- •Предисловие
- •Глава 1. Элементы теории групп
- •1.1. Группы, подгруппы и смежные классы
- •1.2. Действие группы на множестве
- •1.3. Нормальные подгруппы и теорема о гомоморфизмах для групп
- •1.4. Разрешимые группы
- •1.5. Теорема Силова
- •Глава 2. Элементы теории колец и полей
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Расширения полей
- •2.3. Алгебраическое замыкание
- •2.4. Нормальные и сепарабельные расширения
- •2.5. Конечные поля
- •Глава 3. Соответствие Галуа и его приложения
- •3.1. Расширения Галуа
- •3.2. Круговые и циклические расширения
- •3.3. Разрешимость уравнений в радикалах
- •3.4. Построения циркулем и линейкой
- •3.5. Теория Галуа для бесконечных расширений
- •Дополнение
- •Список литературы
- •Предметный указатель
Список литературы
[1]Васильев А. В., Лыткина Д. В., Мазуров В. Д. Высшая алгебра: Конспект лекций. Новосибирск: Изд-во Института математики, 2020.
[2]Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.
[3]Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2002.
[4]Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М.: Физматлит, 2011.
[5]Галочкин А. И., Нестеренко Ю. Ф., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. М.: Изд-во МГУ, 1984.
[6]Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.
[7]Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 3. Основные структуры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.
[8]Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.
[9]Постников М. М. Теория Галуа. М.: Физматгиз, 1963.
[10]Прасолов В. В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2001.
[11]Vdovin E. P., Kolesnikov P. S. Elements of analytic number theory. URL https: //www.nsu.ru/upload/medialibrary/446/numth_eng.pdf, Novosibirsk, 2013.
81
Предметный указатель
Автоморфизм Фробениуса, 51
Башня расширений, 35 Вложение
групп, 11 Гомоморфизм групп, 11 колец, 29
Группа p-группа, 22 Галуа
неприводимого многочлена, 56
Галуа многочлена, 56 Галуа расширения, 53 проконечная, 71 разрешимая, 20 циклическая, 9
Действие группы на множестве, 11 точное, 12
транзитивное, 12 Декремент, 8 Делитель нуля, 27 Замыкание
алгебраическое, 40 нормальное, 46
Знак подстановки, 8 Идеал, 28
главный, 28
максимальный, 31 порожденный множеством,
28
Изоморфизм групп, 11
Индекс подгруппы, 10 Класс сопряженных элементов,
13 Кольцо, 26
главных идеалов, 29 Коммутант, 18
взаимный, 19 Коммутатор, 18 Композит расширений, 39 Корень
первообразный из единицы, 57
Многочлен минимальный, 36 общий, 63 сепарабельный, 48
Мономорфизм групп, 11
Нить, 69 Норма элемента, 58 Орбита, 12 Подгруппа, 7
нормальная, 14 порожденная
подмножеством, 8
82
силовская, 23 Подкольцо, 27 Подполе, 28 Подспектр, 69 Подстановка, 7 Поле, 27
алгебраически замкнутое, 40 неподвижных элементов, 54 порожденное множество
элементов, 35 простое, 35 разложения, 39
рациональных функций, 27 характеристика, 35
Порядок группы, 9
направленный, 68 Предел
обратный, 69 проективный, 69
Произведение
прямое групп, 16
Расширение, 21 Галуа, 53 алгебраическое, 38 конечное, 35 круговое, 57 пифагорово, 65 полей, 35
нормальное, 45 простое, 37
алгебраическое, 37 трансцендентное, 37
радикальное, 62 разрешимое, 61 сепарабельное, 48 циклическое, 59
Ряд
нормальный, 19 субнормальный, 19
След элемента, 58 Спектр
обратный, 69 проективный, 69 сюръективный, 69
Стабилизатор элемента, 12 Степень
сепарабельная, 47 Степень расширения, 35 Ступень разрешимости, 20 Сумма
прямая колец, 33
Теорема 90 Гильберта, 59
Артина, 54 Галуа, 55 Лагранжа, 10
огомоморфизмах для групп, 15 для колец, 30
оконечно порожденных абелевых группах, 18
оконечных полях, 52
округовом расширении, 58
опримитивном элементе, 52
оциклическом расширении, 60
Транспозиция, 8 Фактор-группа, 15 Фактор-кольцо, 30 Функция
Эйлера, 34 Центр
группы, 13 Централизатор элемента, 13
83
Цикл, 8 |
Эпиморфизм |
|
Число |
групп, 11 |
|
пифагорово, 65 |
канонический, 15 |
|
Элемент |
||
колец |
||
алгебраический, 36 |
||
канонический, 30 |
||
обратимый, 27 |
||
Ядро |
||
обратный, 26 |
||
гомоморфизма |
||
сепарабельный, 48 |
||
групп, 11 |
||
сопряженный, 13 |
||
трансцендентный, 36 |
колец, 29 |
84
Учебное издание
Романовский Николай Семенович Колесников Павел Сергеевич Бутурлакин Александр Александрович
ТЕОРИЯ ГАЛУА
Учебно-методическое пособие
Редактор О. Э. Вульф Оригинал-макет П. С. Колесникова Обложка Е. В. Неклюдовой
Подписано в печать 20.06.2023 г.
Формат 60 × 84 1/16. Уч.-изд. л. 5,3. Усл.-печ. л. 4,9. Тираж 80 экз. Заказ № 143
Издательско-полиграфический центр НГУ 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.