книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов

331

§ 7.1. Функция Грина оператора Гельмгольца

Рассмотрим неограниченную однородную среду, волновой процесс в которой описывается уравнением

где Сф и рохарактеристики среды, U(x,t) - волновое поле

(например, давление при акустических колебаниях).

Если волновой процесс в среде является стационарным, то зависимость функции U(x,t) от времени представляется в форме

где О) - частота колебаний. При этом уравнение (7.1.1) прини­ мает вид

(Lu){x,6)) = 0 , L = -S7aClfiVfi- p oco2 . (7.1.3)

В случае статики (со = 0) уравнение (7.1.3) рассматривалось в §2.5.

Функция Грина g(x,co) оператора L определяется равен­

Найдем выражение для этой функции в случае среды с произвольной анизотропией. Действуя оператором преобразо­ вания Фурье на обе стороны уравнения (7.1.4), получим

Здесь и далее преобразование Фурье функции f (х) обоз­ начается той же буквой с заменой аргумента X на параметр преобразования Фурье к .

Из (7.1.5) следует

332

Для перехода к функции Грина g(X) в JC-представлении

воспользуемся обратным преобразованием Фурье от выраже­ ния (7.1.6)

„ - ik x

-dk. (7.1.7)

(2л-) J С^какр - р ао)‘

Введем в этом интеграле замену переменных

где (С°ар)'/г - квадратный корень из положительно определен­ ного тензора С^, характеризующего свойства среды. При

этом выражение для g(x) преобразуется в следующее:

ik‘X

Вычислив инте1рал в правой части этой формулы,

(7.1.10)

получим

det(c°) 2

Разложив экспоненту в этом выражении в рад Тэйлора, можно представить функцию g(x) в форме

334

Здесь и°(х) -"падающее" внешнее поле - решение уравне­

ния ( Пи°)(х,со) = 0.

Отсюда и из (7.2.1) следует уравнение для поля м '(х) - возмущения, связанного с наличием неоднородности -

Действуя на обе части (7.2.5) оператором, обратным опе­ ратору П , приходим к уравнению относительно поля и(х)=

=и°(х) + и1(х)

и{х) = и°(х) + J [v a£(x - x')c^ep{x ')-p x(o2g{x -

(7.2.6)

Здесь еа(х) = У аи(х)-градиент поля и(Х), уравнение для

которого является следствием уравнения (7.2.6)

ea{x) = ^ ) - \ \ ^ aJ < ,^ ')C ^ e^ x')-p ^ 2Vag { x - x ,)u{x,)\^x,,

V

К ^ (х ) = - V aV ^ x ) , еа{х) = V y ( x ) . (7.2.7)

Ядра интегральных операторов в этих уравнениях выра­ жаются через функцию Грина g(X) оператора П , явное вы­ ражение для которой получено выше. Сами уравнения (7.2.6) и (7.2.7) являются по существу уравнениями относительно по­

лей и(Х) и еа(Х) внутри области V, по которым поле вне V

восстанавливается однозначно. При приближенном решении

этих уравнений поле £а(Х) удобно рассматривать как незави­

симую функцию. В результате приходим к системе двух интег­ ральных уравнений, которую запишем в следующей символи­ ческой форме:

В дальнейшем будем считать, что длина волны падающего поля Л существенно больше максимального геометрического

335

размера неоднородности. Заметим, что ядра интегральных операторов в уравнениях (7.2.8) и (7.2.9) сосредоточены в об­ ласти, занятой включением. Перепишем "динамическую"

часть функции Грина g^iX) в форме, которая следует из (7.1.10):

> * М = ( а ( о » Г »«/*/») \

(7.2.10)

где V(п) имеет смысл скорости распространения волны в ма­ трице. Поскольку в случае длинных волн

где а - максимальный размер включения, то в разложении (7.2.10) можно ограничиться лишь первыми членами в вещес­ твенной и мнимой частях функции Грина

g(x) = g s{x)+iagx-<y2|x|g2(w )-/fijV ^ 3(w), (7.2.12)

где величина gx- постоянная. Таким образом, в написанном выражении и далее со можно считать формально малым пара­ метром и строить решение уравнений (7.2.8) и (7.2.9) в виде разложения по этому параметру.

Итак, в соответствии с (7.2.12) и будем искать решение системы (7.2.8) и (7.2.9) в форме аналогичного разложения

и(х) = г/о)(х) +icou^\x) + со2г^2\ х ) +z<y3i/3)(x ), (7.2.13)

s(x) = £°\x) +i(o£x\x) + a?£2\x)+i(D*^\x).

Подставив эти выражения в (7.2.8) и (7.2.9) и приравняв

члены при одинаковых степенях со, получим, что г/(1)=£(1)= 0, а остальные коэффициенты при степенях со в (7.2.13) удовле­ творяют следующей системе уравнений: