книги / Оболочки и пластины

Обозначим корни уравнения (4,9,15) при l= d3—2s°d4 через w?,

а при l= d3+2s°di — через (ш /)2 (t= 1,2,3).

Отметим, что в разложении (4,9,3). для фиксированных т, п, ытп принимает шесть значений. Поскольку коэффициенты разложения тан­

Этой частоте, согласно вышесказанному, соответствует форма волно­ образования (4,9,14).

(4,9,19)

9L + «2 + (3 + 2v)X^4-e,^— - 0f,

1 — V

При s°=0 получаем значение частоты без учета статической на­ грузки, обозначим ее ©о. Выражение это полностью согласуется с фор­ мулой, приведенной в работе [20].

При этом min/(OTn = 2sfe и, следовательно, получаем, что

*тп<1.

Рассмотрим случай, когда п= 1, т. е. когда имеют место колеба­ ния, соответствующие боковому выпучиванию оболочки, — поперечное сечение остается круглым и смещается только в своей плоскости. Учи­

тывая, что для длинных оболочек Ят<1 ( э т о неравенство всегда вы­ полняется, если т —не очень большое число), получаем

^ = ^ Г * Ж - 2 5 ° ) .

2yR2

Отсюда получаем, что mincoi будет при т = 2, т> е. когда при вы­ пучивании цилиндра образуется одна полная волна в осевом направ­ лении, при этом

(О? Eg X23(\2-2s<>).

2yR 2

выражение, совпадающее с формулой Тимошенко—Гринхилла [21]. Кроме того, нетрудно видеть, что учет тангенциальных сил инерции соответствует коэффициенту 2 в знаменателе.

Рассмотрим теперь случай, когда *м^2. При этом рассматриваются колебания без смещения сечений из своей плоскости, но когда они при­ нимают звездообразную форму при косом волнообразовании. Учиты­ вая далее, что для длинных оболочек

Нетрудно видеть, что учет тангенциальных сил инерции необходим здесь в отличие от оболочек средней длины, где ими можно пренебречь.

Обратимся к выражению (4,9,20) или (4,9,22) и рассмотрим, как зависят частоты от крутящей, нагрузки в зависимости от формы волно­ образования и при каких п влияние крутящих моментов наибольшее.

Выражение (4.9,21) при учете (4,9,23) имеет вид

При этом значении Xm=Xm правая часть (4,9,24) достигает минимума для фиксированных п. Кроме того, легко заметить, что полученное зна­

чение Кщ соответствует сделанному предположению (4,9,23). Подставляя (4,9,25) в (4,9,24), получаем

Подставляя эти значения в первые уравнения (4,9,32) и (4,9,33), по­ лучаем

smn

где pmn = — — Отсюда нетрудно видеть, что Атп, Втп, Стп, Dmn-+oо

атп

при amn-+Smn. Это условие, аналогично предыдущему, имеет вид куби­ ческого уравнения (4,9,5), где вместо со2 стоит k2, т. е. явление резонанса наступает, когда частота вынужденных колебаний k совпадает с одной

из собственных частот оболочки со* или со*, загруженной крутящими моментами.

Таким образом, получаем, что частное решение данного неодно­ родного уравнения имеет вид (4,9,31), где коэффициенты Лтп, Втпу Стп, Dmn определяются равенствами (4,9,34), (4,9,35). В частности, При Lmn= Nтп= О

атп d™

w = sin

Здесь рассматривалось действие установившейся возмущающей на­ грузки без учета свободных колебаний (считаются затухшими). При совместном действии свободных и вынужденных колебаний необходимо сложить соответствующие решения.

т. е. распределение ее по поверхности пластины остается неизменным, а величина в каждой точке меняется по закону простого гармонического колебания с частотой р. Полагая, что в начальный момент пластина находится в покое, получаем [22]:

сопротивления внешней среды и внутреннего трения.. Эти факторы оказывают сущест­ венное 'влияние на весь процесс колебаний; благодаря им колебания получаются с or-* ра ниченной амплитудой.

§ И. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Параметрические колебания возникают в упругой системе вслед­ ствие периодического изменения тех ее свойств, которые остаются не­ изменными при свободных колебаниях. Среди колебаний, возникающих при внешнем периодическом воздействии, различают вынужденные и параметрические колебания. Вынужденные колебания обусловлены дей­ ствием заданных внешних сил на упругую систему, свойства которой неизменны, т. е. величины (параметры), характеризующие эти свойства, постоянны. Параметрические колебания, напротив, возникают вслед­ ствие периодического изменения некоторых параметров самой упругой системы.

Явление нарастания во времени интенсивности параметрических колебаний упругой системы называется параметрическим резонансом. Параметрический резонанс возникает при определенном соотношении между частотой изменения параметра при внешнем воздействии на тело и частотами его собственных колебаний: он может наступить каждый раз, когда отношение

^ _ средняя собственная частота

частота изменения параметра

близко к одному из следующих значений: V2, 1, 2, 3... Условие возник­ новения параметрического резонанса выполняется, тем легче, чем силь­ нее изменение параметра, чем меньше потери энергии в упругой системе (трение или сопротивление) и чем меньше значение £. Поэтому чаще всего его наблюдают при £=1/2- Существенной особенностью парамет­ рического резонанса является то, что он может возникнуть при наличии хотя бы ничтожного начального отклонения упругой системы от состоя­ ния равновесия. Практически такие отклонения всегда возможны.