Следующее утверждение, доказательство которого можно найти, например, в [7, гл. 2, љ 3], полностью описывает строение абелевых групп с конечным числом порождающих элементов.

Теорема 1.17 (о конечно порожденных абелевых группах). Пусть

G — нетривиальная n-порожденная абелева группа.

1)Группа G представляется в виде прямого произведения A1 ×. . .×Ar циклических групп в количестве r n.

2)Группа G представляется в виде прямого произведения B1 ×. . .×Bs конечного числа групп Bi, каждая из которых является либо бесконечной циклической, либо примарной циклической группой, т. е. порядка pm, где p — простое число, m 1. Для любых двух таких представлений группы G число бесконечных циклических множителей и число примарных циклических множителей данного порядка pm будет одинаковым.

Замечание 1.18. Во втором разложении число множителей никак не ограничено в зависимости от числа порождающих n. Оно может быть сколь угодно большим даже при n = 1. Например, если k = p1 . . . ps, где p1,. . . , ps — попарно различные простые числа, то соответствующее разложение для циклической группы порядка k будет иметь вид Zp1 × · · · × Zps .

1.4. Разрешимые группы

Термин разрешимая группа возник в теории Галуа и, как мы увидим позже, это связано с разрешимостью уравнений в радикалах.

В предыдущем параграфе мы отмечали, что если a, b — элементы группы, то ab = ba a−1b−1ab = 1. Назовем выражение a−1b−1ab коммутатором элементов a, b и обозначим его через [a, b]. Итак, коммутатор элементов равен 1 тогда и только тогда, когда эти элементы перестановочны. Выпишем полезные соотношения (они непосредственно проверяются) для коммутаторов в группе G:

ab = ba[a, b], [a, b]−1 = [b, a], [a, b]x = [ax, bx],

(1.1)

[ab, c] = [a, c]b · [b, c]

для всех a, b, c, x G.

Коммутантом группы G называется подгруппа [a, b] | a, b G , порожденная всеми ее коммутаторами. Так как обратный элемент к ком-

18

мутатору снова является коммутатором, то всякий элемент из коммутанта представляется в виде произведения [a1, b1] . . . [ak, bk]. Коммутант обозначается через G′ или [G, G].

Отметим, что G′ = 1 равносильно тому, что G — абелева группа.

Лемма 1.19. Пусть G H. Тогда эквивалентны следующие два условия.

1)G H и G/H — абелева группа.

2)H G′.

Пусть G A, B. Взаимным коммутантом подгрупп A и B называется подгруппа [A, B], порожденная всеми коммутаторами [a, b] для a A, b B. Всякий элемент из [A, B] представляется в виде произведения [a1, b1]ε1 . . . [ak, bk]εk , где εi = ±1, ai A, bi B.

Лемма 1.20. Если A, B G, то [A, B] G, [A, B] A ∩ B.

Доказательство. Нормальность взаимного коммутанта следует из соотношения

([a1, b1]ε1 . . . [ak, bk]εk )x = [ax1 , bx1 ]ε1 . . . [axk, bxk]εk .

Определим n-й коммутант G(n) группы G по правилу:

G(0) = G, G(n) = [G(n−1), G(n−1)].

Из леммы 1.20 по индукции следует, что G(n) G.

Рассмотрим в группе G конечный ряд подгрупп, заканчивающийся

Назовем этот ряд субнормальным, если Gi Gi+1 для всех i. Факторгруппы Gi/Gi+1 назовем факторами субнормального ряда. Более сильное условие нормальности ряда состоит в том, что G Gi+1 для всех i.

19

Можно, разумеется, рассматривать и бесконечные ряды, не обязательно оканчивающиеся на единичной подгруппе. Примером такого нормального ряда будет ряд коммутантов:

Теорема 1.21 (определение разрешимой группы). Следующие три условия эквивалентны для данной группы G, в случае их выполнения группа называется разрешимой.

1)Ряд коммутантов (1.3) группы G на конечном шаге доходит до 1.

2)Существует нормальный ряд (1.2) с абелевыми факторами.

3)Существует субнормальный ряд (1.2) с абелевыми факторами.

Доказательство. 1) 2). Ряд коммутантов является нормальным и по лемме 1.19 его факторы абелевы.

2)3). Очевидно.

3)1). По условию имеется субнормальный ряд (1.2) с абелевы-

ми факторами. Докажем по индукции включения Gi G(i). Имеем G0 = G = G(0). Пусть выполняется Gi G(i). Так как фактор Gi/Gi+1

абелев, то из леммы 1.19 вытекает Gi+1 [Gi, Gi] [G(i), G(i)] = G(i+1). Получаем G(n+1) = 1. □

Ступенью разрешимости разрешимой группы G называется длина самого короткого субнормального ряда с абелевыми факторами. Из включения Gi G(i), которое было получено в процессе доказательства теоремы, следует, что ступень разрешимости характеризуется также как длина самого короткого нормального ряда с абелевыми факторами и как длина ряда коммутантов (наименьшее n такое, что

G(n) = 1).

Лемма 1.22. Пусть G — нетривиальная группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)G — циклическая группа простого порядка;

2)порядок группы G равен простому числу;

3)G не имеет нетривиальных собственных подгрупп, т. е. подгрупп, отличных от 1 и самой группы.

Доказательство. 1) 2). Очевидно.

2)3). Следует из теоремы Лагранжа.

3)1). Пусть a — нетривиальный элемент из G. Тогда циклическая

есть много собственных подгрупп. Если |a| = nm — составное число, то

20

am — собственная подгруппа. Остается единственная возможность: |a| — простое число. □

Говорят, что группа G является расширением A с помощью B, если A — нормальная подгруппа в G и G/A = B.

Теорема 1.23. Класс разрешимых групп замкнут относительно подгрупп, гомоморфных образов и расширений.

Доказательство. Пусть G — разрешимая группа ступени n, имеем G(n) = 1. Пусть H — подгруппа в G. Тогда G(i) H(i) для любого i. Отсюда H(n) = 1.

Пусть ϕ: G → C — эпиморфизм групп. Тогда G(i)ϕ = C(i) для любого i, откуда C(n) = 1.

Пусть теперь группа G является расширением разрешимой группы A с помощью разрешимой группы B, причем A(n) = 1, B(m) = 1. Рас-

Теорема 1.24. Если G — нетривиальная конечная разрешимая группа, то в ней существует субнормальный ряд с циклическими факторами простых порядков.

Доказательство проводим индукцией по порядку группы. Так как G′ < G, то существует максимальная подгруппа H группы G, содержащая G′. Подгруппа H по лемме 1.19 нормальна в G и факторгруппа G/H не может содержать собственную подгруппу F/H, иначе G > F > H. По лемме 1.22 группа G/H циклическая и имеет простой порядок. По индукции в H существует субнормальный ряд

H= H0 H1 . . . Hn Hn+1 = 1

сциклическими факторами простых порядков. Дополняя его группой G, получаем искомый ряд для G:

Укажем ряды коммутантов в группах Sn (доказательство будет приведено в дополнении):

S2 > 1;

S3 > A3 > 1;

S4 > A4 > K4 > 1,

21