3) Пусть расширения K/k и L/k сепарабельны. Тогда композит KL получается присоединением к k множества сепарабельных элементов K L. Остается применить первое утверждение. □

Сделаем важное замечание. Мы уже говорили, что многочлен сепарабелен, если он взаимно прост со своей производной. Рассмотрим элемент α K алгебраического расширения K/k и его минимальный многочлен f(x). Он неприводим над k, поэтому должен быть взаимно прост с производной при условии, что последняя не равна нулю. Мы можем утверждать, что в характеристике 0 всегда f′(x) ≠ 0. По-

этому в характеристике 0 любые алгебраические расширения сепарабельны. Несепарабельность возникает только в простой характеристике.

В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 2.46. Конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической.

Доказательство. Пусть K — поле и A — конечная подгруппа из K = K \ {0}. По теореме 1.17 группа A разлагается в прямое произведение A1 × . . . × An примарных циклических групп Ai порядков pmi i , где pi — простые числа, mi > 0. Если все pi различны, то группа A будет циклической. Допустим теперь, что p1 = p2 = p. Пусть для опре-

2.5. Конечные поля

Изучим подробнее конечные поля, их расширения и автоморфизмы. Рассмотрим гипотетическое конечное поле K. Оно должно иметь простую характеристику p, поэтому K можно рассматривать как рас-

ширение простого подполя Fp = {0, 1, . . . , p − 1}. Пусть |K : Fp| = n и {a1, . . . , an} — база K над Fp. Тогда каждый элемент из K однознач-

но представляется в виде линейной комбинации m1a1 +· · ·+mnan базы с коэффициентами mi Fp. Число таких комбинаций равно pn, поэтому |K| = pn. Порядок мультипликативной группы K равен pn − 1. Каждый элемент из K в этой степени равен 1, следовательно, является корнем многочлена xpn−1 − 1. Поскольку в поле еще есть 0, то мы умножим этот многочлен на x и получим многочлен f(x) = xpn − x, корнями которого являются все элементы поля K. Мы установили, что

50

если есть гипотетическое конечное поле, то число элементов в нем имеет вид pn и все элементы являются корнями f(x).

Сейчас мы построим такое поле: возьмем в качестве K множество всех корней в Fp указанного многочлена f(x) = xpn − x. Так как многочлен взаимно прост со своей производной (она равна −1), то он не имеет кратных корней и |K| = pn. Читатель в качестве упражнения легко проверит, что множество K — подполе в Fp, т. е. замкнуто относительно операций сложения, взятия противоположного, умножения и взятия обратного. По предложению 2.34 можно утверждать, что поле из pn элементов единственно с точностью до изоморфизма, так как является полем разложения над Fp многочлена f(x). Обозначим это поле через Fpn .

Определим, в каком случае одно конечное поле Fpn содержится в другом Fpm . Пусть такое включение имеется: Fpn Fpm . Тогда рассмотрим второе поле в качестве расширения первого. Пусть степень этого расширения равна s. Как выше, выводится равенство (pn)s = pm, т. е. m = ns. В обратную сторону, допустим, что m = ns и докажем включение Fpn Fpm . Необходимо показать, что корни многочлена xpn − x являются корнями многочлена xpns − x. Действительно, если

apn = a, то (apn )pn = ap2n = a и, повторяя s раз возведение в степень pn, получим apns = a.

Мы отметили, что Fpn — поле разложения над Fp многочлена xpn −x и этот многочлен не имеет кратных корней. Следовательно, расширение Fpn /Fp является нормальным и сепарабельным. По лемме 2.46 мультипликативная группа Fpn циклическая. Если α — ее порождающий элемент, то Fpn = Fp(α).

Рассмотрим отображение ψ : Fpn → Fpn , действующее по правилу a 7→ap. Так как выполняется условие сохранения операций (a + b)ψ = = aψ + bψ, (ab)ψ = aψ · bψ, то ψ — гомоморфизм колец, но из равенства ker ψ = 0 вытекает, что ψ — автоморфизм поля Fpn . Этот авто-

морфизм называется автоморфизмом Фробениуса. Имеем ψ2 : a 7→ap2 , ψ3 : a 7→ap3 , . . .. Так как apn = a, то ψn = ε — тождественное отображение. Для меньших степеней l можно утверждать, что ψl ≠ ε, иначе все элементы поля были бы корнями многочлена xpl − x. Следовательно, автоморфизм ψ имеет порядок n.

Соберем в теорему информацию, полученную нами о конечных полях. Последнее утверждение теоремы в полной мере будет обосновано в следующей главе.

51

Теорема 2.47 (о конечных полях). 1) Для всякого простого числа p и всякого натурального n существует поле Fpn из pn элементов, оно состоит из корней многочлена xpn − x в Fp. Любое конечное поле изоморфно одному из указанных полей.

2)Расширение Fpn /Fp является нормальным, сепарабельным и простым алгебраическим.

3)Поле Fpn содержится в Fpm тогда и только тогда, когда n делит m.

4)Группа автоморфизмов поля Fpn циклическая, она порождается автоморфизмом Фробениуса ψ : a 7→ap.

Теперь мы можем доказать общую теорему о том, что любое конечное сепарабельное расширение порождается одним элементом.

Теорема 2.48 (о примитивном элементе). Конечное сепарабельное расширение является простым. Другими словами, если поле K получается присоединением к k конечного числа алгебраических сепарабельных элементов, то эти элементы можно заменить одним (примитивным).

Доказательство. Если поле k конечно, то K также конечно, и по предыдущей теореме оно может быть отождествлено с каким-то Fpn , т. е. Fpn k Fp. Мы знаем, что в K найдется элемент α, для которого

K = Fp(α). Но тогда K = k(α).

Предположим, поле k бесконечно. Достаточно научиться заменять два присоединяемых элемента одним, поэтому рассматриваем случай, когда K = k(α, β). Пусть |K : k| = |K : k|s = n. Мы знаем, что существует ровно n различных вложений σ1, . . . , σn поля K в k над k. Обо-

значим αi = ασi, βi = βσi. Заметим, что все пары (α1, β1), . . . , (αn, βn) различны. Возьмем некоторый элемент y k и допустим, что αi +yβi =

= αj + yβj для i ≠ j. Тогда y(βi − βj ) = αj − αi. Элемент βi не может

равняться βj , иначе αj = αi. Поэтому y = αj −αi . Так как поле k бес-

βi−βj

конечно, то можно выбрать элемент c k, не равный никакой дроби

αj −αi при условии, что знаменатель отличен от нуля. Для такого c все

βi−βj

элементы α1 +cβ1, . . . , αn +cβn различны. Полагаем γ = α+cβ. Имеем γσi = αi + cβi. Получается, что отображения σi на поле k(γ) индуцируют различные вложения в k. Поэтому |k(γ) : k|s n k(γ) = K. □

52