- •1.Тепловое излучение
- •1.1.Закон Кирхгофа
- •1.2.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела
- •1.2.Фотоэффект
- •1.3. Масса и импульс фотона
- •1.4. Эффект Комптона
- •Теперь воспользуемся равенством . Вычтем (1.17) из (1.18). В результате после сокращений получим:
- •Или Отсюда
- •1.5.Тормозное рентгеновское излучение
- •1.6. Корпускулярно-волновой дуализм света
- •2.Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества
- •2.1. Гипотеза де Бройля
- •2.2Свойства волн де Бройля
- •3. Элементы квантовой механики
- •3.1.Волновая функция
- •3.2. Принцип неопределенности
- •3.3.Уравнение Шредингера
- •4. Атом Резерфорда - Бора
- •4.1.Ядерная модель атома
- •4.2.Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца
- •4.3.Боровская модель атома водорода
- •Согласно 2-му закону Ньютона (4.13)
- •Тогда постоянная Ридберга
- •6. Операторы физических частиц
- •6.1 Линейные операторы. Собственные функции и
- •6.3. Законы сохранения физических величин в
- •6.4.Четность, закон сохранения четности
- •5. Стационарные задачи квантовой механики
- •5.1.Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
- •5.2.Движение частицы в потенциальном ящике конечной глубины
- •5.3.Прохождение частицы через потенциальный барьер
- •Лекция 9-10
- •8.2. Ширина спектральных линий
- •Средняя энергия подачи:
- •8.4.Полный механический момент многоэлектронного атома
- •8.5.Магнитный момент атома
- •8.6.Векторная модель атома
- •9. Механика системы микрочастиц
- •9.1.Волновая функция системы микрочастиц
- •Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:
- •9.2. Тождественность частиц одного и того же вида и принцип Паули
- •Лекция 14
- •9.4.Многоэлектронные атомы
- •9.5.Эффекты Зеемана и Штарка
- •9.5.Рентгеновские спектры
- •10. Двухатомная молекула
- •10.1. Ионная и ковалентная связь. Молекула водорода. Обменный интеграл
- •10.1.Молекулярные спектры
- •Лекция 16
- •11.Генераторы когерентного света
- •На рис. 11.1 представлена диаграмма энергетических уровней, причем длина горизонтальной черты определяет населенность того или иного энергетического уровня.
- •11.2. Принцип действия лазеров
- •11.3.Схемы накачки
- •11.4.Классификация лазеров
1.6. Корпускулярно-волновой дуализм света
Эффект Комптона и фотоэффект подтверждает корпускулярную природу света. Свет ведет себя как поток частиц – фотонов. Тогда как же частица может обнаруживать свойства, присущие классическим волнам? Ведь частица может пройти либо через одну, либо через другую щель. Однако известна интерференция света от двух щелей (опыт Юнга). Таким образом, мы пришли к парадоксу – свет обладает одновременно и свойствами корпускул, и свойствами волн. Поэтому говорят, что свету свойственен корпускулярно-волновой дуализм.
Противопоставление квантовых и волновых свойств света друг другу является ошибочным. Свойства непрерывности электромагнитного поля световой волны не исключают свойств дискретности, характерных для световых квантов – фотонов. Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих свойств. С уменьшением длины волны все более отчетливо проявляются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование красной границы фотоэффекта). Волновые же свойства у коротковолнового излучения проявляются весьма слабо (например, дифракция у рентгеновских лучей). У длинноволнового же излучения квантовые свойства проявляются слабо и основную роль играют волновые свойства.
Взаимосвязь корпускулярно-волновых свойств света объясняется статистическим подходом к исследованию распространения света. Свет – это поток дискретных частиц – фотонов, в которых локализованы энергия, импульс и масса излучения. Взаимодействие фотонов с веществом при переходе через какую-нибудь оптическую систему приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины. При этом квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.
Таким образом, корпускулярные свойства света связаны с тем, что энергия, масса и импульс излучения локализованы в дискретных фотонах, а волновые – со статистическими закономерностями распределения фотонов в пространстве.
Лекция 4
2.Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества
2.1. Гипотеза де Бройля
В 1924 г. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, согласно которой движение электрона, или какой-либо другой частицы, связано с волновым процессом. Длина волны этого процесса:
а частота ω = Е/ħ, т.е. корпускулярно-волновой дуализм присущ всем без исключения частицам.
Если частица имеет кинетическую энергию Е, то ей соответствует длина волны де Бройля:
Для электрона, ускоряемого разностью потенциалов , кинетическая энергия ,и длина волны
Å. (2.1)
Опыты Дэвиссона и Джермера (1927). Идея их опытов заключалась в следующем. Если пучок электронов обладает волновыми свойствами, то можно ожидать, даже не зная механизма отражения этих волн, что их отражение от кристалла будет иметь такой же интерференционный характер, как у рентгеновских лучей.
Водной серии опытов Дэвиссона и Джермера для обнаружения дифракционных максимумов (если таковые есть) измерялись ускоряющее напряжение электронов и одновременно положение детектораD (счетчика отраженных электронов). В опыте использовался монокристалл никеля (кубической системы), сошлифованный так, как показано на рис.2.1.
Если его повернуть вокруг вертикальной оси в положение, соответствующее рисунку, то в этом положении сошлифованная поверхность покрыта правильными рядами атомов, перпендикулярными к плоскости падения (плоскости рисунка), расстояние между которыми d=0,215 нм.
Детектор перемещали в плоскости падения, меняя уголθ. При угле θ = 50° и ускоряющем напряжении U=54В наблюдался особенно отчётливый максимум отраженных электронов, полярная диаграмма которого показана на рис.2.2.
Этот максимум можно истолковать как интерференционный максимум первого порядка от плоской дифракционной решетки с периодом
, (2.2)
что видно из рис.2.3. На этом рисунке каждая жирная точка представляет собой проекцию цепочки атомов, расположенных на прямой, перпендикулярной плоскости рисунка. Период d может быть измерен независимо, например, по дифракции рентгеновских лучей.
Вычисленная по формуле (2.1) дебройлевская длина волны дляU= 54В равна 0,167 нм. Соответствующая же длина волны, найденная из формулы (2.2), равна 0,165 нм. Совпадение настолько хорошее, что полученный результат следует признать убедительным подтверждением гипотезы де Бройля.
Другая серия опытов Дэвиссона и Джермера состояла в измерении интенсивности I отраженного электронного пучка при заданном угле падения, но при различных значениях ускоряющего напряжения U.
Теоретически должны появиться при этом интерференционные максимумы отражения подобно отражению рентгеновских лучей от кристалла. От различных кристаллических плоскостей кристалла в результате дифракции падающего излучения на атомах исходят волны, как бы испытавшие зеркальное отражение от этих плоскостей. Данные волны при интерференции усиливают друг друга, если выполняется условие Брэгга-Вульфа:
, m=1,2,3,…, (2.3)
где d — межплоскостное расстояние, α — угол скольжения.
Напомним вывод этой формулы. Из рис. 2.4 видно, что разность хода двух волн, 1 и 2, отразившихся зеркально от соседних атомных слоев, АВС =. Следовательно, направления, в которых возникают интерференционные максимумы, определяются условием (2.3).
Теперь подставим в формулу (2.3) выражение (2.1) для дебройлевской длины волны. Поскольку значения α и d экспериментаторы оставляли неизменными, то из формулы (2.3) следует, что
~т, (2.4)
т.е. значения , при которых образуются максимумы отражения, должны быть пропорциональны целым числам т = 1, 2, 3, ..., другими словами, находиться на одинаковых расстояниях друг от друга.
Это и было проверено на опыте, результаты которого представлены на рис.2. 5, гдеU представлено в вольтах. Видно, что максимумы интенсивности I почти равноудалены друг от друга (такая же картина возникает и при дифракции рентгеновских лучей от кристаллов).
Полученные Дэвиссоном и Джермером результаты весьма убедительно подтверждают гипотезу де Бройля. В теоретическом отношении, как мы видели, анализ дифракции дебройлевских волн полностью совпадает с дифракцией рентгеновского излучения.
Итак, характер зависимости (2.4) экспериментально подтвердился, однако наблюдалось некоторое расхождение с предсказаниями теории. А именно, между положениями экспериментальных и теоретических максимумов (последние показаны стрелками на рис. 2.5) наблюдается систематическое расхождение, которое уменьшается с увеличением ускоряющего напряжения U. Это расхождение, как выяснилось в дальнейшем, обусловлено тем, что при выводе формулы Брэгга-Вульфа не было учтено преломление дебройлевских волн.
О преломлении дебройлевских волн. Показатель преломления п дебройлевских волн, как и электромагнитных, определяется формулой
, (2.5)
где и — фазовые скорости этих волн в вакууме и среде (кристалле).
Фазовая скорость дебройлевcкой волны — принципиально ненаблюдаемая величина. Поэтому формулу (2.5) следует преобразовать так, чтобы показатель преломления п можно было выразить через отношение измеряемых величин. Это можно сделать следующим образом. По определению, фазовая скорость
, (2.6)
где k — волновое число. Считая аналогично фотонам, что частота и дебройлевских волн тоже не меняется при переходе границы раздела сред (если такое предположение несправедливо, то опыт неизбежно укажет на это), представим (2.5) с учетом (2.6) в виде
(2.7)
Попадая из вакуума в кристалл (металл), электроны оказываются в потенциальной яме. Здесь их кинетическая энергия возрастает на «глубину» потенциальной ямы (рис. 2.6). Из формулы (2.1), где , следует, что λ~ Поэтому выражение (2.7) можно переписать так:
(2.8)
где U0 — внутренний потенциал кристалла. Видно, что чем больше U (относительно ), тем п ближе к единице. Таким образом, п проявляет себя особенно при малых U, и формула Брэгга-Вульфа принимает вид
(2.9)
Убедимся, что формула Брэгга-Вульфа (2.9) с учетом преломления действительно объясняет положения максимумов интенсивности на рис. 2.5. Заменив в (2.9)п и λ согласно формулам (2.8) и (2.1) их выражениями через ускоряющую разность потенциалов U, т.е.
(2.10)
получим:
(2.11)
Теперь учтем, что распределение на рис.2.5 получено для никеля при значенияхU0=15 B, d=0,203 нм и α=80°. Тогда (2.11) после несложных преобразований можно переписать так:
(2.12)
Вычислим по этой формуле значение , например, для максимума третьего порядка (m = 3), для которого расхождение с формулой Брэгга-Вульфа (2.3) оказалось наибольшим:
Совпадение с действительным положением максимума 3-го порядка не требует комментариев.
Итак, опыты Дэвиссона и Джермера следует признать блестящим подтверждением гипотезы де Бройля.
Опыты Томсона и Тартаковского. В этих опытах пучок электронов пропускался через поликристаллическую фольгу (по методу Дебая при изучении дифракции рентгеновского излучения). Как и в случае рентгеновского излучения, на фотопластинке, расположенной за фольгой, наблюдалась система дифракционных колец. Сходство обеих картин поразительно. Подозрение, что система этих колец порождается не электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возникающим в результате падения электронов на фольгу, легко рассеивается, если на пути рассеянных электронов создать магнитное поле (поднести постоянный магнит). Оно не влияет на рентгеновское излучение. Такого рода проверка показала, что интерференционная картина сразу же искажалась. Это однозначно свидетельствует, что мы имеем дело именно с электронами.
Г. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами (десятки кэВ), II.С. Тарковский — со сравнительно медленными электронами (до 1,7 кэВ).
Опыты с нейтронами и молекулами. Для успешного наблюдения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны этих волн была сравнима с расстояниями между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользоваться частицами с достаточно малыми скоростями. Соответствующие опыты по дифракции нейтронов и молекул при отражении от кристаллов были проделаны и также полностью подтвердили гипотезу де-Бройля в применении и к тяжелым частицам.
Благодаря этому было экспериментально доказано, что волновые свойства являются универсальным свойством всех частиц. Они не обусловлены какими-то особенностями внутреннего строения той или иной частицы, а отражают их общий закон движения.
Опыты с одиночными электронами. Описанные выше опыты выполнялись с использованием пучков частиц. Поэтому возникает естественный вопрос: наблюдаемые волновые свойства выражают свойства пучка частиц или отдельных частиц?
Чтобы ответить на этот вопрос, В. Фабрикант, Л. Биберман и Н. Сушкин осуществили в 1949 г. опыты, в которых применялись столь слабые пучки электронов, что каждый электрон проходил через кристалл заведомо поодиночке и каждый рассеянный электрон регистрировался фотопластинкой. При этом оказалось, что отдельные электроны попадали в различные точки фотопластинки совершенно беспорядочным на первый взгляд образом (рис.2.7,а). Между тем при достаточно длительной экспозиции на фотопластинке возникала дифракционная картина (рис.2.7, б), абсолютно идентичная картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было доказано, что волновыми свойствами обладают и отдельные частицы.
Таким образом, мы имеем дело с микрообъектами, которые обладают одновременно как корпускулярными, так и волновыми свойствами. Это позволяет нам в дальнейшем говорить об электронах, но выводы, к которым мы придем, имеют совершенно общий смысл и в равной степени применимы к любым частицам.
Из формулы де Бройля следовало, что волновые свойства должны быть присущи любой частице вещества, имеющей массу и скорость . В 1929г. опыты Штерна доказали, что формула де Бройля справедлива и для пучков атомов и молекул. Он получил следующее выражение для длины волны:
Ǻ,
где μ – молярная масса вещества, NА – число Авогадро, R – универсальная газовая постоянная, Т – температура.
При отражении пучков атомов и молекул от поверхностей твердых тел должны наблюдаться дифракционные явления, которые описываются теми же соотношениями, что и плоская (двумерная) дифракционная решетка. Опыты показали, что кроме частиц, рассеянных под углом, равным углу падения, наблюдаются максимумы числа отраженных частиц под другими углами, определяемыми формулами двумерной дифракционной решетки.
Формулы де Бройля оказались справедливыми также для нейтронов. Это подтвердили опыты по дифракции нейтронов на приемниках.
Таким образом, наличие волновых свойств у движущихся частиц, обладающих массой покоя, есть универсальное явление, не связанное с какой-либо спецификой движущейся частицы.
Отсутствие волновых свойств у макроскопических тел объясняется следующим образом. Подобно той роли, которую играет скорость света при решении вопроса о применимости ньютоновской (нерелятивистской) механики, существует критерий, показывающий в каких случаях можно ограничиться классическими представлениями. Этот критерий связан с постоянной Планка ħ. Физическая размерность ħ равна (энергия)x(время), или (импульс)x(длина), или (момент импульса). Величину с такой размерностью называют действием. Постоянная Планка является квантом действия.
Если в данной физической системе значение некоторой характерной величины Н с размерностью действия сравнимо с ħ, то поведение этой системы может быть описано только в рамках квантовой теории. Если же значение Н очень велико по сравнению с ħ, то поведение системы с высокой точностью описывают законы классической физики.
Отметим, однако, что данный критерий имеет приближенный характер. Он указывает лишь, когда следует проявлять осторожность. Малость действия Н не всегда свидетельствует о полной неприменимости классического подхода. Во многих случаях она может дать некоторое качественное представление о поведении системы, которое можно уточнить с помощью квантового подхода.