книги / Общая термодинамика.-1
.pdf7. Сложная взаимосвязь формоизменения
имеханической силы
7.1.Сложной является такая взаимосвязь формоизменения испы туемого тела и механических сил, которая определяется двупара метрическими уравнениями механического состояния, образуемыми из (3.1). Предполагается, что испытание происходит в равновесных (квазиравновесных) условиях, а испытуемое тело есть идеально упругое.
7.2.Используя (3.1), рассмотрим происходящее одновременно одно- и двумерное формоизменение испытуемого тела, происходя щее под воздействием F\- и /^-сил соответственно. Для этой ситуа ции запишем (3.1) как двупараметрическое (длина — площадь) урав нение состояния (полагая неизменными все другие параметры):
dUn = - F id x - F2ds. |
(7.1) |
Из (7.1) соотношение Максвелла, определяющее все изменения в та ком теле, будет
(те) . * |
<7-2> |
Из (7.2) в первом приближении получим
dF'- = ( т е ) / * " |
(7'3) |
где нижние s-индексы указывают на то, что данные параметры взя ты при s = const. Для испытуемого тела исходной длины х, испо льзуя принцип суперпозиции, а именно, умножив и разделив правую часть на х и преобразуя, получим
“рг- ( ж ) / - |
<7-4) |
Введем представление о 1,2-модуле
( £ ) , |
<7-5) |
и далее полагая, что /^-сила изменяется линейно, причем при ei = О F2 = 0, и опуская нижние индексы, характеризующие геометриче ские факторы, приходим к уравнению
F2 —Е\2Е\. |
(7.6) |
Уравнение (7.6), подобное (6.5), но учитывающее сложную природу модуля упругости, утверждает, что одномерная деформация £i про порциональна силе Fz, вызывающей двумерную деформацию.
7.3. Когда одно-, трехмерное формоизменение испытуемого тела происходит под воздействием Fi- и Fj-сил соответственно из (3.1) двупараметрическое (длина — объем) уравнение состояния будет
dUa = -F \d x - Fbdv. |
(7.7) |
Из (7.7) соотношение Максвелла, определяющее соответствующие изменения в таком теле, будет
( т \ |
(dFA |
(7.8) |
|
\ d x / v |
\ d v / * ' |
||
|
Из (7.8) в первом приближении получим
(7.9)
dF- " ( w )
Для тела исходной длины х, совершив преобразования, аналогич ные совершенным над (7.3), введя представление о 1,3-модулё
Е„ . ( £ ) , |
(7.10) |
во втором приближении, полагая силы и деформации линейными, приходим к уравнению
F3 = El3au |
(7.11) |
аналогичному с точки зрения теории размерностей и принципа Кирпичева известному уравнению ГУка. Однако уравнение (7.11), как и (7.6), по своей сути является дифференциальным уравнением термо динамики прочности со строгим (с понятными ограничениями) обо значением всех параметров в соответствии с (3.1).
7.4. Для случая дву-, трехмерного формоизменения испытуемого тела под воздействием Fz- и Рз-сил соответственно из (3.1) уравне ние состояния будет
(Шгъ = |
—Fzds - F3dv. |
(7.12) |
Откуда получаем соотношение Максвелла |
|
|
/д К \ |
= (dFz\ |
(7.13) |
|
\ d v ) s * |
|
|
|
|
Определив 2,3-модуль как
|
£ 23 = |
(7.14) |
приходим к уравнению |
|
|
|
£з = £23£2 |
(7.15) |
представляющему собой как бы термодинамический аналог уравне |
||
ния ГУка для сдвига (при £23 = G). |
|
|
7.5. |
Сопоставим уравнения простой и сложной взаимосвязи фор |
|
моизменения испытуемого тела и механической силы. Во-первых, отметим принципиальное отличие физической природы простой и сложной взаимосвязи. В первом случае испытуемое тело представ ляет собой одно-, двуили трехмерный континуум, никак не взаи модействующий в других измерениях. Во-втором — в формоизме нение вносит определенный вклад реализуемая в испытуемом теле возможность его формоизменения за счет данной £-мерной силы и в других измерениях.
Во-вторых, обращает внимание в общем-то хорошо известная возможность линейной (по координате х) деформации испытуемого тела под воздействием разных сил: £i(6.5), £ 2(7 .6); £з(7.11). Указан ные уравнения раскрывают термодинамическую природу этих сил. То же самое следует сказать и о двумерной деформации по (6.7)
и (7.15).
В-третьих, закон объемной деформации одинаково справедлив для испытуемых тел как типа газа, так и для тел, имеющих равно мерную трехмерную структуру связей типа алмаза и поваренной соли.
8.Кинетика изменения формы тела
8.1.Выполненный термодинамический анализ базировался на представлениях равновесной термодинамики. Следовательно, пред полагалось, что на момент рассмотрения все изменения с испытуе мым телом уже произошли и достигнутое формоизменение с точ ностью до бесконечно малых строго соответствует (пропорциональ но) приложенному напряжению. Это предположение можно трактовать и таким образом: в результате приложения напряжения (а оно прилагается бесконечно быстро) испытуемое тело мгновенно
деформируется, приобретая строго определенную форму, соответ ствующую данному напряжению.
8.2. Все реальные процессы идут во времени. Не составляют ис ключения и приложение напряжения, и формоизменение. Обычно (здесь не имеются в виду динамические испытания) при определе нии статической прочности так строят программу испытаний, что с достаточной точностью можно считать, что напряжение к испы туемому телу прикладывается мгновенно. С таким приближением будем говорить о кинетике прочности и, в частности, формоизмене ния, когда
Ei = Ei(t). |
(8.1) |
Тогда в соответствии с (7.6), (7.11), (7.15) при Ех - const также имеем
Ft = Fi(t), |
(8.2) |
причем формы кинетических законов при is, = const и в соответст вии со сделанным допущением о мгновенном приложении (снятии) механической силы в (8.1), (8.2) подобны. Поэтому ниже будем рас сматривать только кинетику формоизменения (вполне очевидно, сделанное здесь отступление не имеет отношения к собственно тер модинамике).
8.3. Разрушение испытуемого тела в результате предельной его деформации в конечном счете можно свести в разрыву тех или иных связей — межатомных и межмолекулярных. Поэтому к трак товке процесса разрушения тела в принципе применимы те же зако номерности, что и к химическим процессам.
Общее уравнение кинетики формоизменения отсюда имеет вид
$ = /(е,)- |
(8-3) |
Выше рассматривался случай, когда /(е) = 0. Если же
y io = ^ = Ki0t Kj = const, |
(8.4) |
то это будет процесс формоизменения нулевого порядка. Для про цесса первого порядка справедливо
Опыт химической кинетики позволяет полагать, что процессы формоизменения могут быть и более высоких, а также дробных по рядков. Используя арсенал уравнений химической кинетики, можно описать практически все, в том числе и очень быстрые процессы формоизменения, в частности сопровождающиеся изменением внут ренней структуры.
9.Изменение модуля упругости
9.1.В приведенных выше уравнениях как механической, так и термодинамической теории прочности в процессе испытания напря жение Fi задается испытательной машиной, а деформация е, изме ряется тем или иным методом. Таким образом, в этих формулах испытуемое тело, его механические (термодинамические) свойства характеризуются значением модуля упругости. Термодинамический смысл модуля понятен из соответствующих термодинамических определений, указанных выше. При этом ранее в неявной форме
предполагалось, что = CQnst (g л
Однако, (9.1), как очевидно, справедливо лишь в некотором специ альном случае.
9.2. Вполне возможно, что формоизменение, и обусловленное им изменение внутренней структуры испытуемого тела, в частности изменение величины относительной деформации, не могут не ска заться на таком свойстве тела как модуль упругости. Также воз можно допустить, что значение модуля упругости может изменять ся во времени, например под постоянным действием механической
силы. Итак, в самом общем |
случае |
|
|
|||
|
Ei = Efci, |
О. |
|
(9.2) |
||
Если для формоизменения справедливо (8.1), то |
|
|||||
dEi |
dEi |
dEi |
d£i |
KEeVe |
(9.3) |
|
г‘ = -Л |
dt |
+ dEi |
dt |
|||
|
|
|||||
9.3. Изменение во времени модуля упругости тела в условиях отсутствия формоизменения (dzi/dt = 0) говорит о старении веще ства, образующего это тело. Тогда закон (9.3) неприменим. Этот процесс в самом общем случае определяется как
4HF-
^ = ±/№ ). |
(9.4) |
Введение знаков <<+ », « - » подчеркивает, что «старение» может сопровождаться как увеличением, так и уменьшением модуля упру гости. Если же «старения» нет, то, согласно (9.3),
|
VEi = КЕеV€/, |
(9.5) |
т. е. скорость изменения модуля упругости пропорциональна ско |
||
рости |
формоизменения. |
|
9.4. |
В качестве коэффициента пропорциональности в (9.3) и (9.5) |
|
выступает КЕе; в самом общем случае |
|
|
|
КЕе = /(£/). |
(9.6) |
Последнее уравнение важно для испытуемых тел сложной струк туры, например полимерных.
10.Соотношение механических сил
имодулей упругости
10.1. в целях поиска соотношения механических сил и модулей упругости вернемся к рассмотрению (7.1.) при dU\2 = 0. Учитывая (4.2), запишем это уравнение как
- F\dx = F2d(xy) = F2ydx + F2xdy. |
(10.1) |
Сделаем преобразование (10.1), учитывая определение коэффици ента Пуассона по (5.7) и (5.8). Тогда получим
F\ + F2y |
= |
F\ |
_ _ dy |
. dx |
= |
x |
(Ю.2) |
|
F2y |
" |
F2y |
у |
' x |
~ ^ |
’ |
||
|
или, после упрощения этого дифференциального уравнения,
F2 |
=- |
F\ |
(Ю.З) |
|
> d -/**) |
||||
|
|
’ |
где в (10.3) знак «минус» заменен на знак «плюс», ибо одна из дей ствующих, согласно (10.1), сил в данном частном случае испытания тела противоположна по действию другой силе.
10.2. Из (7.3), учитывая (4.3), получим
-F idx = Fid(xy2) = Fiy(2xdy + ydx) |
(10.4) |
или, учитывая (5.7) и (5.8), после преобразований, принимая во вни мание только что сказанное о знаках, приходим к
Fi |
Fi |
(Ю.5) |
|
- 2/*х х) |
|||
У2(1 |
|
||
10.3. Из (7.12), учитывая |
(4.5), получим |
|
|
- F 2d(xy) = F3d(xy2) |
(10.6) |
||
или, учитывая (5.7) и (5.8), после подобных преобразований получим
F2(l - /tx)
(Ю.7)
y(l - 2fix)
Последнее уравнение можно получить и сопоставляя (10.3) и (10.4), но в этом случае происхождение уравнения (10.7) прослеживается не столь четко.
10.4. В целях сравнения модулей упругости сопоставим соответ ствующие уравнения термодинамики прочности. Так, сопоставляя (10.3) с (6.5) и (7.6), получим
Ei
!-К1 ~ р х) '
(6.5) |
и |
(7.11), |
|
Ец = |
|
Ei |
|
1 -- 2 (Iх х) |
|||
Л |
|||
(6.7) |
и |
(7.15), |
|
£23 = Е2(1 ~ Р Х) |
|||
" УП - |
2цх х ) |
||
( 10.8)
(10.9)
( 10. 10)
10.5. Возвращаясь к анализу (10.6), заметим, что, сопоставляя (10.8) и (10.9), можно получить не (10.10), а другое по термодина мическому смыслу соотношение
Е 12(1 |
- I I х ) |
( 10.11) |
|
У( 1 - 2 |
,1х х ) |
||
|
Таким образом, имеется равенство отношений
Егъ _ |
Е п |
( 10. 12) |
|
Ег |
Ец |
||
|
Уравнение (10.12) выражает соотношение модулей упругости, полу ченных из зависимостей простой и сложной взаимосвязи формоиз
менения |
и механической |
силы. |
|
|
10.6. |
Соотношение модулей упругости может определяться и с |
|||
использованием коэффициента Пуассона. Так, сопоставляя (10.9) и |
||||
(10.10), получим |
|
|
|
|
|
Е\з _ |
Е\ |
1 |
(10.13) |
|
Е1 3 |
E i у( 1 |
- fix ) |
|
|
|
|||
Можно получить и некоторые другие соотношения модулей |
||||
упругости. |
|
|
|
|
10.7. |
Для дальнейшего анализа соотношений механических сил и |
|||
модулей упругости необходимо остановиться на размерностях при веденных выше сил и модулей. Эта необходимость обусловлена тем, что в отличие от механической теории прочности, где все силы и модули имеют одну размерность [ML- 1T -2], термодинамика прочности, базирующаяся на уравнении состояния (3.1), оперирует силами и модулями разных размерностей (относительные измене ния геометрических параметров е, и коэффициент Пуассона без размерны).
Имеют размерность [ML_ 1T “2] используемые в механической теории прочности силы, модули и гидростатическое давление, а также введенные термодинамикой прочности сила F3 и модули Ез, Еп, Е1 3 . Размерность сил и модулей одна, но их термодинамиче ский смысл различен.
Величины сил выражают количество внутренней упругой энер гии, образуемой в единице объема испытуемого тела в результате воздействия на него силы данной величины. Величина же модуля упругости характеризует свойство испытуемого тела — его способ ность воспринять определенное количество энергии на единицу объ ема при относительном формоизменении ез = 1.
Имеют размерность [МТ“2] введенные термодинамикой проч ности сила Fi и модули E i, Еп, выражающие величину внутренней энергии на единицу площади (рис. 3) и способность единицы дву мерного тела воспринять определенное количество энергии при е2 = 1.
Размерность [MLT “ 2] имеют сила F\ и модуль E i, имеющие по добный термодинамический смысл, но применительно к одномер ному испытуемому телу.
Конкретизация формы испытуемого тела предопределяет введе ние в (10.3), (10.5), (10.7)—(10.10) конкретного геометрического па раметра у. В этих уравнениях можно условно считать приведенными к единице длины у или площади у 1 силы и модули
I I |
; F I з = |
У |
|
Е°п = Ei |
; E ?3 = |
У |
|
Fi
У2 ; Fh
Ei |
a° |
|
У2 |
||
|
= A
У
(10.14)
и A
У
10.8.Используя обозначения (10.14), можно упростить запись соответствующих уравнений, исключив из них геометрический ^-па раметр. Однако во всех случаях нижние двойные индексы указыва ют на то, что параметры отражают сложную взаимосвязь формоизменения и механической силы в отличие от тех случаев, когда единичными индексами отражается их простая взаимосвязь.
10.9.Приведение модулей упругости из сложных взаимосвязей к таковым из простых взаимосвязей позволяет получить уравнения, определяющие соотношения их величин. Но прежде чем приступить
квыводу этих уравнений, примем следующее условное допущение, необходимое лишь для получения общеизвестного результата: бу дем, во-первых, считать, что прикладываемая к испытуемому одно-, дву-, или трехмерному телу механическая сила всегда передает этому телу одно и то же количество внутренней энергии. Во-вто рых, примем, что механические силы к телу прикладываются сим метрично, полагая к тому же, что силы в дву- и трехмерном пространстве в направлениях х 9 у, а также в направлениях х, у, z равны между собой. Для этого частного случая, соответствующего данному соглашению, сопоставление механических сил будет* сле
дующим:
F i= ^ F i\ Fi = \ F * = \р г - |
(10.15) |
Используя сопоставление сил по (10.15), возьмем отношение уравнений (6.7) и (6.5), которое с учетом (5.8), запишем как
1 = А = AAA±A^L = Ап х) (1016)
2 |
F\ |
Ei |
xyd x |
Ei v |
* |
или, преобразуя, получим уравнение |
|
Ei |
(10.17) |
Ег |
|
2(1 - м х) |
’ |
аналогичное известному до знака при д; именно для получения ана логичной формы записи и было сделано допущение (10.15), его суть и ограниченность теперь хорошо понятны. Принятый в механиче ской теории прочности в общем-то эмпирический принцип сопо ставления модулей упругости базируется, как утверждает термодинамика прочности, на положении о постоянстве внутренней энергии в сопоставляемых случаях.
Взяв отношение (6.8) и (6.5) и преобразуя с учетом (5.8), получим
Ei |
(10.18) |
Е3 |
|
3(1 - 2/хх х) |
’ |
также аналогичное известному.
Взяв отношение (6.8) и (6.7) и преобразуя с учетом (5.8), получим
2Ег(\ - / i x)
(10.19)
3(1 - 2 fix x )
Подобным образом можно получить и другие соотношения мо дулей упругости. Приведем одно из них, полученное с учетом (5.22), в форме инварианта умножением (10.17), (10.18) с последую щим преобразованием:
Е2Е3 |
_ ______ 1______ |
|
Е\ |
~ |
(10.20) |
6(1 - 3*1 + 2ц2) |
||
Для хрупких тел, для которых можно принять в первом приближе
нии /х = 1/3, из (10.20) |
получается |
условно инвариантное соот |
||
ношение |
|
|
|
|
Е2Ез 3 |
f i Е2Е3 |
\_ |
(10.21) |
|
— =— = - |
или —— =— |
12 |
||
Е\ |
4 |
е \ |
|
|
Последние соотношения приведены в связи с иногда используемой дл сих пор постоянной Ламэ.
Инварианты (10.20), (10.21) — собственно говоря инвариантны ми (локальными) соотношениями можно считать и (10.17), (10.18),