3.3.Уравнение Шредингера

В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение. Это основное уравнение квантовой механики, основное предположение, на котором основана вся квантовая механика. Все вытекающие из этого уравнения следствия согласуются с опытом – в этом его подтверждение.

Вероятностное (статистическое) истолкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей указывают, что уравнение движения в квантовой механике должно быть таким, чтобы оно позволило объяснить наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции (x, y, z, t), а точнее квадратом модуля этой величины. – это вероятность нахождения частицы в точкеx, y, z в момент времени t. Основное уравнение квантовой механики должно быть уравнением относительно функции (x,y,z,t). Далее, это уравнение должно быть волновым, из него должны получить свое объяснение эксперименты по дифракции микрочастиц, подтверждающие их волновую природу.

Уравнение Шредингера имеет следующий вид:

. (3.3)

где m – масса частицы, i – мнимая единица, – оператор Лапласа, ,U – оператор потенциальной энергии частицы.

Вид Ψ-функции определяется функцией U, т.е. характером сил, действующих на частицу. Если силовое поле стационарно, то решение уравнения имеет вид:

, (3.4)

где Е – полная энергия частицы, она остается постоянной при каждого состояния, Е= const.

Уравнение (3.4) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Его еще можно записать в виде:

.

Это уравнение применимо к нерелятивистским системам при условии, что распределение вероятностей не меняется во времени, т.е. когда функции ψ имеют вид стоячих волн.

Уравнение Шредингера можно получить следующим образом.

Рассмотрим одномерный случай – свободно движущуюся частицу по оси х. Ей соответствует плоская волна де Бройля:

,

но , поэтому . Продифференцируем это выражение поt:

.

Найдем теперь вторую производную от пси-функции по координате

,

тогда

В нерелятивистской классической механике энергия и импульс связаны соотношением: где Е – кинетическая энергия. Частица движется свободно, ее потенциальная энергия U = 0, и полная Е=Е_k. Поэтому

,

или

– это уравнение Шредингера для свободной частицы.

Если частица движется в силовом поле, то Е – вся энергия (и кинетическая, и потенциальная), поэтому:

,

тогда получим , или,

и окончательно

- это уравнение Шредингера.

Приведенные рассуждения – не вывод уравнения Шредингера, а пример того, как это уравнение можно установить. Само же уравнение Шредингера постулируется.

В выражении

левая часть обозначает оператор Гамильтона– гамильтониан – это сумма операторовиU. Гамильтониан – это оператор энергии. Подробно об операторах физических величин будем говорить в дальнейшем. (Оператор выражает некоторое действие под функцией ψ, которая стоит под знаком оператора). С учетом сказанного имеем:

.

Физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат ее модуля, определяющий плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства. Квантовая механика имеет статистический смысл. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. Пси-функция лишь дает вероятность, с какой частица может быть обнаружена в данной точке пространства. В связи с этим пси-функция должна удовлетворять следующим условиям:

- она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, т.к. определяет состояние частицы;

- она должна иметь непрерывную и конечную производную;

- функция IψI² должна быть интегрируема, т.е. интеграл

должен быть конечным, так как он определяет вероятность обнаружения частицы.

Интеграл

,

- это условие нормировки. Оно означает, что вероятность того, что частица находится в какой-нибудь из точек пространства, равна единице.

лекция 6