книги / Оболочки и пластины

ния. Здесь i показывает число полуволн в меридиональном направле­ нии (/— длина оболочки), k дает число полуволн в окружном направ­ лении. Решение в форме (4,12,6) соответствует тому случаю, когда на

Частоты собственных колебаний незагруженной оболочки опреде­ ляются из уравнения

|£ — р2£ | = 0,

а критические параметры продольной сжимающей и радиальной нагру­ зок — из уравнений

= 0 и \R — qRS2\ = 0.

где

ному уравнению.

В заключение отметим, что эти результаты легко обобщаются на случай ортотропной цилиндрической оболочки. В самом деле, пусть Е1, Е2 и V I , V2 — модули упругости и коэффициенты Пуассона в направ­ лениях p= const и a = const соответственно; G — модуль сдвига. Введем следующие дифференциальные операторы:

коэффициенты которого для случая опертой оболочки определяются без труда [24].

Отбрасывая в согласии с принятым приближением тангенциальные со­ ставляющие сил инерции, найдем, что силы, действующие на оболочку, сводятся к радиальной нагрузке

Первое слагаемое дает равномерное сжатие оболочки и может быть отброшено, если под w (г|э, р, t) понимать отклонение от невозмущенного безмоментного Состояния. Тогда уравнение (4,13,2) принимает вид

удовлетворяющие граничным условиям для до (т. е. условиям непрерыв­ ности и однозначности на сфере). Подстановка в (4,13,8) дает после

и, внеся их в (4,13,11), получим

Формулы (4,13,12) дают собственные частоты и критические силы, за­ висящие от неизвестного еще параметра К. Впрочем, один практически важный вопрос может быть решен до конца и без определения К. Гра-

ницы главных областей неустойчивости могут быть найдены по извест­ ным приближенным формулам. В частности, низшая граница

Для практических приложений интересно знать огибающую ниж­ них границ областей неустойчивости. Предположим, что параметр X мо­ жет принимать любые вещественные положительные значения, т. е. до­ пустим, что уравнение (4,13,10) имеет сплошной спектр собственных значений. Для ограниченной области, какой является сфера, спектр соб­ ственных значений дискретный. Но в окрестности интересующих нас значений А, спектр уравнения (4,13,10) все же достаточно «густ», чтобы погрешность, следующая из сделанного допущения, была невелика.

В дальнейшем обозначим

Конечно, следует учитывать, что q** представляет собой приближенное (в смысле сделанных допущений) значение минимального критического давления. Действительно, учтя, что

с2 = — —Л*——

12/?2 (1 — v2) ’

получим хорошо известную формулу

Наконец, займемся определением параметра К в общем случае. Уравнение (4,13,10) на сфере

приводит, как известно, к сферическим функциям. Решение уравнения (4,13,23) находим в виде

cos ftp.

Условие однозначности Р(ф, р) на сфере требует, чтобы ft было целым числом или нулем (ft = 0, 1,2...). Подстановка в (4,13,23) дает

Полагая х = созф, приводим уравнение (4,13,25) к виду

г[<1-ч-£Кх-гг5)я“0- <4’13’26)

Это известное уравнение для присоединенных полиномов Лежандра. Уравнение (4,13,26) имеет собственные значения

»

»»

k = п F-n(ф, Р) = Я л) (cos ф) sin /гР,

Fn(ф, P) = Р%] (cosy) cosnp.

Известно, что полиномы Лежандра Рп(х) имеют в интервале измене­ ния ф(0, я) ровно п нулей. Присоединенные функции P {nk) (х) имеют со­

стоянный знак. Это значит, что число Я определяет вид формулы коле­ баний и, в частности, размеры «полуволн» в меридиональном и широт­ ном направлениях. Чем меньше размеры полуволн, тем больше пара­ метр Я. В этом случае разница между двумя соседними собственными значениями становится малой по сравнению с их величиной, чем оправ­ дывается допущение о непрерывности йзменения Я.

§ 14. ФЛАТТЕР ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Ранее были исследованы автоколебания параметрического харак­ тера. Автоколебания пластин и оболочек другого типа возникают при взаимодействии их с потоками жидкостей и газов.

Здесь рассматривается весьма интересное и существенное для тех­ ники больших скоростей явление, называемое панельным флаттером и состоящее в том, что обшивка или другие тонкостенные элементы кон­ струкции типа пластин и оболочек, обтекаемые сверхзвуковым потоком жидкости или газа, при определенных критических скоростях приходят в колебательное движение с интенсивно нарастающими амплитудами, которое может привести конструкцию к разрушению.

Теоретическое исследование панельного флаттера в корректной, в физико-математическом смысле, постановке стало возможным после того, как в 1947 г. был установлен закон плоских сечений в аэродина­ мике больших сверхзвуковых скоростей [25].

Анализируя движения тонких твердых тел с большими сверхзвуко­ выми скоростями в различных средах, А. А. Ильюшин обнаружил сле­ дующее общее свойство, названное им законом плоских сечений: «Если вектор скорости какой-нибудь точки тела правильной аэродинамической формы есть V и если поперечные скорости других его точек порядка не более &V, то при установившемся и неустановившемся движениях тело вызывает в окружающей среде только поперечные возмущения, причем давление в любой точке поверхности тела, рассчитанное согласно

параметр Ильюшина, выражающийся через скорость движения тела V, наклон нормали к площадке е и скорость звука в невозмущенной сре­ де и0, т. е. скорость звука в газе на бесконечности; этот параметр имеет фундаментальное значение, поскольку в линеаризированной и нели-