F (α) : F | · |F : k| = n · |F : k| =

= |F (α) : F |s · |F : k|s = |F (α) : k|s,

поэтому расширение F (α)/k сепарабельно, а тогда элемент α сепарабелен над k.

49