Отсюда следует, в частности, что если G — конечная группа и g G, то g|G| = e. Заметим, что частным случаем этого утверждения является малая теорема Ферма.

Пусть G и G′ — две группы, e и e′ — соответственно их единичные элементы, а операция для простоты в обеих группах обозначается «точкой». Гомоморфизмом из G в G′ называется отображение

ϕ: G → G′, a 7→aϕ, удовлетворяющее условию сохранения операции

(a · b)ϕ = aϕ · bϕ. Заметим, что тогда eϕ = e′ и (g−1)ϕ = (gϕ)−1 для любого элемента g G. Действительно, если g G, то

нием (или мономорфизмом), если он разные элементы переводит в разные. Если же выполняются оба этих условия, то гомоморфизм называется изоморфизмом. С алгебраической точки зрения изоморфные группы одинаковы, хотя по своей природе они могут быть разными.

Лемма 1.6. Гомоморфизм ϕ: G → G′ является вложением тогда и только тогда, когда ker ϕ = 1.

Доказательство. Достаточно доказать, что из условия ker ϕ = 1

Пусть G = g — циклическая группа. Определим отображение ϕ : Z → G по правилу k 7→gk. Легко видеть, что ϕ является гомоморфизмом из группы целых чисел по сложению на G. Если группа G бесконечного порядка, то ker ϕ = 1 и ϕ является изоморфизмом. Если G имеет конечный порядок, то ker ϕ = |g|Z.

1.2. Действие группы на множестве

Пусть M — произвольное множество. Говорят, что группа G действует на M, если указан гомоморфизм ϕ из G в группу S(M) всех подстановок на множестве M. Для краткости образ m M при подстановке gϕ (g G) будем обозначать через mg. В этих обозначениях

11

условие, что отображение ϕ является гомоморфизмом, записывается как m(ab) = (ma)b для любых m M, a, b G.

Действие называется точным, если ϕ — вложение.

Для данного m M множество mG = {mg | g G} называется орбитой, порожденной m.

Лемма 1.7. Орбита порождается любым своим элементом.

Действительно, (mg)G = m(gG) = mG.

Следствие 1.8. Любые две орбиты либо не пересекаются, либо совпадают, и поэтому все множество M распадается в объединение своих непересекающихся орбит.

Доказательство. Пусть орбиты m1G и m2G пересекаются и m — их общий элемент. Тогда по лемме m1G = mG = m2G. □

Множество StabG(m) = {h G | mh = m} называется стабилизатором элемента m M в G.

Предложение 1.9. Стабилизатор элемента m является подгруппой в G, мощность орбиты mG равна индексу |G : StabG(m)|. В частности, если G — конечная группа, то число элементов в орбите делит порядок группы.

Доказательство. Непосредственно проверяется, что множество H = StabG(m) — подгруппа группы G. Зафиксировав элемент m M, зададим отображение σ : G → mG по правилу g 7→mg, g G. Имеем

aσ = bσ ma = mb m = m(ba−1) ba−1 H Ha = Hb.

Из полученного делаем заключение, что σ определяет биекцию между правыми смежными классами G по H и элементами орбиты mG. □

Действие называется транзитивным, если орбита одна, т. е. для любых m1, m2 M найдется элемент g G, переводящий m1 в m2.

Рассмотрим два примера действия группы на себе, в этом случае

M = G.

Действие правыми сдвигами. Всякому элементу a G сопоставим подстановку из S(G), переводящую элемент g G в ga. Очевидно, что это действие точное и транзитивное. Если группа G конечна и состоит из n элементов, то получаем вложение G в группу подстановок Sn. Отсюда выводится следующее утверждение.

12

Предложение 1.10. 1) Группа порядка n вкладывается в качестве подгруппы в Sn.

2) Все конечные группы с точностью до изоморфизма исчерпываются подгруппами групп Sn, n N.

Действие сопряжениями. Всякому элементу x G сопоставим подстановку из S(G), переводящую элемент g G в x−1gx. Элемент x−1gx называется сопряженным к g при помощи x, его принято обозначать через gx. Легко проверяются тождества

(ab)x = axbx, (ax)y = axy.

Последнее равенство как раз означает, что указанное отображение G → S(G) является гомоморфизмом. При действии сопряжениями орбиту aG = {g−1ag | g G}, порожденную элементом a G, называют классом сопряженных элементов. Стабилизатор элемента a G при таком действии называют централизатором элемента a и обозначают CG(a). Для данного подмножества A G его централизатором CG(A) в G называется множество T CG(a), состоящее из всех элементов g G,

a A

перестановочных со всеми элементами a A. Очевидно, централизатор любого подмножества A G является подгруппой в G. В частности, подгруппой является центр Z(G) группы G, который по определению состоит из элементов, перестановочных со всеми элементами группы, т.е. является централизатором в G всего множества G.

Возьмем группу Sn и посмотрим, какие будут у нее классы сопряженных элементов. Пусть элементы a и b сопряжены: b = ax. Разложим a в произведение независимых циклов (i1i2 . . . ik)(j1j2 . . . jl) . . .. Подстановку x удобно представить в стандартном виде таблицы из двух строк длины n, когда сверху располагаются элементы множества {1, 2, . . . , n}, а снизу — их образы, только элементы сверху расположим в порядке, соответствующем циклам:

Непосредственно проверяется, что x−1ax = (i′1i′2 . . . i′k)(j1′ j2′ . . . jl′) . . ., т. е. элементы циклов подстановки a после сопряжения заменились их образами в x. Следовательно, подстановка b имеет такое же циклическое строение, что и a (одинаковое число циклов каждой длины). Наоборот, если

a = (i1i2 . . . ik)(j1j2 . . . jl) . . . , b = (i′1i′2 . . . i′k)(j1′ j2′ . . . jl′) . . .

13

— подстановки одного циклического строения, и x такая, как выше, то b = ax. Мы доказали следующий критерий сопряженности в группе Sn.

Предложение 1.11. Две подстановки из Sn сопряжены тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое циклическое строение.

Например, в S4 классы сопряженных элементов характеризуются такими циклическими строениями: e, (ij), (ijk), (ijkl), (ij)(kl), в соответствующих классах число элементов равно 1, 6, 8, 6, 3. Отметим также, что в силу предложения 1.9 порядки централизаторов элементов из этих классов соответственно равны 24, 4, 3, 4 и 8.

1.3. Нормальные подгруппы и теорема о гомоморфизмах для групп

Подгруппа H группы G называется нормальной, если выполняется одно из двух эквивалентных условий:

1)левые и правые смежные классы по H совпадают, т. е. xH = Hx для любого x G;

2)H замкнута относительно сопряжений элементами группы G, т. е. h H, x G hx H.

Тот факт, что H — нормальная подгруппа группы G, обозначается через H G.

Заметим сначала, что сформулированные условия действительно эквивалентны. Первое условие равносильно равенству x−1Hx = H, а второе — формально более слабому включению x−1Hx H. Чтобы показать обратное включение, полагаем x = y−1 и тогда для произвольного y G получаем

yHy−1 H H y−1Hy.

Например, центр Z(G) группы G является нормальной подгруппой. Действительно, так как zg = gz для любых z Z(G) и g G, имеем zg = z Z(G).

Смысл понятия нормальной подгруппы состоит в следующем. Если H — подгруппа группы G, то последняя разбивается на левые (или правые) смежные классы по H. Хотелось бы на фактор-множестве, т. е. на множестве смежных классов, снова определить структуру группы. Оказывается, что это можно сделать естественным образом в том и только том случае, когда подгруппа H нормальна.

Отметим, что ядро любого гомоморфизма ϕ: G → G′ является нормальной подгруппой, так как оно замкнуто относительно сопряжений.

14

Пусть X, Y — подмножества группы G. Определим их произведение XY как множество {xy | x X, y Y }. Если A и B — подгруппы из G, то A2 = A, в то время как AB может и не быть подгруппой. Например, если G = S3, A = {e, (12)}, B = {e, (13)}, то AB = {e, (12), (13), (123)}

не является подгруппой в S3.

Будем говорить, что подгруппа A нормализует B, если a−1Ba = B для любого a A.

Лемма 1.12. Если подгруппа A нормализует подгруппу B или, наоборот, B нормализует A, то AB — подгруппа.

Доказательство. Проверим условия замкнутости множества AB

Пусть H — нормальная подгруппа группы G, обозначим через G/H множество смежных классов G по H. Если перемножить два смежных класса aH и bH с представителями a и b (как множества), то получится

(aH)(bH) = (ab)((b−1Hb) · H) = (ab)(HH) = (ab)H — смежный класс с представителем ab. Относительно этой операции G/H будет группой, в ней единичный элемент равен классу H, обратным к aH будет класс (aH)−1 = a−1H, ассоциативность умножения классов следует из ассоциативности в G. Эта группа называется фактор-группой G по H. Имеется канонический эпиморфизм τ : G → G/H, отображающий элемент g G в класс gH, в котором он лежит. Очевидно, что ker τ = H.

Заметим, что определение произведения смежных классов группы G по нормальной подгруппе H можно с самого начала дать «через представители»: результат произведения классов aH и bH — это класс (ab)H. Именно такой подход будет использоваться в дальнейшем для определения операций на фактор-кольцах.

Теорема 1.13 (о гомоморфизмах для групп). Пусть H — нормальная подгруппа группы G и τ : G → G/H — канонический эпиморфизм.

1)Всякая подгруппа из G/H имеет вид C/H, где C — подгруппа из G, содержащая H.

2)Если A — подгруппа из G, то Aτ = AH/H.

3)Пусть ϕ: G → G′ — эпиморфизм групп и ker ϕ = H. Тогда существует изоморфизм ψ : G/H → G′ такой, что ϕ = τψ. Это равносильно следующему утверждению: фактор-группа по ядру гомоморфизма изоморфна образу.

15

Доказательство. 1) Для любой подгруппы из G/H объединение всех смежных классов, составляющих эту подгруппу, будет искомой подгруппой C группы G.

2) По определению Aτ равняется множеству смежных классов {aH | a A}. В силу леммы 1.12 AH — подгруппа, и в ней H — нормальная подгруппа. Фактор-группа AH/H состоит из классов вида (ah)H, но

(ah)H = a(hH) = aH.

3) Определяем ψ как (gH)ψ = gϕ. Требуется проверить корректность: определение не зависит от выбора представителя g смежного класса gH. Имеем ((gh)H)ψ = (gh)ϕ = gϕ · hϕ = gϕ. Для отображения ψ выполняется условие сохранения операции:

((aH)(bH))ψ = ((ab)H)ψ = (ab)ϕ = aϕ · bϕ = (aH)ψ · (bH)ψ,

поэтому оно является гомоморфизмом, а так как ker ψ — единичная подгруппа в G/H, то по лемме 1.6 ψ — изоморфизм. Далее, g(τψ) = = (gτ)ψ = (gH)ψ = gϕ. □

Напомним, что если G = g — конечная циклическая группа, то отображение ϕ : k 7→gk является эпиморфизмом из группы целых чисел на G. При этом ядро этого эпиморфизма равно |g|Z. Из пункта 3 теоремы 1.13 получаем, что G Z/|g|Z. Последняя группа изоморфна группе вычетов по модулю |g|. В частности, циклическая группа однозначно задается своим порядком: как отмечалось выше, бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел, а конечная порядка n — группе вычетов Zn.

Прямое произведение групп. Дадим определения, касающиеся этого понятия и сформулируем без доказательства основную теорему о конечно порожденных абелевых группах.

Для групп A и B рассмотрим множество A × B, состоящее из пар (a, b), где a A, b B. Пусть в обеих группах единичный элемент обозначается 1. На A×B определяем операцию умножения покомпонентно:

(a1, b1) · (a2, b2) = (a1a2, b1b2). Получается группа, которая называется прямым произведением групп A и B. В ней единичный элемент равен

(1, 1), группа A отождествляется с подгруппой группы A × B, состоящей из элементов вида (a, 1), группа B — с подгруппой, состоящей из

16

элементов вида (1, b). Непосредственно проверяется, что выполняются следующие три условия:

П1) A ∩ B = 1;

П2) подгруппы A и B нормальны во всей группе;

П3) вся группа A × B представляется в виде произведения AB. Данное определение прямого произведения двух групп носит «внеш-

ний» характер: в нем из двух, никак не связанных групп, строится новая. Существует и внутренне определение, оно получается из следующего утверждения.

Предложение 1.15. Пусть группа G содержит подгруппы A и B,

которые удовлетворяют условиям П1ҫП3. Тогда G A × B.

=

Доказательство. Во-первых заметим, что элементы a A перестановочны с элементами b B. Имеем ab = ba a−1b−1ab = 1. Если мы в произведении a−1b−1ab сначала расставим скобки так: a−1(b−1ab), а затем так: (a−1b−1a)b, то увидим, что это произведение лежит как в A, так и в B, поэтому оно равно 1.

Далее рассмотрим отображение ϕ: (A, B) → G по правилу (a, b)ϕ =

=ab. Выполняется условие сохранения операции:

((a1, b1) · (a2, b2))ϕ = (a1a2, b1b2)ϕ = a1a2b1b2 =

=a1b1a2b2 = (a1, b1)ϕ · (a2, b2)ϕ.

Поэтому ϕ является гомоморфизмом, а с учетом П3 — эпиморфизмом. Проверим, что ker ϕ = 1. Если (a, b)ϕ = ab = 1, то элемент a = b−1 лежит как в A, так и в B, значит равен 1. Тогда по лемме 1.6 отображение ϕ — изоморфизм. □

Совершенно аналогично определяется прямое произведение конечного числа групп G1 × . . . × Gn. В этом случае сформулированные три условия переписываются так:

П1) Gi ∩ (G1 . . . Gi−1Gi+1 . . . Gn) = 1 для каждого i = 1, . . . , n; П2) все подгруппы Gi нормальны в группе;

П3) рассматриваемая группа представляется в виде произведения под-

групп G1 . . . Gn.

Имеет место аналог предложения 1.15.

Предложение 1.16. Пусть подгруппы G1, . . . , Gn группы G удов-

17