5.2.Движение частицы в потенциальном ящике конечной глубины

Рассмотрим поведение частицы в потенциальном ящике конечной глубины. Потенциальная энергия частицы в ящике при, вне ящика ()(рис.5.6).

Примером такой ситуации является движение коллективизированных электронов внутри металла (согласно классической электронной теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, а внутри металла она отрицательна и равна ).

Применим к частице в таком потенциальном ящике уравнение Шредингера (будем считать, что задача одномерная, тогда) .

В области I .

В области II ,

или

при

при

(Е<0, т.к. потенциальная энергия отрицательна и превышает кинетическую, в противном случае частица выйдет из ящика). Нам нужно найти волновые функциии энергии, которые бы удовлетворяли граничному условию такому, чтопри.

Из классической теории следует, что должна обращаться в ноль прит.к.в этой области отрицательна, что соответствует отрицательным значениям кинетической энергии, запрещенным в классической физике, однако в этой области (I) уравнение Шредингера имеет решение:

где , или.

В области II (при ) решение уравнения Шредингера дает:, где,k имеет смысл волнового числа волны де Бройля. При или.

Поведение - функции прип=1 показано на рисунке 5.7. - функция не падает скачком до нуля прикак это было в случае ящика с бесконечно высокими стенками.

Это означает, что существует вероятность для частицы выйти из ямы, когда ее энергия Е меньше глубины ямы . На рис.5.8 сплошными линиями изображены стоячие волны низшего порядка, соответствующие энергиям. Штриховые линии - соответствующие волновые функции в потенциальной яме той же ширины, но с бесконечно высокими стенками.

Решение задачи о частице в потенциальной яме имеет практические значения. Короткодействующие ядерные силы, действующие между электроном и протоном, можно представить в виде прямоугольной потенциальной ямы и найти энергию связи.

5.3.Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим частицу, которая движется слева на право, встречая на своем пути потенциальный барьер высоты и ширины (рис.5.9). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера () то частица беспрепятственно проходит над барьером, на участке () лишь уменьшается скорость частицы, но затем при она снова принимает первоначальное значение.

Если же Е меньше , то частица отражается от барьера и летит обратно, сквозь барьер она проникнуть не может.

Согласно же квантовой теории даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет сквозь потенциальный барьер и попадет в область. Такое поведение частицы вытекает из решения уравнения Шредингера.

Рассмотрим частицу, подлетающую к барьеру с энергией . Уравнение Шредингера для такой частицы имеет вид:

I. ,

III. ,

II.

( то же, что и для ящика с конечными стенками, только Е без модуля).

При этом разность . Волна де Бройля, соответствующая частице, частично отражается от стенок барьера, частично проходит сквозь них, поэтому решения уравнения Шредингера для выделенных на рис. 5.9 областей принимают вид:

(5.5)

где ,- амплитуда прямой волны,- отраженной,.

В области III имеется только волна, распространяющаяся слева направо:

,,т.к.соответствует волне, распространяющейся справа налево.

Запишем граничные условия. В силу непрерывности - функции имеем:

. (5.6)

Для того чтобы - функция была гладкой (не имела изломов) необходимо, чтобы ее первая производная была непрерывной

. (5.7)

Из этих условий следует:

, ,,.

Вид - функции представлен на рис. 5.10.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волныопределяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и называется коэффициентом отражения. Отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волны называется коэффициентом прохождения волны (прозрачности барьера):

.

Ясно, что =1

Решая уравнения (5.5), (5.6) и (5.7), получаем:

- т.е. вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера и от разности

При преодолении потенциального барьера частица проходит как бы сквозь туннель, поэтому рассмотренное явление называется туннельным эффектом. Туннельный эффект играет заметную роль, когда прозрачность барьера не слишком мала. Это достигается, когда размеры барьера соизмеримы с атомными размерами:

Для ,Для

С увеличением массы частицы и разности прозрачность барьераD уменьшается. Туннельный эффект – чисто квантовое – механическое явление. При объяснении туннельного эффекта мы сталкиваемся с неожиданной для классической механики трудностью, которая состоит в возможности представления полной энергии E частицы в виде суммы ее кинетической и потенциальнойэнергий. В классической физике такое представление не вызовет сомнения, и оно предполагает, что одновременно известны с любой степенью точности и кинетическая и потенциальная энергии частицы, т.е. считается, что частице с любой степенью точности приписывается координатаx и импульс p. Однако принцип неопределенности Гейзенберга исключает такую возможность. Энергия в квантовой механике не может быть точно определена. Если мы зафиксируем частицу в определенной области тогда с достаточной точностью можно определить ее потенциальную энергию. Но при этом будет внесена неопределенностьв значение импульса частицы

.

Таким образом, изменится, и кинетическая энергия частицы и полная энергия уже не будет равна

.

И можно показать, что изменение кинетической энергии частицы ,

вызваннoе неопределенностью ее координаты, превышает разность между высотой барьера и энергией частицыE:

,

т.е. превышает ту энергию, которой недостает частице, чтобы преодолеть барьер. Таким образом, есть вероятность приобретения частицей энергиии преодоления барьера.

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер доказывается анодной эмиссией электронов из металлов. Вырывание электронов из металлов электрическим полем происходит при напряженностях электрического поля в сотни раз меньших, чем те, которые необходимы для того, чтобы электрон в металле под действием внешнего электрического поля преодолел поверхностный скачок потенциала на границе металл-воздух и покинул металл. Действие электрического поля приводит к тому, что потенциальный барьер для электров на границе металл-воздух будет узким и электрон, обладающий энергией , сможет выйти из металла в результате туннельного эффекта. Есть и другие экспериментальные данные (-распад) подтверждающие туннельный эффект.

Для широких барьеров и больших разностей (U -E) вероятность прохождения через барьер практически равна нулю, т.е. в этих случаях выводы квантовой теории совпадают с классическими.

5.4. Гармонический осциллятор

Гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы . Потенциальная энергия такой частицы имеет вид:(рис.5.11) . Собственная частота классического гармонического осциллятора, гдеm- масса частицы, k - коэффициент упругости, тогда

.

Уравнение Шредингера для осциллятора:

, (5.8)

где Е - полная энергия осциллятора.

Это уравнение имеет конечные однозначные и непрерывные решения при значениях параметра Е

Схема энергетических уровней гармонического осциллятора представлена на рис.5.12.

Уровни энергий вписаны в кривую потенциальной энергии и отстоят друг от друга на равные расстояния.

Наименьшее возможное значение энергий равно . Это нулевая энергия.(т.е. та которой обладает частица при температуре абсолютного нуля ) Величинап, определяющая значения энергий (энергетические уровни) называется квантовым числом. Для гармонического осциллятора возможны лишь такие переходы квантовой системы из одного состояния в другое, при которых квантовое число п меняется на единицу .

Условие, накладывемые на изменение квантовых чисел, называется правилами отбора. Из правила отбора следует, что энергия гармонического осциллятора может меняться только порциями .

Решение уравнения Шредингера для осциллятора будем искать в виде функции Гаусса . Возьмем вторую производную от этой функции и подставим в уравнение (5.8):

.

Подставив в уравнение (5.8), получаем

,

или .

Приравнивая коэффициенты при , имеем, и. Сравнивая свободные члены, имеем, тогда.

Мы видим, что функция Гаусса является решением уравнения Шредингера для осциллятора лишь при п=0 (т.е. для ). В этом случае. Решение, соответствующееп=1, имеет вид при.

Волновые функции гармонического осциллятора в низших энергетических состояниях при представлены на рис. 5.13. Точка, в которой волновая функцияобращается в ноль, называется узлом волновой функции. Волновая функция обращается в ноль лишь при, т.е. не имеет узлов.

Функция имеет один узел прих=0, имеет два узла, таким образом, число узлов волновой функции в конечной области всегда равно квантовому числуn.

Квантовый осциллятор в стационарном состоянии совершает колебания, ничего не излучая. Излучение и поглощение проходит лишь при переходе из данного энергетического состояния в соседнее. При этом излучается один фотон частоты .

Вотличие от квантового классический осциллятор поглощает энергию непрерывно из поля, и так же непрерывно наращивает амплитуду колебаний. Квантовый осциллятор поглощает энергию порциями.