Глава 2

Элементы теории колец и полей

Основным объектом изучения теории Галуа являются расширения полей. В этой главе мы напомним необходимые определения и конструкции, при помощи которых строятся эти расширения. Также мы изучим свойства сепарабельности и нормальности расширений и построим алгебраическое замыкание поля. Более подробное изложение этих вопросов можно найти в книгах [7, 8].

2.1. Основные понятия

Если R — множество с определенными на нем двумя бинарными операциями «+» и «·» (сложения и умножения), удовлетворяющими следующим условиям:

1)R, + — абелева группа,

2)a, b, c R a(b + c) = ab + ac,

3)a, b, c R (a + b)c = ac + bc,

4)a, b, c R a(bc) = (ab)c,

то R называется кольцом. Свойства 2) и 3) называются соответственно левой и правой дистрибутивностью.

Примерами колец являются множества целых чисел Z, вычетов по модулю n Zn, рациональных чисел Q, действительных чисел R, комплексных чисел C, многочленов от любого числа переменных над упомянутыми кольцами, квадратных матриц порядка n над данным кольцом R.

Единица кольца — это такой элемент e, что ae = ea = a для любого элемента a кольца (обычно единицу обозначают просто 1). Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором умножение коммутативно. Если a и b — элементы кольца R с единицей такие, что ab = 1, то a называется левым обратным к b, а b — правым обратным к a. Если элемент a кольца имеет и левый, и правый обратный, то последние обязаны совпадать и соответствующий элемент называется обратным к a. Из аксиом

26

кольца следует, что произведение нуля и любого элемента равно нулю,

вчастности, у нуля не может быть обратного (за исключением тривиального кольца, т. е. кольца, состоящего из нуля). Элемент a кольца R, для которого существует обратный в этом же кольце, называется обратимым.

Если a и b — ненулевые элементы кольца R такие, что ab = 0, то a называется левым, а b — правым делителем нуля. Легко видеть, что левый делитель нуля не может иметь правого обратного, в частности,

вкоммутативном кольце делители нуля необратимы.

Если R — кольцо с единицей, то обратимые элементы этого кольца образуют группу R по умножению.

Коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим, называется полем.

Кольца Q, R и C будут полями.

Напомним, что коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности. Как известно из курса высшей алгебры (см., например, [3, гл. 3, љ 10]), любая область целостности R может быть вложена в поле частных Q(R), т. е. поле формальных дробей с элементами из R в качестве числителя и знаменателя (последний должен быть отличен от нуля), в котором a/b = c/d тогда и только тогда, когда ad = bc. Например, для R = Z поле частных изоморфно полю Q рациональных чисел, а для кольца многочленов k[x1, . . . , xn] над полем k его поле частных Q(k[x1, . . . , xn]) называется полем рациональных функций и обозначается k(x1, . . . , xn). Поле частных кольца R можно определить также как наименьшее поле, содержащее кольцо R. Более точно, верно следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть R — область целостности и σ : R → k — вложение кольца R в поле k. Тогда σ однозначно продолжается до вложения поля частных Q(R) в k.

Доказательство. Легко видеть, что 1σ = 1. Тогда, применяя σ к равенству a · (1/a) = 1, получаем, что (1/a)σ = (aσ)−1. Таким образом, единственная возможность продолжить σ на Q(R) — это положить (a/b)σ = aσ/bσ. Корректность этого определения, а также сохранение операций под действием σ проверяется непосредственно. □

Подкольцом кольца R называется подмножество S в R, замкнутое относительно операций сложения и умножения, которое само является кольцом относительно суженных операций. Как и для случая групп, нетрудно установить, что нулевой элемент подкольца S R совпадает

27

с нулевым элементом всего кольца R, противоположный элемент для x S в кольце S также совпадает с противоположным для x в R.

Если подкольцо S кольца R является полем, то S называется подполем в R. При этом S является подгруппой в R .

Подкольцо I кольца R называется идеалом в R, если оно замкнуто относительно умножения слева и справа на любой элемент из R, т. е. ax, xa I для любых a I и x R.

Пересечение любого множества идеалов кольца R снова является идеалом. Поэтому для любого подмножества M R существует наименьший идеал в R, содержащий M, который называется идеалом, порожденным множеством M и обозначается (M). Идеалы вида (a), порожденные одним элементом a R, называются главными.

Лемма 2.2. Пусть M — непустое подмножество коммутатив-

i=1

здесь можно предполагать, что в каждой сумме из правой части все элементы mi различны для различных индексов i.

Доказательство. Обозначим через I множество в правой части формулы (2.1).

k

P

С одной стороны, всякая сумма ximi (M), откуда I (M).

i=1

С другой стороны, если a, b I, то a ± b I и для любого элемента x R имеем ax = xa I в силу коммутативности R. Следовательно, I является идеалом кольца R. По определению I содержит M и поэтому

(M) I. □

По определению идеал является подгруппой в аддитивной группе кольца. Поэтому если R = Z или Zn, то идеал должен иметь вид mR для некоторого целого m. Легко видеть, что любая такая подгруппа образует идеал кольца R.

Предложение 2.3. Пусть k — поле, R = k[x] — кольцо многочленов от одной переменной над k. Тогда для любого идеала I в кольце R найдется многочлен f R такой, что (f) = I.

Другими словами, в кольце k[x] над полем k любой идеал главный — состоит из всех многочленов, делящихся на данный f k[x].

28

Доказательство. Если I содержит только 0 R, то подходит f = 0. В противном случае выберем ненулевой многочлен f I минимальной степени. Тогда (f) I и если допустить, что в I найдется многочлен g, не делящийся на f, то ненулевой остаток от деления g на f, равный r = g − fq (q R — неполное частное), лежит в I и имеет степень меньше f, что невозможно. □

Кольцо, в котором любой идеал главный, называется кольцом главных идеалов.

Если S — подкольцо в кольце R, а I — идеал в R, то сумма S и I (как аддитивных подгрупп) является подкольцом, поскольку, очевидно, замкнута относительно умножения: (x+a)(y+b) = xy+(xb+ay+ab) S+I при x, y S, a, b I. Сумма двух подколец не обязательно является подкольцом, но сумма двух идеалов — обязательно идеал. Также полезно отметить, что S ∩ I является идеалом в кольце S.

Пусть R и S — кольца. Отображение ϕ: R → S называется гомоморфизмом кольца R в кольцо S, если ϕ сохраняет операции сложения и умножения:

(x + y)ϕ = xϕ + yϕ, (xy)ϕ = (xϕ)(yϕ), x, y R.

В частности, ϕ является гомоморфизмом аддитивной группы (R, +) в (S, +), т. е. 0ϕ = 0, (−x)ϕ = −(xϕ). Как и в случае групп, сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом, инъективный — вложением (или мономорфизмом).

Ядром гомоморфизма колец ϕ: R → S называется множество

ker ϕ = {h G | hϕ = 0},

т. е. ядро ϕ как гомоморфизма аддитивных групп. Поскольку y0 = = 0y = 0 для всех элементов y S, ядро ϕ является идеалом в R. Образ ϕ является подкольцом в S.

Пусть I — идеал в кольце R. В частности, I является подгруппой в (абелевой) аддитивной группе (R, +). Рассмотрим фактор-группу R/I по операции сложения. Операция сложения на смежных классах из R/I определяется «на представителях» (см. параграф 1.3):

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, x, y R.

По этому же принципу можно определить операцию умножения смежных классов:

29

Это определение корректно, оно не зависит от выбора представителей x и y. Действительно, если x + I = x′ + I, y + I = y′ + I, то

xy − x′y′ = xy − x′y + x′y − x′y′ = (x − x′)y + x′(y − y′) I,

поскольку x − x′, y − y′ I. Следовательно, xy + I = x′y′ + I.

Легко видеть, что аддитивная фактор-группа R/I с операцией умножения (2.2) удовлетворяет всем аксиомам кольца (достаточно проверить ассоциативность умножения и дистрибутивность). Это кольцо называется фактор-кольцом кольца R по идеалу I.

Если I — идеал кольца R, то отображение τ : R → R/I, действующее по правилу x 7→x + I, x R, является эпиморфизмом кольца R на фактор-кольцо R/I и называется каноническим эпиморфизмом. Ядром канонического эпиморфизма τ : R → R/I является в точности идеал I.

Например, фактор-кольцо Z/nZ для данного n > 0 состоит ровно из n классов вида r + nZ, r = 0, 1, . . . , n − 1. Каждый класс r + nZ составлен из всех тех целых чисел, которые дают остаток r при делении на n.

Аналогично можно описать строение фактор-кольца R = k[x]/(f), где k — поле, а f k[x] — ненулевой многочлен степени n. В этом случае R состоит из классов вида r+(f), deg r < n, каждый из которых составлен из всех многочленов, дающих остаток r при делении на f.

Теорема 2.4 (о гомоморфизмах для колец). Пусть I — идеал кольца R и τ : R → R/I — канонический эпиморфизм.

1)Всякое подкольцо в R/I имеет вид S/I, где S — подкольцо в R, содержащее I.

2)Если S — подкольцо в R, то Sτ = (S + I)/I.

3)Пусть ϕ: R → R′ — эпиморфизм колец и ker ϕ = I. Тогда существует изоморфизм ψ : R/I → R′ такой, что ϕ = τψ. Это равносильно следующему утверждению: фактор-кольцо по ядру гомоморфизма изоморфно образу.

Доказательство. Формулировка этой теоремы схожа с теоремой о гомоморфизмах для групп (теорема 1.13), поэтому доказательство тоже мало отличается.

1) Если Q — подкольцо в R/I, то в качестве S можно взять полный прообраз Q при каноническом эпиморфизме: S = {a R | aτ Q}. Рутинная проверка показывает, что S — подкольцо, I — идеал в кольце S, и S/I = Sτ = Q.

2) Достаточно заметить, что множество S + I — подкольцо в R, и применить п. 2) теоремы 1.13 к аддитивной группе (R, +) кольца R.

30

3) Определим ψ как в доказательстве п. 3) теоремы 1.13, примененной к (R, +): (a + I)ψ = aϕ. Очевидно, что ψ не только является изоморфизмом аддитивных групп, но и сохраняет операцию умножения. Действительно,

((a + I)(b + I))ψ = (ab + I)ψ = (ab)ϕ = (aϕ)(bϕ) = (a + I)ψ · (b + I)ψ

Следствие 2.5. В условиях пункта 2) теоремы 2.4 имеет место

изоморфизм (S + I)/I S/(S ∩ I).

=

Доказательство. Достаточно применить утверждение 2) теоремы 2.4 к ограничению τ на S. □

Пример 2.6. Пусть n — положительное целое число. Отображение ϕ : Z → Zn, переводящее целое число x в его остаток при делении на n, является эпиморфизмом колец, причем ker ϕ = nZ. Поэтому

/n , как мы уже видели ранее. В дальнейшем мы будем отож-

Zn = Z Z

дествлять эти кольца.

Пример 2.7. Пусть n — положительное целое число и d — делитель n. Обозначим через (d) идеал в кольце вычетов Zn, порожденный

Пример 2.8. Пусть R = R[x]. Отображение ϕ : R → C, переводящее всякий многочлен h(x) в его значение h(i) в точке x = i, является эпиморфизмом колец, причем ker ϕ = (x2 + 1). Следовательно,

[x]/(x2 + 1) .

R = C

Идеал I кольца R называется максимальным, если I ≠ R и для любого идеала J кольца R из I J следует J = I или J = R. Другими словами, в кольце R нет промежуточных (по вложению) идеалов между I и всем R.

Например, в кольце R = Z максимальными являются в точности идеалы вида pZ, где p — простое число. Действительно, каждый идеал в Z главный. Пусть I = nZ, J = mZ (n, m > 0), тогда вложение I J эквивалентно условию m | n (m делит n). Если n — простое, то m = 1 или m = n. Первое означает J = R, второе — J = I. Обратно, если n не является простым, то у него найдется делитель m такой, что 1 < m < n, и тогда J = mZ — промежуточный идеал между I и R.

Аналогично доказывается, что в кольце многочленов R = k[x] над полем k максимальными являются в точности идеалы (f), порожденные неприводимыми над k многочленами f k[x].

31

Теорема 2.9. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, I — идеал в R. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)I — максимальный идеал в R;

2)фактор-кольцо R/I является полем.

Доказательство. 1) 2). Достаточно показать, что любой ненулевой класс a + I обратим по умножению в R/I. Если a + I ≠ 0 для некоторого a R, то a / I. Рассмотрим множество J = I + aR = = {u + ax | u I, x R}. Легко видеть, что J является идеалом в R, строго содержащим I в силу того, что a J. Следовательно, J = R, и поэтому найдется x R такой, что 1 = u + ax для некоторого u I. Тогда (a+I)(x+I) = (ax+I) = (1−u+I) = 1+I, т. е. x+I = (a+I)−1 —

искомый обратный.

2) 1). Если идеал J кольца R содержит I, то образ Jτ при каноническом эпиморфизме τ : R → R/I является идеалом в R/I. Любое поле F содержит ровно два идеала: 0 и F . В частности, Jτ = 0 или Jτ = R/I. В первом случае J = I, во втором J = R, что и требовалось. □

Например, пусть R = Z, p — простое число. Тогда I = pZ — максимальный идеал и R/I = Z/pZ = Zp — поле вычетов по модулю p, состоящее ровно из p элементов.

Аналогично, если k — некоторое поле, R = k[x] и I = (f), где f — неприводимый над k многочлен, то L = k[x]/(f) — поле, содержащее исходное k в качестве подполя (ограничение канонического эпиморфизма τ : k[x] → L на k k[x] инъективно).

Пример 2.8 наглядно демонстрирует приложение данной теоремы: многочлен x2 + 1 неприводим над полем R, поэтому идеал, порожденный им, максимальный и, следовательно, фактор R[x]/(x2 + 1) — поле (это поле комплексных чисел).

Пример 2.10. Пусть k = Z2 и f = x2 + x + 1 k[x]. Тогда факторкольцо Z2[x]/(f) изоморфно полю из четырех элементов

F4 = {0, 1, i, i + 1},

вкотором i2 = i + 1.

Вдальнейшем нам понадобится следующее утверждение.

Лемма 2.11. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, I — собственный идеал в R. Тогда найдется максимальный идеал M в R такой, что I M.

32

Доказательство. Напомним утверждение из теории множеств, известное как лемма Цорна (или принцип максимума [4, теорема 2.2.6]): если в частично упорядоченном множестве (M, ) любая возрастающая цепь имеет верхнюю грань, то для любого элемента a M найдется максимальный элемент m M такой, что a m.

Возьмем в качестве M множество собственных идеалов кольца R, упорядоченное по отношению включения. Это частично упорядоченное множество удовлетворяет условию леммы Цорна. В самом деле, пусть X M — цепь в M, т. е. непустое линейно упорядоченное по включению множество собственных идеалов кольца R. Можно считать, что X имеет вид

I1 I2 · · · Iα . . . ,

Iα M, где множество индексов α состоит из ординальных чисел. В частности, 1 / Iα для всех Iα X. Тогда, как несложно проверить, J = S Iα — тоже идеал кольца R, причем собственный, т. к. 1 / J.

Iα X

Следовательно, идеал J — верхняя грань цепи X в множестве M. Остается заметить, что максимальный элемент в частично упорядоченном по включению множестве собственных идеалов — это в точности максимальный идеал кольца, и тогда по лемме Цорна в кольце R найдется максимальный идеал M, содержащий I. □

Пусть R — некоторое кольцо. Допустим, аддитивная группа (R, +) этого кольца равна прямому произведению конечного числа своих подгрупп R1, . . . , Rs. Прямое произведение для аддитивных групп естественно называть прямой суммой и обозначать R = R1 · · · Rs. Если при этом каждое из Ri является идеалом в R, то говорят, что R является прямой суммой колец R1, . . . , Rs.

Элементы прямой суммы колец R1 · · · Rs могут рассматриваться как кортежи вида (a1, . . . , as), ai Ri, с покомпонентными операциями сложения и умножения. Последнее вытекает из того, что Ri ∩ Rj = 0 при i ≠ j, и поэтому RiRj = 0.

Лемма 2.12. Пусть n, m Z, n, m > 0. Если n и m взаимно просты, то Zmn = Zm Zn.

Доказательство. Обозначим через πm и πn естественные эпи-

33

соответственно. Непосредственно проверяется, что отображение π, действующее по правилу l 7→(lπm, lπn), является гомоморфизмом из кольца Zmn в прямое произведение колец Zm и Zn. Ядром этого гомоморфизма является идеал (m) ∩ (n) = 0. Таким образом, π является вложением. Наконец, из сравнения порядков следует, что π — изоморфизм. □

Из этой леммы тривиально выводится следующее утверждение.

Следствие 2.13. Если n = pr11 . . . prss — каноническое разложение натурального числа n в произведение степеней простых чисел (pi ̸= pj при i ̸= j), то

Zn = Zpr11 · · · Zprss

— прямая сумма колец.

Обозначим через Zn множество обратимых элементов кольца выче-

тов Zn = Z/nZ.

С одной стороны, для того чтобы класс m + nZ был обратим по умножению в Zn, необходимо и достаточно, чтобы n и m были взаимно простыми. Действительно, условие (m + nZ)(x + nZ) = 1 + nZ эквивалентно тому, что найдется такое y Z, что mx = 1 + ny, а последнее возможно тогда и только тогда, когда n и m не имеют нетривиальных общих делителей. Следовательно, |Zn| равно числу таких натуральных m n, которые взаимно просты с n. Это число известно как функция Эйлера ϕ(n).

С другой стороны, представим элемент c Zn как кортеж в прямой сумме из следствия 2.13: c = (c1, . . . , cs), ci Zpri i . Легко видеть, что c обратим тогда и только тогда, когда обратимы все ci. Следовательно, количество обратимых элементов в Zn равно числу всех возможных кортежей из обратимых элементов в Zpri i . Таким образом,

ϕ(n) = ϕ(pr11 ) . . . ϕ(prss )

для n = pr11 . . . prss . Элементы в Zpr для простого числа p нетрудно пересчитать: это все вычеты по модулю pr, не делящиеся на p, их ровно pr − pr−1 штук. Тем самым мы получили явную формулу для функции Эйлера.

Следствие 2.14. Если n = pr11 . . . prss — каноническое разложение натурального числа n, то

34