МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико-математический факультет

Н. С. Романовский, П. С. Колесников, А. А. Бутурлакин

Теория Галуа

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2023

Оглавление

3

Предисловие

Теория Галуа по праву считается образцом математической теории. Объединяя в себе достижения теории групп и теории колец, эта теория дает мощный инструмент исследования алгебраических уравнений, позволяющий получить окончательный ответ на задачи, которые стояли перед человечеством не одно столетие. К таким задачам относится, например, построение правильного n-угольника на плоскости при помощи циркуля и линейки. Известно, что правильный 7-угольник со стороной, равной данному отрезку, так построить нельзя, а правильный 17-угольник — можно. Данное обстоятельство полностью объясняет теория Галуа. Сюда же относятся классические задачи — задача удвоения куба, квадратуры круга, трисекции угла. Проблема выражения корня алгебраического уравнения в радикалах также полностью решается методами теории Галуа. Таким образом, теория Галуа является одним из «практических приложений» тех абстрактных понятий (группы, кольца, поля), которые изучаются в курсе высшей алгебры.

В основе данного пособия лежит курс «Теория Галуа», разработанный Н. С. Романовским, который в течение многих лет читается на четвертом курсе механико-математического факультета НГУ. Для успешного освоения данного курса достаточно владеть материалом по основам теории групп, колец и полей, входящим в курс «Высшая алгебра». Для удобства читателя мы приводим все необходимые понятия и утверждения наряду с тем материалом, который не всегда входит в базовый курс алгебры.

Глава 1 содержит основы теории групп: помимо базовых определений мы рассматриваем теорему о гомоморфизмах для групп, изучаем определение и свойства разрешимых групп, доказываем теоремы Силова для конечных групп.

Глава 2 посвящена в основном изучению расширений полей, для чего нам необходим ряд понятий из теории колец. Здесь мы изучаем

4

общие свойства конечных расширений полей и доказываем существование алгебраического замыкания любого поля.

В главе 3 формулируется и доказывается основная теорема Галуа о соответствии между подгруппами группы Галуа данного расширения

ипромежуточными подполями. Именно эта теорема лежит в основе применения теории (конечных) групп к изучению алгебраических расширений полей. Ее основные приложения, рассматриваемые в данном курсе, позволяют получить критерий разрешимости алгебраического уравнения в радикалах и полностью решить вопрос возможности выполнить геометрическое построение на плоскости при помощи циркуля

илинейки.

Нумерация утверждений и формул, используемая в данном пособии, двойная: содержит номер главы и порядковый номер утверждения или формулы в главе. В конце книги приведено дополнение, содержащее примеры задач и их решений, которые рассматриваются на практических занятиях. Пособие снабжено предметным указателем и списком литературы, состоящим в основном из учебников и учебных пособий по алгебре и смежным дисциплинам.

Книга пригодится студентам, аспирантам и преподавателям вузов по направлениям «Математика и механика», «Математика и компьютерные науки», а также всем желающим самостоятельно изучить основы теории Галуа, объединяющей изящество математической строгости и доказательную мощь в решении практических задач.

Авторы благодарят коллег по кафедре алгебры и математической логики ММФ НГУ за неоценимую помощь в подготовке пособия.

5