как K = L(αn) и элемент αn алгебраичен над L, то расширение K/L конечно, а тогда по лемме 2.15 конечно расширение K/k. □

Лемма 2.22. Пусть поле K получается присоединением к k (не обязательно конечного) множества {αi | i I} алгебраических элементов. Тогда расширение K/k алгебраично.

Доказательство. Возьмем произвольный элемент α из K. Тогда в множестве {αi | i I} найдется конечный набор элементов

(α1, . . . , αn), для которого α k(α1, . . . , αn). По лемме 2.21 расширение k(α1, . . . , αn)/k конечно, а тогда по лемме 2.20 элемент α будет

алгебраическим над k. □

Пусть поле E содержит подполя K, L. Подполе, порожденное K и L, называется композитом этих полей, оно обозначается как KL. Здесь, конечно, KL не будет произведением множеств K и L, просто принято такое обозначение. В случае когда сами K и L являются расширениями k, получаем композит расширений KL/k. Отметим, что если

K = k(αi | i I), L = k(βj | j J), то KL = k(αi, βj | i I, j J).

Лемма 2.23. Пусть расширения K/k и L/k алгебраические. Тогда расширение KL/k также алгебраическое.

Доказательство. Действительно, KL получается из k присоединением множества K L алгебраических элементов и мы можем сослаться на лемму 2.22. □

Лемма 2.24. Свойство алгебраичности расширений транзитивно, т. е., если K L k и расширения K/L, L/k алгебраичны, то и расширение K/k является алгебраическим.

Доказательство. Докажем, что произвольный элемент α K алгебраичен над k. По условию α является корнем некоторого нетривиального многочлена xn +a1xn−1 +. . .+an−1x+an с коэффициентами из L. Рассмотрим поле F = k(a1, . . . , an). По лемме 2.21 расширение F/k конечно. Расширение F (α)/L простое алгебраическое, поэтому тоже конечно. Тогда по лемме 2.15 конечно расширение F (α)/k. По лемме 2.20 элемент α алгебраичен над k. □

2.3. Алгебраическое замыкание

Пусть Ω k[x] — некоторое множество многочленов степени 1 с коэффициентами из поля k. Полем разложения Ω над k называется поле, содержащее k, в котором каждый многочлен из Ω разлагается

39

на линейные множители, и которое порождается над k корнями всех многочленов из Ω. По лемме 2.22 поле разложения алгебраично над k.

Предложение 2.25 (теорема о существовании корня). Если k —

поле и f(x) — многочлен из k[x] степени 1, то существует расширение K/k, содержащее корень многочлена f(x).

Доказательство. Задача сводится к случаю, когда f(x) — неприводимый многочлен. В качестве искомого поля возьмем фактор-кольцо K = k[x]/(f(x)), в этом поле образ k можно отождествить с k, а корнем многочлена f(x) будет смежный класс x + (f(x)). □

Из теоремы о существовании корня выводится следующее усиление.

Следствие 2.26. Для любого конечного множества многочленов с коэффициентами из поля k найдется расширение K/k, над которым эти многочлены разлагаются на линейные множители.

Сформулируем условие того, что многочлен f(x) степени n со старшим коэффициентом 1 разлагается в произведение (x − α1) . . . (x − αn). Возьмем сначала произведение (x − x1) . . . (x − xn), где x, x1, . . . , xn — переменные, и представим его в виде многочлена от x:

(x − x1) . . . (x − xn) = xn − s(1n)xn−1 + . . . + (−1)ns(nn),

здесь s(1n), . . . , s(nn) — элементарные симметрические многочлены (см. [3, гл. 3, љ 8]) от набора переменных X = (x1, . . . , xn). Представим f(x) в виде xn − a1xn−1 + . . . + (−1)nan. Следующее утверждение очевидно.

Лемма 2.27 (теорема Виета). Многочлен f(x) разлагается в произведение (x − α1) . . . (x − αn) тогда и только тогда, когда при X = = (α1, . . . , αn) выполняются равенства s(1n)(X) = a1, . . . , s(nn)(X) = an.

Поле K называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен степени 1 с коэффициентами из этого поля имеет в K корень, или, что эквивалентно, любой многочлен разлагается над K на линейные множители. Примером такого поля может служить поле комплексных чисел C.

Поле K называется алгебраическим замыканием поля k, если оно содержит k, алгебраически замкнуто, и расширение K/k алгебраическое.

Зафиксируем до конца главы обозначение для множества всех многочленов над полем k степени 1 и со старшим коэффициентом 1.

40

Лемма 2.28. Алгебраическое замыкание поля k — это поле разложения множества многочленов .

Доказательство. Пусть K — алгебраическое замыкание поля k. Так как всякий элемент из K алгебраичен над k, то он является корнем какого-то многочлена из . Поэтому K просто совпадает с множеством корней семейства многочленов и, в частности, является полем разложения этого семейства.

Наоборот, пусть теперь L — поле разложения множества многочленов над k. Поле L алгебраично над k. Достаточно доказать, что оно алгебраически замкнуто. Рассмотрим многочлен f(x) L[x] степени1. По предложению 2.25 существует расширение K/L, в котором содержится корень α многочлена f(x). Но тогда элемент α алгебраичен

Теорема 2.29. Для любого поля k существует его алгебраическое замыкание.

многочленов от этих переменных с коэффициентами из k. Пусть I — идеал в кольце k[X ], порожденный всеми элементами из Σf , f .

Докажем, что идеал I собственный. Допустим противное, в этом

i=1 j=1

По следствию 2.26 найдется расширение K/k, над которым многочлены f1, . . . , fm разлагаются на линейные множители, пусть fi(x) =

41

а остальные переменные из X равными, например, нулю, мы определяем гомоморфизм кольца k[X ] в поле K. После применения этого гомоморфизма к правой части равенства (2.3) получим 0, — противоречие.

Итак, идеал I является собственным. По лемме 2.11 найдется максимальный идеал M кольца k[X ], содержащий I. По теореме 2.9 факторкольцо E = k[X ]/M является полем, рассмотрим канонический эпиморфизм τ : k[X ] → E. Очевидно, что k ∩ ker τ = 0, поэтому поле k вкладывается в E, и мы отождествим k с kτ. Из построений и лем-

Приведем другое доказательство теоремы 2.29, хотя основанное на тех же идеях, с использованием локальной теоремы (теоремы о компактности) из математической логики. Рассмотрим теорию полей, содержащих k в качестве подполя. В сигнатуре теории полей, расширенной константами из k, она определяется аксиомами поля и таблицами сложения и умножения элементов k. Для каждого конечного набора (a1, . . . , an) элементов из k определим предложение

L(a1, . . . , an) =

= x1 . . . xn(s(1n)(x1, . . . , xn) = a1 . . . s(nn)(x1, . . . , xn) = an).

Истинность этого предложения означает, что многочлен xn − a1xn−1+ + . . . + (−1)nan разлагается на линейные множители. Обозначим через L совокупность таких предложений по всем конечным наборам элементов из k. Из следствия 2.26 вытекает, что для каждого конечного подмножества L существует модель рассматриваемой теории, в которой это подмножество предложений выполняется. Но тогда по теореме компактности (см., например, [4, љ 3.3]) существует модель K, в которой выполняются все предложения из L. Это означает, что поле K содержит поле разложения множества многочленов , которое и будет алгебраическим замыканием k. Теорема доказана.

Лемма 2.30. Если k — бесконечное поле, то (любое) его алгебраическое замыкание имеет ту же мощность, что и k.

42

Действительно, из леммы 2.28 мы знаем, что алгебраическое замыкание состоит из корней многочленов множества , но мощность этого множества корней равняется мощности и равняется мощности k.

Из следующей теоремы вытекает, что алгебраическое замыкание поля k определяется однозначно с точностью до k-изоморфизма, т. е. изоморфизма полей, содержащих подполе k, действующего тождественно на элементах из k.

Теорема 2.31. Пусть σ : k → k′ — изоморфизм полей, K — алгебраическое расширение поля k, K′ — алгебраическое замыкание поля k′. Тогда σ продолжается до вложения поля K в K′. Если K — алгебраическое замыкание поля k, то это продолжение — изоморфизм. В частности, любые два алгебраических замыкания поля k являются k-изоморфными.

Доказательство. Рассмотрим множество пар {(Ei, σi) | i I}, где Ei — подполе в K и σi : Ei → K′ — вложение, продолжающее σ. На этом множестве определим частичный порядок по следующему пра-

вилу: (E1, σ1) (E2, σ2) тогда и только тогда, когда E1 E2 и σ2 продолжает σ1. Построенное частично упорядоченное множество удо-

влетворяет условию леммы Цорна (см. доказательство леммы 2.11). Действительно, для каждой линейно упорядоченной цепочки

(E1, σ1) (E2, σ2) . . . (Ei, σi) . . .

ние всех подполей из цепочки, а σ˜ действует на Ei как σi. Следовательно, в рассматриваемом множестве существует максимальный элемент (E, τ). Необходимо доказать, что E = K, тогда τ : K → K′ будет искомым вложением.

Допустим противное: E < K и α K \ E. Пусть f(x) — минимальный многочлен для α над E. Так как поле K′ алгебраически замкнуто, то в нем существует корень β многочлена fτ (x). По предложению 2.19 вложение τ и отображение α 7→β продолжаются до вложения E(α) → K′. Получаем противоречие с максимальностью пары (E, τ).

Итак, первая часть теоремы доказана. Пусть теперь K является алгебраическим замыканием поля k. Тогда Kτ будет алгебраическим замыканием поля kτ = k′. По условию и K′ Kτ является таковым. Но ведь алгебраическое замыкание совпадает с множеством корней многочленов из , поэтому K′ = Kτ. □

43