Глава 3

Соответствие Галуа и его приложения

В параграфах 1ҫ4 этой главы мы изложим классическую теорию Галуа для конечных расширений и рассмотрим приложения этой теории для решения задачи о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Также теория Галуа дает исчерпывающий ответ на вопрос о возможности выполнить геометрическое построение при помощи циркуля и линейки. В заключительном параграфе мы обсудим теорию Галуа для бесконечных расширений и изучим необходимый для этого математический аппарат.

Другие подходы к изложению основного содержания теории Галуа можно найти в книгах [2, 3, 7, 8, 9].

3.1. Расширения Галуа

Назовем расширением Галуа конечное, нормальное и сепарабельное расширение полей. На самом деле условие конечности здесь совсем необязательно, однако в случае бесконечных расширений теория Галуа устроена сложнее, об этом в общих чертах мы расскажем в последнем параграфе.

Группой Галуа расширения Галуа K/k называется группа G(K/k) = = Autk K автоморфизмов поля K над k.

Предложение 3.1. Выполняется равенство |G(K/k)| = |K : k|.

Доказательство. Можно предполагать, что k K k. Пусть |K : k| = n. Тогда ввиду сепарабельности существует ровно n различных вложений σ1, . . . , σn поля K в k над k. Из условия нормальности вытекает, что эти вложения будут в точности автоморфизмами поля K над k. □

Пусть имеется поле K и подгруппа G в группе автоморфизмов Aut K этого поля. Обозначим KG = {a K | aσ = a, σ G}. Множество KG

53

будет подполем в K, оно называется полем неподвижных элементов (неподвижное подполе) относительно G.

Предложение 3.2. Для расширения Галуа K/k имеет место равенство KG(K/k) = k.

Доказательство. Пусть k K k, |K : k| = n и KG(K/k) = L. Имеем K L k. По предыдущему |G(K/k)| = n. Расширение K/L, как и K/k, является расширением Галуа, и по построению G(K/k) = = G(K/L). Тогда |G(K/L)| = |K : L| = n, откуда L = k. □

Теорема 3.3 (Артина). Пусть K — поле, G — конечная группа его автоморфизмов, k = KG — неподвижное подполе. Тогда K/k — расширение Галуа и G(K/k) = G.

Доказательство. Пусть |G| = n и G = {σ1, . . . , σn}. Рассмотрим произвольный элемент α K и соответствующую орбиту αG. Пусть для определенности ασ1, . . . , ασm, m n, — все различные элементы этой орбиты. Тогда любой автоморфизм σ G переставляет элементы множества αG = {ασ1, . . . , ασm}. Поэтому многочлен fα(x) = = (x − ασ1) . . . (x − ασm) под действием автоморфизмов из G не меняется, следовательно, его коэффициенты лежат в неподвижном подполе k. Сам элемент α является корнем fα(x), другие корни также лежат в K. Делаем следующие выводы из сказанного: расширение K/k состоит в точности из корней сепарабельных многочленов fα(x) k[x], α K, поэтому оно алгебраично, нормально и сепарабельно.

Покажем, что |K : k| n. Допустим противное: в K имеется n + 1 элементов α1, . . . , αn+1, линейно независимых над k. Возьмем расширение k(α1, . . . , αn+1)/k. Оно конечно и сепарабельно, а тогда по теореме 2.48 порождается каким-то одним элементом α. Этот элемент является корнем многочлена fα(x) степени n с коэффициентами из k. Следовательно, степень простого алгебраического расширения k(α)/k не может превышать n. Противоречие.

Итак, |K : k| n. Возьмем группу Галуа G(K/k), по предложению 3.1 ее порядок n. С другой стороны, группа G порядка n содержится в ней в качестве подгруппы. Поэтому G(K/k) = G и, следовательно, |K : k| = n. □

Пусть K/k — расширение Галуа и G = G(K/k) — его группа Галуа. По любой подгруппе H группы G построим подполе L поля K по правилу L = KH . Наоборот, по любому подполю L поля K построим

54

подгруппу H = G(K/L), состоящую из всех элементов σ G, оставляющих L неподвижным. Основная теорема теории Галуа утверждает, что указанные правила определяют взаимно обратные отображения, согласованы с вложением, пересечением и композитом, а также нормальность подгруппы H в G эквивалентна нормальности расширения

L/k.

Доказательство. 1) Напомним сначала известный математический факт: если имеются отображения множеств ϕ: A → B, ψ : B → A и ϕψ = IdA, ψϕ = IdB , то эти отображения являются взаимно обратными биекциями. Поэтому нам нужно проверить, что указанные отображения между подгруппами и подполями взаимно обратны.

Если H 7→L = KH , то KH 7→G(K/KH ) = H по теореме Артина. Обратно, если L 7→H = G(K/L), то G(K/L) 7→K = L по

предложению 3.2.

2)Из условия H1 H2 вытекает KH1 = L1 KH2 = L2. Наоборот, из условия L1 L2 вытекает G(K/L1) = H1 G(K/L2) = H2.

Далее, H1, H2 ↔ K H1,H2 = KH1 ∩ KH2 = L1 ∩ L2. Аналогично, L1L2 ↔ G(K/L1L2) = G(K/L1) ∩ G(K/L2).

3)Если расширение L/k нормально, то рассмотрим эпиморфизм

групп G → G(L/k), действующий по правилу σ 7→σ|L (ограничение автоморфизма σ на подполе L). Его ядром будет H = G(K/L), поэтому

H является нормальной подгруппой в G и G(L/k) G/H.

=

Допустим, что расширение L/k не нормально. Тогда найдутся σ G и α L такие, что ασ / L. Далее, существует τ H, для которого

55

Вернемся теперь к теореме 2.47 о конечных полях, там осталось не полностью обоснованным последнее утверждение теоремы о группе автоморфизмов конечного поля. Отметим сначала, что любой автоморфизм поля переводит 1 7→1, 2 7→2, . . . , а потому действует тождественно на простом подполе. Так что группа Aut Fpn отождествляется с группой Галуа G(Fpn /Fp). По предложению 3.1 заключаем, что | Aut Fpn | = n. Однако мы уже нашли циклическую подгруппу, порожденную автоморфизмом Фробениуса, которая имеет порядок n. Поэтому вся группа автоморфизмов совпадает с этой циклической группой.

Пусть f(x) — многочлен степени n с коэффициентами из поля k без кратных корней со старшим коэффициентом 1. Над полем k этот многочлен разлагается на линейные множители: f(x) = (x−α1) . . . (x−αn). Возьмем поле разложения K = k(α1, . . . , αn). Группа Галуа расширения K/k называется группой Галуа многочлена f(x) над полем k. Если

σ G(K/k), то f(x) = fσ(x) = (x − α1σ) . . . (x − αnσ) и можно утверждать, что σ переставляет корни многочлена α1, . . . , αn. Отображение

G(K/k) → Sn, при котором элементу группы сопоставляется соответствующая подстановка корней, будет вложением группы G(K/k) в Sn.

Так что группа Галуа многочлена степени n отождествляется с некоторой подгруппой группы подстановок Sn.

Предложение 3.5. Группа Галуа неприводимого многочлена действует транзитивно на множестве его корней.

Доказательство. Пусть f(x) — неприводимый многочлен с коэффициентами из поля k, α1, . . . , αn — все его корни (содержащиеся в k). По лемме 2.17 многочлен f(x) будет минимальным многочленом над k для любого из корней. По предложению 2.19 существует изоморфизм σ полей k(αi) → k(αj ) над k, переводящий αi в αj . Из теоремы 2.31 следует, что σ продолжается до автоморфизма k. В силу нормальности поля разложения K = k(α1, . . . , αn) автоморфизм можно сузить на K. Таким образом, σ можно считать элементом группы Галуа многочлена f(x), причем αiσ = αj , что и требовалось доказать. □

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Теорема 3.6 (о подъеме). Пусть F и K — подполя некоторого поля, содержащие поле k, и K/k — расширение Галуа. Тогда KF/F

56