где K4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} — четверная группа Клейна;

Sn > An = An = . . . , n 5.

Из приведенного описания мы видим, что группы Sn при n 5 неразрешимы.

Конечная группа G называется p-группой, если порядок G равен равен pn, где n 0, p — простое натуральное число.

Теорема 1.25. Пусть p — простое число и G — нетривиальная конечная p-группа. Тогда центр группы G больше 1.

Доказательство. Отметим, что элемент a лежит в центре группы тогда и только тогда, когда aG = {a}. Разобьем G на классы сопряженных элементов Z(G) aG1 . . . aGs , здесь в центре Z(G) собраны одноэлементные классы, а дальше классы с числом элементов >1. Число элементов в каждом классе по предложению 1.9 делит поря-

Следствие 1.26. Конечная p-группа разрешима.

Доказательство проводится индукцией по порядку группы. Допустим, |G| = pn, где n > 1. Из теоремы 1.25 вытекает |Z(G)| = pm > 1. Тогда по индукции фактор-группа G/Z(G), порядок которой равен pn−m < pn, разрешима. По теореме 1.23 группа G разрешима как расширение абелевой группы Z(G) с помощью разрешимой группы G/Z(G). Следствие доказано. □

1.5. Теорема Силова

По теореме Лагранжа порядок подгруппы конечной группы делит порядок самой группы. Естественно спросить: а для всякого ли делителя порядка конечной группы существует подгруппа соответствующего порядка? Ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный, но если делитель является степенью простого числа, то такая подгруппа есть. Об этом, в частности, говорит теорема Силова. Сама теорема Силова показывает специфику конечных групп, имеет многочисленные применения и оказала огромное влияние на формирование современной теории конечных групп.

Лемма 1.27 (теорема Коши). Если простое число p делит порядок конечной группы G, то в G есть элемент (подгруппа) порядка p.

22

Доказательство. Разберем несколько случаев.

1)G = a — циклическая группа порядка pm. Тогда элемент am имеет порядок p.

2)G — абелева группа. По теореме 1.17 группа G разлагается в пря-

мое произведение A1 × . . . × Ar циклических групп. Порядок одной из групп Ai должен делиться на p, и тогда в ней должен быть элемент соответствующего порядка.

3)G — неабелева группа. Если в G найдется собственная подгруппа, порядок которой делится на p, то мы можем применить индукцию по порядку группы и получить требуемый результат. Допустим таких подгрупп нет, тогда придем к противоречию.

Итак, предполагаем, что для любой собственной подгруппы H ее порядок не делится на p, а тогда индекс |G : H| делится на p. Разложим G на классы сопряженных элементов. Это разложение можно

понимать так: G = Z(G) aG1 . . . aGs , где в центре Z(G) у нас собраны одноэлементные классы, а дальше классы большей мощности. По пред-

ложению 1.9 число элементов в каждом классе aGi равняется индексу собственной подгруппы (стабилизатора ai) и значит делится на p. Из этого вытекает, что порядок Z(G) делится на p, но ведь Z(G) — собственная подгруппа, — противоречие. □

Лемма 1.28. Пусть p — простое число и группа G содержит конечные p-подгруппы A и B, где A нормализует B (или B нормализует A). Тогда AB — конечная p-группа.

Доказательство. Понятно, что B является нормальной подгруппой в группе AB. Порядок подгруппы B и индекс |AB : B| являются

степенями p, последнее получается из изоморфизма AB/B A/A ∩ B

=

(см. следствие 1.14). Поэтому порядок AB тоже равен степени p. □

Пусть простое число p делит порядок группы G, представим этот порядок в виде pαm, где p и m взаимно просты. Любую подгруппу порядка pα назовем силовской p-подгруппой в G. Существование такой подгруппы сразу не очевидно.

Теорема 1.29 (Силова). Пусть p — простое число и порядок группы G равен pαm, где p и m взаимно просты, α > 0.

1)Всякая подгруппа порядка pβ , где β < α вкладывается в подгруппу порядка pβ+1. В частности, существует силовская p-подгруппа.

2)Все силовские p-подгруппы сопряжены в G.

3)Число силовских p-подгрупп делит m и сравнимо с 1 по модулю p.

23

Доказательство. 1) Пусть A — подгруппа порядка pβ . Обозначим через M = {Ag | g G} множество подгрупп, сопряженных с A. Группа G действует сопряжениями на M, относительно этого действия орбита одна. По предложению 1.10 |M| = |G : H|, где H = {h G | Ah = A} — нормализатор A. Если |H/A| делится на p, то по лемме 1.27 в H/A есть подгруппа B/A порядка p. Тогда B будет искомой подгруппой порядка pβ+1.

Допустим, p не делит |H/A| и затем придем к противоречию. Так как |G| = pαm = |G : H| · |H/A| · pβ , то p делит |G : H| = |M|. Рассмотрим действие группы A на M сопряжениями. Здесь уже орбит может быть много, но среди них есть одноэлементная {A}, и по предложению 1.10 число элементов в каждой орбите делит |A| = pβ и поэтому имеет вид pγ . Соответственно имеем |M| = 1 + pγ1 + . . . + pγs . Так как левая часть равенства делится на p, то число одноэлементных орбит тоже должно делиться на p. Значит, существует одноэлементная орбита {Ag}, где A ≠ Ag. По построению A нормализует Ag, а это равносильно тому, что Ag−1 нормализует A. Тогда Ag−1 H. По лемме 1.28 произведение Ag−1 · A является p-группой, а так как она больше A, то ее порядок имеет вид pδ, где δ > β. Из этого вытекает, что pδ делит порядок H. Получаем противоречие с тем, что |A| = pβ и |H/A| не делится на p.

2) Докажем, что две силовские p-подгруппы A и B сопряжены в G. По аналогии с предыдущим возьмем множество M = {Ag | g G} подгрупп, сопряженных с A. Имеем |M| = |G : H|, где H = {h G | Ah = A} — нормализатор A. Так как |A| = pα, то из равенства |G| =

=|G : H| · |H : A| · |A| следует, что |M| не делится на p. Рассмотрим действие B на M сопряжениями. Число элементов в каждой орбите имеет вид pγ . Среди этих чисел должна быть единица, иначе их сумма делилась бы на p. Поэтому B нормализует некоторую подгруппу Ag. Допустим, что B ̸= Ag. Тогда произведение B · Ag больше B, оно по лемме 1.28 является p-группой и, следовательно, имеет порядок pδ, где δ > α. Но pδ не может делить порядок G, — противоречие. Поэтому

B = Ag.

3)Пусть A — силовская p-подгруппа. В силу предыдущего M =

={Ag | g G} — множество всех силовских p-подгрупп. Мы уже заметили, что |M| = |G : H|, где H = {h G | Ah = A} — нормализатор A, и число |M| взаимно просто с p. Так как оно делит |G| = pαm, то должно делить m. Рассмотрим действие A на M сопряжениями. Число

24

элементов в каждой орбите имеет вид pγ . Среди этих чисел есть еди-

Полезно отметить следующий факт, который был получен при доказательстве пункта 3.

Замечание 1.30. Если одна силовская p-подгруппа конечной группы нормализует другую силовскую p-подгруппу, то эти подгруппы совпадают.

25