Поскольку пересечение любого семейства подполей данного поля является подполем, для любого множества элементов M существует наименьшее подполе, содержащее множество M. Это подполе называется подполем, порожденным множеством M. Пусть F — поле. Рассмотрим подполе K поля F , порожденное единицей. В силу замкнутости K по сложению поле K должно содержать все элементы вида m · 1, где m — произвольное целое число. При этом отображение φ, действующее по правилу m 7→m · 1, является гомоморфизмом колец. Ядро этого гомоморфизма является идеалом кольца Z и, следовательно, имеет вид nZ для некоторого неотрицательного целого n. Если n = 0, отображение φ является вложением. По лемме 2.1 оно продолжается до вложения поля рациональных чисел Q в K. Из минимальности K следует, что

кольцу вычетов Zn. Если n составное число, то Zn содержит делители нуля, чего не может быть в поле. Следовательно, n — простое число и

вается простым, если оно не содержит собственных подполей. В силу вышесказанного простые поля — это поле рациональных чисел и поля вычетов по простому модулю. При этом любое поле содержит простое подполе.

Характеристика char F поля F равна нулю, если ее простое подполе изоморфно полю рациональных чисел, и равна p, если ее простое подполе изоморфно Zp для простого p.

2.2. Расширения полей

Если поле k является подполем поля K, то K называется расширением поля k. Удобно также называть расширением пару K/k. Башней расширений высоты m называется последовательность расширений по-

лей Ki/Ki−1, i = 1, . . . , m.

Поле K можно рассматривать как векторное пространство над полем k, размерность этого пространства называется степенью расширения и обозначается через |K : k|.

Например, |C : R| = 2. Если k — поле, то степень поля рациональных функций k(t) над k не будет конечной, так как можно указать бесконечное множество элементов {1, t, t2, . . . , tn, . . .}, линейно независимых над k.

Расширение называется конечным, если его степень конечна.

Лемма 2.15. Пусть имеется башня расширений полей K L k и {xi | i I} — база K над L, а {yj | j J} — база L над k. Тогда

35

множество произведений {xiyj | i I, j J} образует базу K над k. В частности, расширение K/k конечно тогда и только тогда, когда конечны расширения K/L и L/k, в этом случае выполняется условие мультипликативности для степеней

Следующее утверждение не требует особых доказательств.

Лемма 2.16. Пусть имеются расширение полей K/k и подмножество {αi | i I} элементов из K. Тогда подкольцо k[αi | i I] в K, порожденное этим множеством над k, состоит из многочленов от αi с коэффициентами из k, а подполе k(αi | i I), порожденное этим множеством над k, состоит из дробей вида f/g, где f и g — многочлены от αi с коэффициентами из k и, естественно, значение знаменателя отлично от нуля.

Пусть снова K/k — расширение полей. Элемент α K называется алгебраическим над k, если он является корнем какого-то нетривиального многочлена с коэффициентами из k. В этом случае пусть I обозначает аннулятор α в k[x], т. е. множество {g(x) k[x] | g(α) = 0}. Очевидно, что I — идеал в кольце k[x], а так как k[x] является кольцом главных идеалов, то I порождается одним многочленом f(x). Любой другой многочлен, порождающий идеал I, имеет вид a · f(x), 0 ̸= a k. Если мы еще договоримся, что старший коэффициент f(x) равен 1, то тогда этот многочлен определяется однозначно и мы назовем f(x)

минимальным многочленом для α над k. Его можно охарактеризовать также как ненулевой многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, аннулирующий α. Элемент α K, не являющийся алгебраическим над k, называется трансцендентным над k.

Лемма 2.17. Минимальный многочлен для α неприводим над k. Наоборот, неприводимый многочлен из k[x] со старшим коэффициентом 1, корнем которого является α, будет минимальным.

36

Доказательство. Пусть минимальный многочлен f(x) разлагается над k в произведение f1(x)f2(x) многочленов меньших степеней. Так как f(α) = 0, то либо f1(α) = 0, либо f2(α) = 0, что противоречит минимальности f(x).

Если теперь α является корнем неприводимого над k многочлена g(x) со старшим коэффициентом 1, то этот многочлен должен делиться на минимальный f(x). Пусть g(x) = f(x)h(x), но тогда h(x) = 1. □

Расширение полей K/k называется простым, если K порождается над k одним элементом. В зависимости от того, трансцендентный это элемент над k или алгебраический, расширение называется простым трансцендентным или простым алгебраическим.

Понятно, что простое трансцендентное расширение поля k имеет вид k(t)/k, где k(t) — поле рациональных функций от переменной t с коэффициентами из k.

Мы разберемся, как устроено простое алгебраическое расширение k(α)/k, эта информация будет часто использоваться в дальнейшем.

Предложение 2.18. Пусть k(α)/k — простое алгебраическое расширение и минимальный многочлен f(x) для α над k имеет степень n. Тогда |k(α) : k| = n и элементы 1, α, α2, . . . , αn−1 образуют базу k(α) над k. Поэтому k(α) = {b0 + b1α + . . . + bn−1αn−1 | bi k}. Поле k(α) изоморфно фактор-кольцу k[x]/(f(x)).

Доказательство. Рассмотрим эпиморфизм колец τ : k[x] → k[α], действующий по правилу g(x) 7→g(α). Его ядром будет идеал (f(x)),

и по теореме о гомоморфизмах k[x]/(f(x)) k[α]. Идеал (f(x)) в k[x]

=

порождается неприводимым многочленом и поэтому максимален. Тогда по теореме 2.9 кольцо k[x]/(f(x)) является полем, откуда k[α] =

=k(α).

Всилу доказанного произвольный элемент из k(α) можно представить в виде g(α), где g(x) k[x]. Разделим g(x) на f(x) с остатком: g(x) = f(x)h(x) + r(x), степень остатка r(x) меньше n. Имеем

g(α) = r(α). Следовательно, k(α) = {b0 + b1α + . . . + bn−1αn−1 | bi k}. Осталось доказать, что элементы 1, α, α2, . . . , αn−1 линейно незави-

симы над k. Допустим, b0+b1α+. . .+bn−1αn−1 = 0 для некоторых bi k. Тогда α является корнем многочлена b0 + b1x + . . . + bn−1xn−1 k[x],

степень которого меньше степени минимального многочлена. Этот многочлен обязан равняться нулю, т. е. все bi = 0. □

Предложение 2.19. Пусть k(α)/k — простое алгебраическое расширение, f(x) — минимальный многочлен для α над k. Пусть также

37

K′/k′ — расширение полей и σ : k → k′ — изоморфизм полей. Тогда, если β K′ — корень многочлена fσ(x), то σ и отображение α 7→β определяют вложение k(α) → K′. Число вложений k(α) → K′, продолжающих σ, равно числу корней многочлена fσ(x) в K′.

Доказательство. Многочлен fσ(x) неприводим над k′, поэтому является минимальным для β. По предыдущему утверждению

k(α) = {b0 + b1α + . . . + bn−1αn−1 | bi k},

где n — степень f(x). Аналогично

k′(β) = {b′0 + b′1β + . . . + b′n−1βn−1 | b′i k′}.

Непосредственно проверяется, что взаимно однозначное отображение b0 + b1α + . . . + bn−1αn−1 7→bσ0 + bσ1 β + . . . + bσn−1βn−1

сохраняет операции сложения и умножения, значит задает изоморфизм

Расширение K/k называется алгебраическим, если всякий элемент из K алгебраичен над k.

Лемма 2.20. Конечное расширение является алгебраическим.

Доказательство. Пусть |K : k| = n и α K. Тогда элементы 1, α, . . . , αn должны быть линейно зависимы над k. Поэтому найдутся ai k, не все равные нулю, для которых a0 + a1α + . . . + anαn = 0. Мы получили, что элемент α является корнем нетривиального многочлена

Лемма 2.21. Класс конечных расширений поля k совпадает с классом расширений, полученных присоединением к k конечного числа алгебраических элементов.

Доказательство. С одной стороны, если |K : k| = n и элементы α1, . . . , αn составляют базу K над k, то по предыдущей лемме эти элементы алгебраичны над k и можно утверждать, что K = k(α1, . . . , αn).

Пусть K = k(α1, . . . , αn) получено присоединением к k алгебраических элементов α1, . . . , αn. Если n = 1, то расширение простое алгебраическое и оно конечно. Обозначим L = k(α1, . . . , αn−1). Из соображений индукции по n предполагаем, что расширение L/k конечно. Так

38