и K/K ∩ F — расширения Галуа и их группы Галуа изоморфны. Изоморфизм

G(KF/F ) → G(K/K ∩ F )

задается формулой σ 7→σ|K . В частности,

|KF : F | = |K : K ∩ F |.

Доказательство. Тот факт, что KF/F и K/K ∩ F — расширения Галуа, читатель легко проверит сам в качестве упражнения. Если σ G(KF/F ), то σ тождественно действует на K ∩ F , а так как расширение K/K ∩ F нормально, то Kσ = K. Следовательно, σ|K G(K/K ∩ F ). Поскольку σ действует на F тождественно и нормализует K, отображение σ 7→σ|K инъективно на G(KF/F ). Надо показать, что оно сюрьективно. Пусть H — образ G(KF/F ). По теореме Галуа подгруппе H соответствует подполе KH неподвижных элементов в K относительно H, а это равносильно неподвижности относительно G(KF/F ). Получается поле K ∩ F , т. е. минимальное промежуточное подполе в рассматриваемом расширении K/K ∩F . Минимальному подполю может соответствовать только вся группа Галуа G(K/K ∩ F ). Следовательно, H = G(K/K ∩ F ). □

3.2. Круговые и циклические расширения

Для данного натурального n определим круговое расширение поля рациональных чисел Q как поле K разложения многочлена xn − 1 над Q. Напомним, что корни этого многочлена имеют вид

cos(2πl/n) + i sin(2πl/n) = (cos(2π/n) + i sin(2π/n))l, l = 0, 1, . . . n − 1.

Они по умножению образуют циклическую группу порядка n, которая изоморфна аддитивной группе кольца вычетов Zn. Любой порождающий элемент этой группы называется первообразным корнем n-й степени из 1, он имеет вид (cos(2π/n) + i sin(2π/n))m, где m можно понимать как обратимый (по умножению) элемент кольца вычетов Zn, т. е. (m, n) = 1. Число первообразных корней равняется порядку группы обратимых элементов Zn. Этот порядок мы вычисляли, он равен функции Эйлера ϕ(n), см. следствие 2.14.

Пусть ξ — первообразный корень, тогда K = Q(ξ). Поймем, как устроена группа Галуа G = G(K/Q) кругового расширения. Если σ G, то можно утверждать, что ξσ = ξm(σ), где m(σ) Zn. Автоморфизм σ полностью определяется значением m(σ). Если τ G, то ξ(στ) =

57

= ξm(στ) = (ξσ)τ = ξm(σ)m(τ), т. е. m(στ) = m(σ)m(τ). Последнее означает, что отображение σ 7→m(σ) определяет гомоморфизм и, более того, вложение G → Zn. В результате мы можем отождествить группу G с некоторой подгруппой в Zn. На самом деле имеет место равенство.

Теорема 3.7 (о круговом расширении). Группа Галуа кругового расширения K/Q, соответствующего многочлену xn − 1, равна Zn. В частности, |K : Q| = |Zn| = ϕ(n).

Доказательство. Имеем K = Q(ξ), где ξ — первообразный корень степени n из единицы. Пусть f(x) — минимальный многочлен для ξ над Q. Тогда xn − 1 = f(x)g(x) и можно предполагать, что многочлены f(x) и g(x) лежат в Z[x], а их старшие коэффициенты равны 1. Если η — какой-то другой корень f(x), то по предложению 2.19 существует изоморфизм σ : Q(ξ) → Q(η), переводящий ξ в η. Так как Q(ξ) = Q(η) = K, то σ G = G(K/Q). Следовательно, теорема будет вытекать из утверждения: любой первообразный корень является корнем многочлена f(x). Докажем это.

Произвольный первообразный корень получается возведением ξ в некоторую натуральную степень m, взаимно простую с n. Разложим m на простые множители: m = p1 . . . ps. Если найдутся σ1, . . . , σs G, для которых ξσi = ξpi , то ξ(σ1 . . . σs) = ξm. Поэтому достаточно разобраться со случаем m = p, где p — простое число, не делящее n.

Допустим противное: ξp не является корнем f(x). Тогда ξp — корень многочлена g(x), что равносильно тому, что ξ — корень g(xp). Следовательно, многочлен f(x) должен делить g(xp): g(xp) = f(x)h(x). Снова замечаем, что h(x) Z[x]. Рассмотрим простое поле Fp из p элементов и канонический эпиморфизм колец : Z[x] → Fp[x]. Для соответствующих образов имеем g(xp) = f(x)h(x). Кроме того, из формулы бинома в поле характеристики p вытекает g(xp) = g(x)p. Из последних двух равенств следует, что любой корень многочлена f(x) в Fp должен быть корнем многочлена g(x). Но тогда многочлен xn − 1 = f(x)g(x) Fp[x] имеет кратные корни в Fp. Получаем противоречие с тем, что многочлен xn − 1 взаимно прост со своей производной nxn−1. □

Для расширений Галуа часто используются понятия нормы и следа элемента, определим их. Пусть K/k — расширение Галуа и G = = G(K/k) — его группа Галуа. Тогда норма и след элемента α K задаются формулами

58

Очевидно, что N(α) и Tr(α) принадлежат неподвижному подполю относительно G, т. е. k, норма является гомоморфизмом мультипликативных групп K → k , а след — гомоморфизмом аддитивных групп

K → k.

Расширение Галуа называется циклическим, если его группа Галуа — циклическая.

Предложение 3.8 (теорема 90 Гильберта). Пусть K/k — циклическое расширение, G(K/k) = σ и β K. Тогда

N(β) = 1 α K : β = α/ασ.

Прежде чем доказывать предложение, установим вспомогательное утверждение.

Лемма 3.9. Различные автоморфизмы σ1, . . . , σn поля K линейно независимы над K. Это означает, что если функция a1(xσ1) + . . . + + an(xσn), где a1, . . . , an K, тождественно равна нулю на K, то все ai = 0.

Доказательство проводится индукцией по n и следует схеме доказательства линейной независимости собственных векторов линейного преобразования, отвечающих разным собственным значениям. Допустим противное, что зависимость есть. Можно предполагать, что все коэффициенты ai отличны от нуля, иначе применим индукцию. Выберем элемент a K, для которого aσ1 ≠ aσ2, и подставим в нашу функцию вместо x произведение ax. Имеем

a1((ax)σ1) + a2((ax)σ2) + . . . + an((ax)σn) =

= a1(aσ1)(xσ1) + a2(aσ2)(xσ2) + . . . + an(aσn)(xσn) ≡ 0. (3.1) Затем умножаем начальное равенство на aσ1:

a1(aσ1)(xσ1) + a2(aσ1)(xσ2) + . . . + an(aσ1)(xσn) ≡ 0

и, вычитая это из (3.1), получим более короткую нетривиальную линейную зависимость:

a2(aσ2 − aσ1)(xσ2) + . . . + an(aσn − aσ1)(xσn) ≡ 0.

По индукции a2 = 0, что противоречит условию. Лемма доказана. □

Доказательство предложения 3.8. Пусть |K : k| = |G| = n. По условию

N(β) = ββσ . . . βσn−1 = β1+σ+...+σn−1 = 1,

59

здесь мы ради удобства используем степенную запись для действия автоморфизмами. По лемме 3.9 функция

ε + βσ + β1+σσ2 + . . . + β1+σ+...+σn−2 σn−1,

где ε обозначает тождественный автоморфизм, не равна тождественно нулю. Тогда существует θ K, для которого

α = θ + βθσ + β1+σθσ2 + . . . + β1+σ+...+σn−2 θσn−1 ̸= 0.

3.3. Разрешимость уравнений в радикалах

Дальше, за исключением последнего параграфа, предполагается, что все рассматриваемые поля имеют характеристику 0. В этой ситуации алгебраическое расширение всегда сепарабельно, а для того чтобы конечное расширение было расширением Галуа, необходима только нормальность.

Теорема 3.10 (о циклическом расширении). Пусть k — поле (характеристики 0) и первообразный корень ξ степени n из единицы принадлежит k.

1)Если K/k — циклическое расширение Галуа степени n, то K = k(α), где α — корень некоторого многочлена xn − a, a k.

2)Если α — корень многочлена xn − a (a k) в k, то k(α)/k — циклическое расширение Галуа степени d, где d делит n и αd k.

Доказательство. 1) Пусть σ — порождающий элемент группы Галуа. Тогда

N(ξ−1) = 1/N(ξ) = 1/ξ1+σ+...+σn−1 = 1/ξn = 1.

По предложению 3.8 найдется элемент α K, для которого ξ−1 = = α/ασ ασ = α · ξ. Далее, ασ2 = α · ξ2, . . . , ασn−1 = α · ξn−1. Мы видим, что автоморфизмы ε, σ, σ2, . . . , σn−1 действуют по-разному на α, а тогда |k(α) : k|s n k(α) = K. Положим a = αn. Так как aσ =

=(α · ξ)n = αn · ξn = a, то a k.

2)Вместе с α все корни многочлена xn − αn принадлежат k(α), поскольку они отличаются на множители, являющиеся степенями ξ. Поэтому расширение k(α)/k нормально, пусть G — его группа Галуа.

Если σ G, то ασ = α · ξm(σ), m(σ) Zn. Если еще τ G, то

α(στ) = α · ξm(στ) = (ασ)τ = α · ξm(σ)+m(τ).

60

Отображение G → Zn, действующее по правилу σ 7→m(σ), задает вложение G в аддитивную группу кольца Zn. Образ G, как и всякая подгруппа группы Zn, является циклической группой, он порождается подходящим элементом r, делящим n как целое число, пусть n = rd. Итак, G — циклическая группа порядка d, порожденная автоморфиз-

Конечное расширение K/k называется разрешимым, если существует расширение Галуа E/k, где E K, группа Галуа которого G(E/k) разрешима. Отметим, что тогда для любого расширения Галуа E1/k, где E E1 K, группа Галуа этого расширения тоже разрешима, так как по теореме 3.4 она является фактор-группой группы G(E/k). Поэтому конечное расширение K/k разрешимо тогда и только тогда, когда группа Галуа его нормального замыкания разрешима.

Предложение 3.11. 1) Пусть имеется цепочка полей K Fk и расширение K/k разрешимо. Тогда разрешимы расширения K/F

и F/k.

2)Если расширение K/k разрешимо и F k, то расширение KF/F разрешимо.

3)Пусть в цепочке полей K F k расширения K/F и F/k разрешимы. Тогда расширение K/k разрешимо, т. е. свойство разрешимости расширения транзитивно.

4)Если K/k и F/k — разрешимые расширения, то композит KF/k — тоже разрешимое расширение.

Доказательство. 1) Пусть E/k — нормальное замыкание K/k, его группа Галуа G(E/k) разрешима. Так как E F , то из этого вытекает разрешимость расширения F/k. Группа Галуа расширения E/F является подгруппой в G(E/k), поэтому тоже разрешима.

2) Пусть снова E/k — нормальное замыкание K/k, группа Галуа G(E/k) разрешима. Расширение EF/F — расширение Галуа. По теореме 3.6 группа G(EF/F ) изоморфна G(E/E ∩F ), последняя разрешима, так как является подгруппой в G(E/k).

4) Мы, используя 3), сначала докажем 4), а затем вернемся к наиболее сложной части — транзитивности свойства разрешимости расширения.

Рассмотрим цепочку KF F k. По утверждению 2) KF/F — разрешимое расширение, по условию F/k — разрешимое расширение, а тогда из 3) следует разрешимость расширения KF/k.

61

3) Сведем задачу к случаю, когда расширения K/F и F/k нормальны. Пусть E1 K, E2 F и расширения E1/F , E2/k являются разрешимыми расширениями Галуа. Достаточно доказать, что E1E2/k является разрешимым расширением. Имеем цепочку E1E2 E2 k. В ней расширения E1E2/E2 и E2/k являются нормальными разрешимыми расширениями, первое — по утверждению 2), второе — по условию. Сведение произведено.

Итак, предполагаем, что расширения K/F и F/k нормальны. Пусть E/k — нормальное замыкание K/k, нужно доказать, что его группа Галуа G = G(E/k) разрешима. В следующих двух формулах сверху указаны промежуточные подполя между E и k, а снизу — соответствующие подгруппы в G:

E L K F k,

1 N T H G.

Дадим необходимые пояснения к формулам. Расширения F/k и K/F нормальны, по теореме 3.4 их группы Галуа изоморфны фактор-груп- пам G/H и H/T соответственно. По условию обе этих фактор-группы разрешимы, скажем, ступеней n и m. Последнее означает, что G(n) H и H(m) T . Тогда G(n+m) T . Пусть L — подполе, соответствующее подгруппе N = G(n+m). Так как подгруппа N нормальна в G, то расширение L/k должно быть нормальным. Но E/k — нормальное замыкание K/k, поэтому E = L и N = G(n+m) = 1. Следовательно, группа G разрешима. □

Расширение K/k называется радикальным, если существуют поле

E K и цепочка подполей k = k0 k1 . . . km = E такие, что ki+1 = ki(αi), где αi — корень некоторого многочлена xni − ai, ai ki. Можно сказать, что элементы поля E получаются из элементов k при

помощи стандартных операций в поле (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций извлечения корней различных степеней. Из определения вытекает, что радикальное расширение конечно.

Теорема 3.12. Для конечного расширения K поля k характеристики 0 следующие условия эквивалентны:

1)K/k разрешимо;

2)K/k радикально.

Доказательство. 1) 2). Задача сводится к случаю, когда рассматриваемое расширение K/k нормально и его группа Галуа G =

62

= G(K/k) разрешима. Пусть |K : k| = |G| = n и ξ — первообразный корень степени n из единицы. Предположим сначала, что ξ k. По теореме 1.24 в G существует субнормальный ряд

G = G0 G1 . . . Gm Gm+1 = 1

с циклическими факторами Gi/Gi+1, ni = |Gi/Gi+1|, порядки которых должны делить n. Возьмем соответствующий ряд подполей:

k = k0 k1 . . . km km+1 = K.

По теореме Галуа расширение ki+1/ki нормально и его группой Галуа будет Gi/Gi+1. Так как первообразный корень из единицы степени ni лежит в ki, то мы можем воспользоваться теоремой 3.10 и утверждать, что ki+1 = ki(αi), где αi — корень некоторого многочлена xni − ai, ai ki. Это и требовалось доказать.

Пусть ξ / k. Обозначим F = k(ξ), тогда K(ξ) = KF . Расширение KF/F по теореме 3.6 нормально, его группа Галуа изоморфна подгруппе G(K/K∩F ) группы G, поэтому она разрешима и ее порядок делит n. Из разобранного случая вытекает, что между k(ξ) и K(ξ) существует нужная цепочка подполей, дополняя ее слева парой k k(ξ), получаем цепочку между k и K(ξ).

2) 1). Пусть K/k — радикальное расширение, без ограничения общности можно предполагать, что соответствующая цепочка подполей (см. определение радикального расширения) имеется между k и K. По предложению 3.11 свойство разрешимости расширения транзитивно, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда K = k(α), где α — корень многочлена xn − a, a k. Снова возьмем первообразный корень ξ степени n из единицы. Достаточно доказать, что расширение k(α, ξ)/k разрешимо. Имеем k k(ξ) k(α, ξ). По теореме 3.10 группа Галуа расширения k(α, ξ)/k(ξ) циклическая, значит разрешимая. Осталось разобраться с расширением k(ξ)/k. Поле k(ξ) можно понимать как композит Q(ξ)·k. По теореме 3.6 группа Галуа расширения Q(ξ)·k/k будет подгруппой G(Q(ξ)/Q(ξ) ∩ k) группы Галуа кругового расширения Q(ξ)/Q. По теореме 3.7 она абелева. □

Дадим понятие общего многочлена степени n. Можно стартовать с произвольного поля k нулевой характеристики и рассмотреть поле F = k(a1, . . . , an) рациональных функций над k от переменных a1, . . . , an. Общим многочленом назовем многочлен f(x) = xn+a1xn−1+ + . . . + an F [x]. Корни f(x) лежат в алгебраическом замыкании поля F . Допустим, что эти корни получаются из элементов F при помощи

63

стандартных операций в поле (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций извлечения корней различных степеней. Тогда для конкретного многочлена с коэффициентами из k можно вычислять корни этого многочлена, подставляя в общие формулы вместо a1, . . . , an конкретные значения, за исключением, конечно, тех, которые какието знаменатели в формулах обращают в ноль. Например, такие общие формулы существуют для многочленов степени 4. Мы покажем, что для общего многочлена степени 5 таких формул нет. Для этого найдем группу Галуа общего многочлена.

Предложение 3.13. Группа Галуа общего многочлена степени n равна Sn.

Доказательство. Рассмотрим поле рациональных функций K =

= k(t1, . . . , tn) от переменных t1, . . . , tn. Обозначим F = k(s1, . . . , sn), где s1, . . . , sn — элементарные симметрические многочлены от этих пе-

ременных. Очевидно, что K/F — расширение Галуа.

Пусть α1, . . . , αn — корни общего многочлена f(x) = xn + a1xn−1+ + . . . + an. Имеется канонический эпиморфизм колец

σ : k[t1, . . . , tn] → k[α1, . . . , αn].

По теореме Виета siσ = (−1)iai. Таким образом, σ индуцирует эпиморфизм

τ : k[s1, . . . , sn] → k[a1, . . . , an].

Покажем, что τ является изоморфизмом, т.е., что его ядро тривиально. Действительно, образ элемента g(s1 . . . , sn) при отображении τ имеет

вид g(−a1, a2, . . . , (−1)n−1an) и он может быть равен нулю только в случае, когда g — тривиальный многочлен от n переменных. По лемме 2.1

изоморфизм τ можно продолжить до изоморфизма полей частных F =

= k(s1, . . . , sn) и k(a1, . . . , an). По предложению 2.34 изоморфизм τ продолжается также до изоморфизма K = k(t1, . . . , tn) и k(α1, . . . , αn), причем можно считать, что ti 7→αi. Поэтому мы отождествляем αi

с ti, а поле разложения общего многочлена f(x) — с K = k(t1, . . . , tn). Рассмотрим действие группы Sn на K перестановками переменных

t1, . . . , tn. С одной стороны, KSn F . С другой стороны, группа Галуа поля разложения многочлена степени n содержится в Sn. Поэтому

G(K/F ) = Sn. □

Следствие 3.14. Корни общего многочлена степени n 5 не вычисляются в радикалах.

Это вытекает из того, что при n 5 группа Sn неразрешима.

64