Глава 1

Элементы теории групп

В этой главе мы напомним определения и факты из теории групп, ранее изложенные в курсе высшей алгебры, докажем известную теорему Силова о конечных группах, изучим свойства разрешимых групп, которые понадобятся в теории Галуа. Более детально с основами теории групп можно ознакомиться, например, по книге [6].

1.1. Группы, подгруппы и смежные классы

Напомним, что группой называется множество G, снабженное бинарной операцией G × G → G (она обычно называется умножением, а результат операции для пары (x, y) G × G обозначается x · y или просто xy), если выполнены следующие аксиомы.

1)Операция ассоциативна, т. е. для любых x, y, z G выполняется равенство (xy)z = x(yz).

2)Существует единичный элемент e G, т. е. такой, что xe = ex =

=x для любого x G.

3)Для любого x G существует обратный элемент x−1 G, т. е. такой, что xx−1 = x−1x = e.

Нетрудно видеть, что единичный элемент в данной группе G единственный и для любого x G его обратный также однозначно определен. Заметим, что для любых элементов x1, x2, . . . xn G выполнено

равенство (x1x2 . . . xn)−1 = x−n 1 . . . x−2 1x−1 1.

Для любого элемента группы можно определить его целую степень:

6

Группа G называется абелевой, или коммутативной, если выполняется аксиома коммутативности: xy = yx для любых x, y G. Часто операция в абелевой группе обозначается через + и называется сложением, единичный элемент обозначается символом 0, а обратный к x — символом −x.

Примером абелевой группы является множество целых чисел Z, снабженное операцией сложения.

Подмножество H группы G, замкнутое относительно операции, определенной на группе G, называется подгруппой группы G (обозначение H G), если оно является группой относительно суженной операции. Легко проверяется критерий того, что данное непустое подмножество является подгруппой.

Лемма 1.1. Подмножество H ̸= будет подгруппой в группе G тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно умножения и взятия обратного элемента:

h1, h2 H h1h2 H, h H h−1 H.

Отсюда вытекает следующее утверждение.

Лемма 1.2. Пересечение любого множества подгрупп данной группы само является подгруппой.

Заметим, что объединение подгрупп, вообще говоря, не является подгруппой. Например, объединение двух подгрупп — подгруппа, только если одна из объединяемых подгрупп содержится в другой.

Пусть M — непустое множество. Обозначим через S(M) множество всех биекций M → M. Элементы множества S(M) можно называть подстановками на множестве M, хотя обычно термин «подстановка» используется для конечных множеств M. Рассмотрим операцию суперпозиции на S(M): если σ, τ S(M), то m(στ) = (mσ)τ для m M. Множество S(M) относительно операции суперпозиции образует группу. В случае когда M = {1, . . . , n}, группа S(M) называется группой подстановок на n элементах и обозначается Sn. Эта группа играет важную роль в теории Галуа.

Для записи подстановки можно использовать ее представление в виде таблицы из двух строк, где в нижней строке указаны образы элементов из верхней строки. Например,

12 . . . n

σ= j1 j2 . . . jn

означает, что kσ = jk для k = 1, 2, . . . , n.

7

Циклом длины k, k 2, называется подстановка σ из Sn, перемещающая некоторый набор попарно различных элементов i1, . . . , ik {1, 2, . . . , n} по правилу

i1σ = i2, i2σ = i3, . . . , ik−1σ = ik, ikσ = i1,

и не перемещающая остальные элементы из {1, 2, . . . , n}. Такой цикл обозначается (i1i2 . . . ik). Цикл длины два называется транспозицией.

Известно (см., например, [1, гл. 2]), что любая подстановка σ может быть однозначно с точностью до перестановки множителей разложена в произведение независимых циклов, т. е. таких, у которых не пересекаются множества перемещаемых элементов. В частности, однозначно определен декремент подстановки d(σ), равный разности числа перемещаемых элементов и числа циклов в ее разложении на независимые циклы. В соответствии с четностью или нечетностью декремента подстановка называется четной или нечетной. Любая подстановка может быть представлена как произведение транспозиций (не обязательно независимых). Декремент подстановки σ равен наименьшему числу транспозиций, произведение которых равно σ.

Знак подстановки σ, обозначаемый (−1)σ, равен 1 для четной подстановки и −1 для нечетной. В частности, циклы четной длины (например, транспозиции) являются нечетными подстановками, а циклы нечетной длины — четными. Выполняется мультипликативное свойство четности:

(−1)στ = (−1)σ(−1)τ .

В силу этого свойства множество четных подстановок An замкнуто относительно умножения и взятия обратного элемента, поэтому является подгруппой в группе Sn.

Из леммы 1.2, в частности, следует, что если M — некоторое непустое подмножество группы G, то существует наименьшая подгруппа, содержащая M (она равна пересечению всех подгрупп, содержащих M). Эта подгруппа называется подгруппой, порожденной подмножеством M, и обозначается через M . Покажем, что

M = {mε11 mε22 . . . mεkk | k 1, mi M, εi = ±1} .

Действительно, включение выполняется, поскольку левая часть содержит M, является подгруппой, а тогда содержит любой элемент вида mε11 mε22 . . . mεkk . Для обратного включения достаточно понять, что

8

множество в правой части образует подгруппу (по определению оно содержит M). Замкнутость относительно умножения очевидна. Замкнутость относительно взятия обратного следует из формулы

(mε11 mε22 . . . mεkk )−1 = m−k εk . . . m−2 ε2 m−1 ε1 .

Группа G называется циклической, если существует элемент g G такой, что G = g . В силу вышесказанного,

g = {gk | k Z}.

Покажем, что нетривиальная подгруппа H в циклической группе G сама является циклической и порождается элементом gn, где n — минимальное натуральное число с условием gn H (такое число существует в силу замкнутости H относительно взятия обратного элемента). Для этого представим произвольный элемент h H в виде gm, m Z, и затем разделим m на n с остатком: m = nk + r. Имеем

0 ≤ r < n, gr = gm(gn)−k H r = 0 и h = (gn)k.

Пусть g — произвольный элемент группы G. Говорят, что порядок этого элемента (он обозначается |g|) равен бесконечности (|g| = ∞), если gn ̸= e для любого натурального числа n. В противном случае полагаем |g| = n, где n — минимальное натуральное число n с условием gn = e. Отметим, что в этом случае gm = e m = nk для некоторого целого k. Легко проверяется следующая лемма.

Лемма 1.3. Пусть G = g — циклическая группа. Если |g| = ∞, то все целые степени элемента g различны при разных показателях. Если |g| = n — натуральное число, то G совпадает с множеством {e, g . . . , gn−1}, в котором все выписанные n элементов различны.

Мощность группы также называется ее порядком, это понятие активно применяется в конечных группах. Из последней леммы вытекает, что порядок циклической группы, порожденной элементом конечного порядка, совпадает с порядком самого этого элемента.

Заметим, что представление о порядке элемента группы позволяет усилить лемму 1.1 для конечных групп. Действительно, если G — конечная группа и g G, то порядок g конечен и g−1 = g|g|−1. Таким образом, в конечной группе обратный к элементу является его неотрицательной степенью. Следовательно, в конечной группе любое непустое подмножество, замкнутое относительно операции, является подгруппой. Как легко видеть, в случае бесконечных групп от условия

9

замкнутости относительно взятия обратного нельзя отказаться. Например, множество натуральных чисел N замкнуто относительно сложения, но не образует подгруппу в Z.

Если H — подгруппа группы G и a — элемент из G, множество

aH = {ah | h H}

назовем левым смежным классом группы G по подгруппе H. Любой его элемент ah (h H) называется представителем смежного класса, отметим (ah)H = a(hH) = aH. Аналогично определяется правый смежный класс Ha. Смежные классы можно определить по-другому. На группе G зададим отношение эквивалентности: элементы a и b эквивалентны тогда и только тогда, когда a−1b H. Непосредственно проверяются свойства эквивалентности (рефлексивность, симметричность, транзитивность), поэтому группа G разбивается на классы эквивалентности. Далее отметим a−1b H b aH. Отсюда следует, что класс эквивалентности, содержащий элемент a, в точности равняется левому смежному классу aH. В частности, любые два левых смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают.

Определим индекс подгруппы H в группе G как число левых смежных классов группы G по подгруппе H, оно обозначается |G : H|. Поскольку отображение, отправляющее элемент в его обратный, индуцирует биекцию между множествами левых и правых смежных классов, то индекс также равен числу правых смежных классов по подгруппе.

Теорема 1.4 (теорема Лагранжа). Пусть H — подгруппа конечной группы G. Тогда

|G| = |G : H||H|.

Доказательство. Достаточно показать, что порядки всех смежных классов совпадают с порядком подгруппы H. Из аксиом группы следует, что так называемый левый сдвиг, т. е. отображение x 7→ax для фиксированного элемента a группы G, является биекцией на группе G. Поскольку левый смежный класс aH является образом подгруппы H относительно такой биекции, порядки aH и H совпадают, что и требовалось доказать. □

Из теоремы Лагранжа напрямую вытекает следующее утверждение.

Следствие 1.5. В конечной группе порядок любой ее подгруппы и порядок любого ее элемента делят порядок группы.

10