3.4. Построения циркулем и линейкой

Применим теорию Галуа к геометрическим задачам построения с помощью циркуля и линейки. Рассматриваются построения на плоскости: линейкой разрешается проводить только прямые, а циркулем — окружности. Отметим, что любая задача построения циркулем и линейкой может быть переформулирована в следующем виде: даны несколько отрезков, длина одного из них может считаться равной 1, нужно построить еще один или несколько отрезков.

В качестве примеров рассмотрим четыре классические задачи древних греков.

1.Задача квадратуры круга. Дан круг (его радиус длины 1), нужно построить равновеликий квадрат (т. е. его сторону длины √π).

2.Задача удвоения куба. Дан куб (его ребро длины 1), нужно

построить куб, объем которого в два раза больше (его ребро длины

√

3 2).

3. Задача трисекции угла. Дан угол θ (через прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза имеет длину 1, а один из катетов — cos(θ)), нужно разделить его на три равные части (построить отрезок длины cos(θ/3)).

4. Задача построения правильного n-угольника. Ничего не дано, хотя можно считать, что дан отрезок длины 1, нужно построить правильный n-угольник (угол 2π/n или отрезок длины cos(2π/n)).

Итак, пусть нам даны n+1 отрезков длин 1, α1, . . . , αn. При наличии отрезков длин a и b ≠ 0 мы можем построить отрезки длин a + b, a − b, ab, a/b. В результате, исходя из имеющихся отрезков, строятся отрезки, длины которых выражаются числами из поля k = Q(α1, . . . , αn). Но не

только. Если имеется отрезок длины a, то можно построить отрезок длины √a.

Назовем расширение K поля k пифагоровым, если найдется поле E,

где K E R, и цепочка подполей k = k0 < k1 < . . . < km = E такая, что kj+1 = kj (√aj ), где 0 < aj kj . Заметим сразу, что в этом случае |K : k| делит |E : k| = 2m и имеет вид 2s. Число, принадлежащее

пифагорову расширению K/k, назовем пифагоровым (над k).

Теорема 3.15. Исходя из данных отрезков длин 1, α1, . . . , αn циркулем и линейкой можно построить те и только те отрезки, длины которых выражаются пифагоровыми числами над k = Q(α1, . . . , αn).

Доказательство. В одну сторону мы знаем из предыдущего: отрезки пифагоровой длины можно строить.

65

Предположим, что задан алгоритм некоторого построения. Выберем в нашей плоскости декартову систему координат. Назовем точку на плоскости пифагоровой, если ее координаты — пифагоровы числа. Назовем прямую пифагоровой, если она может быть задана уравнением ax + by + c = 0, в котором a, b, c — пифагоровы числа. Назовем окружность пифагоровой, если ее центр является пифагоровой точкой, а радиус — пифагоровым числом. Легко проверяются следующие утверждения.

Лемма 3.16. 1) Прямая, проходящая через две пифагоровы точки, — пифагорова.

2)Отрезок, соединяющий две пифагоровы точки, имеет пифагорову длину.

3)Точка пересечения двух пифагоровых прямых — пифагорова.

4)Точки пересечения пифагоровой прямой и пифагоровой окружности — пифагоровы.

5)Точки пересечения двух пифагоровых окружностей — пифагоровы.

Применяем индукцию по числу шагов данного алгоритма построения. Предположим по индукции, что мы сделали m шагов построения и при этом провели только пифагоровы прямые и пифагоровы окружности. На следующем шаге нужно провести еще одну прямую или окружность. В алгоритме может быть указана точная инструкция, например, провести окружность с центром в некоторой построенной точке и радиусом, длина которого равна длине какого-то построенного отрезка. По лемме 3.16 эта окружность будет пифагоровой. Однако указание может быть и неточным, например, провести окружность с центром в некоторой построенной области и радиусом, длина которого удовлетворяет определенным ограничениям. В этом случае существует произвол выбора, причем окончательный результат построения не должен зависеть от этого произвола. Поскольку пифагоровы точки плотно заполняют плоскость (так как все рациональные точки — пифагоровы), то и на m + 1-м шаге мы можем провести пифагорову прямую или пифагорову окружность. По лемме 3.16 все построенные отрезки будут пифагоровыми. □

Удобно расширить понятие пифагорова числа на комплексные числа: назовем комплексное число a + bi пифагоровым, если a и b — пифагоровы действительные числа. Непосредственно проверяется, что тогда √a + bi тоже является пифагоровым комплексным числом. Можно говорить о построении циркулем и линейкой комплексного числа на

66

комплексной плоскости. По предыдущей теореме оно возможно в том и только том случае, если число пифагорово.

Назовем (комплексное) расширение K поля k пифагоровым, если найдется поле E, где K E, и цепочка подполей k = k0 < k1 < . . . < < km = E такая, что kj+1 = kj (√aj ), где aj kj (другими словами, kj+1 — поле разложения x2 − aj над kj ).

Степень пифагорова расширения является степенью числа 2. Обратное утверждение верно при определенных ограничениях.

Предложение 3.17. Пусть K/k — расширение Галуа и |K : k| = = 2m. Тогда это расширение пифагорово.

Доказательство. Группа Галуа G = G(K/k) по предложению 3.1 и следствию 1.26 разрешима, тогда в ней по теореме 1.24 имеется субнормальный ряд

G = G0 > G1 > . . . > Gm = 1

с факторами Gj /Gj+1 порядка 2. Возьмем соответствующий ряд под-

Вернемся к классическим задачам древних греков.

1.Задача квадратуры круга. Дан круг (его радиус длины 1), построить равновеликий квадрат (его сторону длины √π).

Если бы построение было возможно, то число √π было бы пифагоровым над k = Q, но оно даже не алгебраично (см. [5] или [11]), — противоречие. Построение невозможно.

2.Задача удвоения куба. Дан куб (его ребро длины 1), нужно

построить куб, объем которого в два раза больше (его ребро длины

√

3 2). √

Из предположения, что число 3 2 пифагорово над k = Q, должно

√

следовать, что степень расширения Q( 3 2)/Q является степенью числа 2, но она равна 3. Построение невозможно.

3. Задача трисекции угла. Дан угол θ (через прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза имеет длину 1, а один из катетов — cos(θ)), нужно разделить его на три равные части (построить отрезок длины cos(θ/3)).

Исходя из формулы косинуса тройного угла, число cos(θ/3) является корнем многочлена 4x3−3x−cos(θ) с коэффициентами из k = Q(cos(θ)). Возьмем конкретный угол, например, θ = π/3. Для него k = Q и число

67

cos(π/9) является корнем многочлена 8x3 −6x−1. После замены 2x = y получаем многочлен y3 − 3y − 1, который не имеет корней в Z, следовательно, неприводим над Q. Поэтому степень расширения Q(cos(π/9))/Q равна 3 и построение невозможно даже для этого конкретного угла

θ= π/3.

4.Задача построения правильного n-угольника.

Задача равносильна построению первообразного корня степени n из единицы ξ = cos(2π/n) + i sin(2π/n). Здесь k = Q, обозначим K = Q(ξ). Расширение K/k круговое, по теореме 3.7 его степень равна функции Эйлера от n. По предложению 3.17 построение возможно тогда и только тогда, когда эта степень имеет вид 2m. Разложим n в произведение простых множителей: n = 2rpr11 . . . prss , где p1, . . . , ps — простые числа, отличные от 2. Имеем

ϕ(n) = 2r−1pr11−1(p1 − 1) . . . prss−1(ps − 1).

В результате получаем следующий критерий.

Предложение 3.18. Правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n имеет вид

n = 2rp1 . . . ps,

где p1, . . . , ps — простые числа, отличные от 2, и p1 − 1, . . . , ps − 1 являются степенями 2.

Отметим, что простое число p такое, что p − 1 — степень числа 2, называется простым числом Ферма. Легко видеть, что простое число Ферма должно иметь вид 22n +1. При этом известно всего пять простых чисел Ферма — для n = 0, 1, 2, 3, 4.

3.5.Теория Галуа для бесконечных расширений

Вэтом параграфе под расширением Галуа K/k понимаем алгебраическое, нормальное и сепарабельное расширение полей (не обязатель-

но конечное). Можно предполагать K k. Группа Галуа по-прежнему определяется как G = G(K/k) = Autk K. Пусть некоторое множество {Ki | i I} конечных нормальных подрасширений Галуа локально покрывает K, это означает, что любое конечное подрасширение содержится в каком-то Ki. Например, множество всех конечных нормальных подрасширений Галуа удовлетворяет этому свойству. Обозначим Gi = G(Ki/k). На множестве индексов I определим частичный порядок по правилу i j Ki Kj . Этот порядок будет направленным,

68

т. е. для любых i, j I найдется l I такое, что l i, j. Из изученной выше теории Галуа конечных расширений вытекают следующие факты.

Лемма 3.19. 1) Проектирование G на Gi, т. е. ограничение автоморфизма из G на Ki, является эпиморфизмом групп ϕi : G → Gi. 2) При j i проектирование Gj на Gi, т. е. ограничение автоморфиз-

ма из Gj на Ki, является эпиморфизмом групп ϕji : Gj → Gi.

3) ϕii = IdGi ; если l j i, то ϕlj ◦ ϕji = ϕli.

Отвлечемся теперь от полей и назовем обратным (или проективным) спектром конечных групп совокупность G = {Gi, ϕji , I}, где I — направленное множество индексов, Gi, i I, — конечные группы, ϕji : Gj → Gi, j i, — гомоморфизмы групп, для которых выполняется условие 3) из последней леммы: ϕii = IdGi , если l j i, то ϕlj ◦ϕji = ϕli.

Назовем обратный спектр сюрьективным, если все ϕji — эпиморфизмы.

Будем говорить, что спектр H = {Hi, ψij , I} является подспектром в G = {Gi, ϕji , I}, если Hi — подгруппа в Gi и гомоморфизм ψij является ограничением ϕji на Hj .

Пусть дан обратный спектр конечных групп G = {Gi, ϕji , I}. Рассмотрим декартово произведение G = Qi I Gi групп Gi. Назовем элемент g G нитью, если все его компоненты gi согласованы с гомоморфизмами спектра, т. е. gj ϕji = gi при j i. Множество всех нитей образует подгруппу в G, которая называется обратным (проективным)

пределом спектра и обозначается как lim G.

←−

Мы выше поняли, как расширению Галуа K/k можно сопоставить

обратный спектр конечных групп, он, конечно, зависит от выбора множества подрасширений {Ki | i I}.

Предложение 3.20. Пусть обратный спектр конечных групп G = = {Gi, ϕji , I} соответствует расширению Галуа K/k. Тогда группа

Галуа G = G(K/k) может быть отождествлена с группой lim G.

←−

Доказательство. Каждому элементу g G сопоставляется нить g, состоящая из проекций gϕi данного элемента на Gi.

Наоборот, пусть имеется нить g = (gi | i I) G. Тогда ей однозначно сопоставляется автоморфизм поля K над k, который на элементе α K действует как gi, если α Ki.

Указанные отображения взаимно обратны и задают изоморфизм

69

Замечание 3.21. Пока наши знания не позволяют сказать, что для сюръективного обратного спектра конечных групп G = {Gi, ϕji , I}

проекция lim G на Gi всегда совпадает с Gi. В случае когда спектр

←−

связывается с группой Галуа расширения полей, мы видим, что это так.

Предложение 3.22. Пусть обратный спектр конечных групп G = = {Gi, ϕji , I} соответствует расширению Галуа K/k и H — сюрьективный подспектр спектра G, H = {Hi, ψij , I}. Тогда он соответствует расширению Галуа K/L, где L — объединение полей Li = KiHi .

В частности, G(K/L) = lim H.

←−

Доказательство. При j i имеется равенство Lj ∩ Ki = Li, поэтому L ∩ Ki = Li. Пусть H = G(K/L). Конечные расширения Галуа KiL/L составляют локальное покрытие расширения K/L, а их группы

Сформулируем теорему о соответствии Галуа в общем случае.

Теорема 3.23. Пусть K/k — (не обязательно конечное) расшире-

ние Галуа, G = G(K/k) — его группа Галуа и G = {Gi, ϕji , I} — соответствующий обратный спектр конечных групп. Тогда существу-

ет взаимно однозначное соответствие между подгруппами H группы G, являющимися обратными пределами сюрьективных подспек-

тров H = {Hi, ψij , I} спектра G = {Gi, ϕji , I}, и промежуточными подполями L, которое задается следующими взаимно обратными

отображениями:

Доказательство. Надо проверить, что указанные отображения являются взаимно обратными. Рассмотрим сюрьективный подспектр

H = {Hi, ψj , I} в G и его обратный предел H = lim H. По предло- i ←−

жению 3.22 (см. также замечание 3.21) проекция H на Hi равна Hi

(i I). Пусть α K. Выберем индекс i I, для которого α Ki.

Имеем α KH α KiHi = Li. Поэтому KH = L = S Li. По предложению 3.22 имеем G(K/KH ) = G(K/L) = H.

70

Пусть k L K и H = G(K/L). Подрасширения KiL/L локально покрывают K/L. Обозначим Hi = G(KiL/L). По теореме о подъ-

= {Hi, ψi , I} — сюрьективный подспектр в G = {Gi, ϕi , I}. Из пред-

Мы видим различие в формулировках теорем 3.4 и 3.23. В первом случае устанавливается соответствие между всеми подгруппами группы Галуа и всеми промежуточными подполями. Во втором — соответствие между подгруппами специального вида (обратными пределами сюрьективных подспектров спектра G) и всеми промежуточными подполями. На самом деле обратный предел спектра конечных групп должен пониматься как топологическая группа, базу окрестностей едини-

цы в ней образуют ядра проекций lim G на Gi. Такого сорта тополо-

←−

гические группы называются проконечными, они характеризуются как компактные вполне несвязные. А обратные пределы подспектров — это в точности замкнутые подгруппы проконечной группы. Так что в теореме 3.23 устанавливается соответствие между всеми замкнутыми подгруппами группы Галуа и всеми промежуточными подполями.

71