- •1.Тепловое излучение
- •1.1.Закон Кирхгофа
- •1.2.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела
- •1.2.Фотоэффект
- •1.3. Масса и импульс фотона
- •1.4. Эффект Комптона
- •Теперь воспользуемся равенством . Вычтем (1.17) из (1.18). В результате после сокращений получим:
- •Или Отсюда
- •1.5.Тормозное рентгеновское излучение
- •1.6. Корпускулярно-волновой дуализм света
- •2.Двойственная корпускулярно-волновая природа частиц вещества
- •2.1. Гипотеза де Бройля
- •2.2Свойства волн де Бройля
- •3. Элементы квантовой механики
- •3.1.Волновая функция
- •3.2. Принцип неопределенности
- •3.3.Уравнение Шредингера
- •4. Атом Резерфорда - Бора
- •4.1.Ядерная модель атома
- •4.2.Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца
- •4.3.Боровская модель атома водорода
- •Согласно 2-му закону Ньютона (4.13)
- •Тогда постоянная Ридберга
- •6. Операторы физических частиц
- •6.1 Линейные операторы. Собственные функции и
- •6.3. Законы сохранения физических величин в
- •6.4.Четность, закон сохранения четности
- •5. Стационарные задачи квантовой механики
- •5.1.Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
- •5.2.Движение частицы в потенциальном ящике конечной глубины
- •5.3.Прохождение частицы через потенциальный барьер
- •Лекция 9-10
- •8.2. Ширина спектральных линий
- •Средняя энергия подачи:
- •8.4.Полный механический момент многоэлектронного атома
- •8.5.Магнитный момент атома
- •8.6.Векторная модель атома
- •9. Механика системы микрочастиц
- •9.1.Волновая функция системы микрочастиц
- •Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:
- •9.2. Тождественность частиц одного и того же вида и принцип Паули
- •Лекция 14
- •9.4.Многоэлектронные атомы
- •9.5.Эффекты Зеемана и Штарка
- •9.5.Рентгеновские спектры
- •10. Двухатомная молекула
- •10.1. Ионная и ковалентная связь. Молекула водорода. Обменный интеграл
- •10.1.Молекулярные спектры
- •Лекция 16
- •11.Генераторы когерентного света
- •На рис. 11.1 представлена диаграмма энергетических уровней, причем длина горизонтальной черты определяет населенность того или иного энергетического уровня.
- •11.2. Принцип действия лазеров
- •11.3.Схемы накачки
- •11.4.Классификация лазеров
5. Стационарные задачи квантовой механики
5.1.Частица в потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками
Рассмотрим частицу, находящуюся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Будем считать, что частица может двигаться только в направлении оси ОХ. Стенки ямы бесконечно высокие и представляют собой параллельные плоскости (рис.5.1). Такую прямоугольную яму называем ящиком. Она является упрощенной моделью атома водорода, в котором движется электрон. Потенциальная энергия частицы
в ящике равна нулю, а за пределами
ящика . Уравнение Шредингера Шредингера для такой частицы имеет вид:
.
B ящике U=0, поэтому .
Обозначим
. (5.1)
Тогда
.
Это известное из теории колебаний уравнение синусоидальной волны, причем k , определяемое уравнением (1) – волновое число. Решение этого уравнения имеет вид:
. (5.2)
При решении уравнения Шредингера должны выполняться граничные условия:
- так как стенки ящика бесконечно высокие, то вероятность обнаружить частицу за пределами ящика равна нулю =0. Однако- непрерывная функция, следовательно,на границах ящика также должна обращаться в ноль:, тогдаи; на правой границе ящика, поэтомуn=1, 2…. Отсюда
. (5.3)
При n=0 и- вероятность обнаружить частицу хотя бы в какой-то точке пространства равна нулю, т.е. частица нигде не находится. Такого быть не может, поэтому значениеп=0 лишено физического смысла..
Условие (5.3) означает что волновое число k может принимать только некоторые разрешенные значения в зависимости от целого числа п , т.е. квантуется. Из условия (5.3) также следует, что по дну ящика должно укладываться целое число полуволн де Бройля, что совпадает с условием возникновения стоячих волн в струне.
Действительно, подставим в уравнение (5.3), имеем:
; и .
Пусть частица летит к стенке ящика (рис.5.2). Справа от стенки происходит наложение двух волн де Бройля, соответствующих частице – прямой и отраженной, распространяющихся в противоположных направлениях. Стенка абсолютно отражающая, поэтому амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, и в ящике образуется стоячая волна.
Импульс частицы равен , тогда согласно (5.3) имеем:
- импульс частицы в ящике принимает дискретные значения в соответствии с целым числом п, т.е. квантуется.
Подставим (5.3) в (5.1) , имеем:
, n=1,2… (5.4)
- энергия частицы в ящике принимает ряд дискретных значений (квантуется).
В теории колебаний доказывается, что уравнение Шредингера имеет решение не при любых значениях энергии, а лишь при избранных, которые называются собственными значениями энергии. Выражение (5.4) как раз и определяет эти значения. Каждой такой энергии отвечает стационарное состояние системы, т.е. такое, в котором распределение вероятностей обнаружить частицу не меняется. Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями задачи. Наименьшее значение энергии достигается приn=1:
.
Это энергия основного состояния. В квантовой механике частица не может иметь энергию, меньшую . С ростомn энергия растет. Вычислим расстояние между энергетическими уровнями:
С ростом n расстояние между уровнями увеличивается (рис.5.3).
Для молекулы газа в сосуде ,энергетические уровни расположены так близко, что практически неразличимы, спектр можно считать сплошным.
Для свободного электрона иэВ. Для электрона в атоме,- дискретность уровней весьма заметна.
Подставив k из (5.3) в решение уравнения Шредингера (5.2), найдем собственные функции задачи:
Для определения амплитуды а воспользуемся условием нормировки:
На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в 0. Поэтому значение интеграла получим, умножив среднее значение на длину промежутка . Имеем: тогда собственные функции:
На рисунке 5.4 показаны зависимостиидля частицы приn=1 и n=2. При n=1 вероятность обнаружить частицу в яме максимальная, а по краям ямы – равна нулю. При n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы, однако она одинаковое число раз бывает в левой и правой частях.
Электрон, заключенный в ящике, является лишь очень грубой моделью атома водорода. Реальная яма является трехмерной, электрон в атоме находится в поле кулоновских сил, поэтому стенки ямы имеют вид, представленный на рисунке 5.5. Однако поведение электрона в обеих ямах практически одинаково и описывается стоячей волной, которой соответствуют собственные значения энергии
Рассмотренная задача показывает, что движение квантовой частицы отличается от движения классической частицы тем, что:
нельзя говорить о точном местонахождении частицы в яме, а можно говорить лишь о вероятности нахождения её в той или иной точке. Эта вероятность определяется величиной .
Энергия квантовой частицы квантуется, т.е. принимает ряд дискретных значений ….
Импульс квантовой частицы квантуется.