46

Лекция 7

6. Операторы физических частиц

6.1 Линейные операторы. Собственные функции и

собственные значения операторов

Оператор есть символ для обозначения действия или программы действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы получить другую функцию.

Операторы обозначаются большими латинскими буквами со «шляпкой» наверху: Â, . Если оператор стоит рядом с функцией и слева от нее, то это означает, что он действует на функцию. В результате получается новая функция тех же переменных:

ÂΨ = ψ.

Функции Ψ и ψ должны относиться к одному классу функций. Невозможен, например, переход от функции действительного переменного к функции комплексного.

Примеры операторов:

1) Â = х– оператор умножения на переменную х;

2) = ∂/∂х - оператор дифференцирования по х;

3) = перейти к комплексно-сопряженному выражению.

Результаты действий этих операторов:

1) Â ψ = хψ; 2) ψ = ∂ψ/∂х; 3) Ĉψ = ψ*.

Оператор называется линейным, если для него выполняется условие:

(c₁ψ₁ + c₂ψ₂) = c₁ψ₁ + c₂ψ₂,

где ψ₁ и ψ₂ – функции, с₁, с₂ – постоянные (комплексные числа).

Например, операторы дифференцирования и умножения на переменную величину линейны, а возведения в степень – нет.

Символы операторов рассматриваются как самостоятельные математические объекты, над которыми можно производить ряд математическими действий: сложения, умножения, возведения в степень, разложение в степенной ряд:

если

Сложение ассоциативно и коммутативно:

Оператор Ĉ называется произведением операторов:

Операторы, для которых , называется коммутирующими. Оператор называется коммутатором операторов Â и , и обозначается .

Для коммутирующих операторов [] = 0.

Равенство называется уравнением для собственных значений и собственных функций оператора Â, здесь ψ – функция, а – число.

Если функция удовлетворяет стандартным требованиям для ψ – функции, то она называется собственной функцией оператора Â, принадлежащей его собственному значению а. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Спектр бывает дискретным, непрерывным или смешанным.

Собственное значение называется вырожденным, если ему соответствует несколько линейно независимых собственных функций. Число таких функций называется кратностью вырождения.

Оператор Â называется самосопряженным или эрмитовым, если выполняется равенство:

.

Например, Â = х; - самосопряженные операторы.

Сумма самосопряженных операторов есть самосопряженный оператор. Применение самосопряженных операторов в квантовой механике обуславливается тем, что их собственные значения всегда вещественны. Собственные функции эрмитовых операторов попарно ортогональны.

Для эрмитовых операторов характерна полнота системы собственных функций. Это значит, что в случае дискретного спектра по собственным функциям эрмитового оператора может быть разложена любая функция состояния в обобщенный ряд Фурье. В случае непрерывного спектра разложение производится в интеграл Фурье.

6.2 Операторы и допустимые значения физических величин. Оператор Гамильтона. Вычисление средних значений физических величин

Итак, энергия микросистем, как мы видели на примере частицы в потенциальной яме и гармоническом осцилляторе, принимает дискретные значения, квантуется. Это значит, что использовать для энергии и других величин просто вещественные числа или векторы, как это делалось в классических электродинамике и механике, нельзя: не все точки числовой оси для энергии допустимы. Связь между физической величиной и ее математической моделью устанавливается постулатом: в квантовой механике основным физическим величинам сопоставляются линейные самосопряженные операторы. Обычно, оператор обозначается той же буквой, что и величина в классической физике.

Исходными являются операторы координат и импульса. Оператор координаты х есть действие умножения на эту переменную:

Оператор проекции импульса:

Операторы других величин можно найти, учитывая, что соотношения между операторами физических величин такие же, как и между этими величинами в классической физике:

оператор радиус – вектора

импульса

момента импульса

,

кинетической энергии

,

потенциальной энергии

,

полной механической энергии

Оператор полной энергии называется оператором Гамильтона или гамильтонианом. Он играет особую роль, ибо его собственные функции оказывается волновыми функциями стационарных состояний. Кроме того, он входит в уравнение Шредингера.

Связь между оператором и наблюдаемыми при измерениях значениями физической величины дается постулатом: физическая величина может приниматься те и только те значения, которые совпадают с собственными значениями ее оператора.

Наиболее полное описание квантовой системы достигается заданием соответствующей этому состоянию волновой функции. В ней заключена вся информация о системе. Функция состояния позволяет определить плотность вероятности для положения частицы в пространстве и ее изменения во времени. С помощью волновой функции осуществляется расчет возможных результатов физических экспериментов и измерений физических величин, определяются средние значения физических величин в заданном состоянии. Изменение волновой функции во времени отражает изменение состояния квантовой системы под действием внешних сил.

Для определения функции состояния в каждом конкретном случае микросистемы записывается уравнением Шредингера:

.

В такой записи уравнение Шредингера пригодно для любых квантовых объектов. В зависимости от вида микрочастицы (отдельная частица, атом, кристалл) изменяется вид оператора Гамильтона, структура же уравнения остается неизменной.

Оператор Гамильтона характеризует микросистему с динамической стороны, его вид зависит от масс частиц, их электрических зарядов, взаимодействия между ними. В принципе гамильтониан должен быть задан в конкретных задачах квантовой механики подобно тому, как задаются силы в классической механике при использовании второго закона Ньютона.

Волновые функции – решения уравнения Шредингера – являются комплексными функциями вещественных переменных. Аргументы волновой функции – координаты и время.

Состояние квантовой системы описывается волновой функцией, которая ничего не говорит о значениях физических величин, которыми характеризуются система. Такую информацию дает только измерение, результат которого не всегда однозначен. Получение того или иного значения на опыте в ряде случаев является случайным событием. Тогда говорят, что величина не имеет определенного значения. Однако можно рассчитать вероятность данного значения при многократных измерениях, располагая функцией состояния: вероятность того, что при измерении получится значение а_i физической величины А, равна квадрату модуля соответствующего коэффициента Фурье в разложении волновой функции в ряд или интеграл Фурье по собственным функциям оператора этой физической величины.

Пусть Ψ – волновая функция частицы, чтобы рассчитать искомые вероятности, представим ее в виде ряда:

,

где ψ_i – собственные функции оператора Â, имеющего дискретный спектр, тогда вероятность получения а_i есть:

.

В случае непрерывного спектра волновая функция разлагается в интеграл Фурье. Если ψ(а,х) – собственная функция, то:

.

Поскольку теперь мы имеем непрерывное множество значений величины А, то в строгом смысле слова нельзя говорить о вероятностях отдельных значений. Вероятность dΩ попадания значений величины в интервал от а до (а + da) равна:

dΩ(a) = ω(a)da,

где ω(а) – плотность вероятности (функция распределения вероятностей) равна квадрату модуля коэффициента с(а):

.

Ясно, что определенного значения у величины нет, если функция состояния не является собственной для оператора этой величины. В этом случае определяют среднее значение достаточно большого числа измерений:

.

Для теоретической оценки среднего значения физической величины достаточно знать функцию состояния частицы (предполагается, что вид оператора этой величины известен). Если а_i – собственные значения оператора Â и Ω_i – вероятности их обнаружения, то среднее значение:

.

Подставив Ω_i, имеем:

,

где Ψ – волновая функция, ψ_i – собственные функции оператора Â(Âψ_i = а_iψ_i), тогда:

.

Вычисление средних имеет большое значение для микромира. Когда в рассматриваемом состоянии физическая величина не имеет определенного значения, среднее значение характеризует состояние.

Понятно, что если Ψ = ψ_i, то:

,

где ψ^* = 1.

В стационарном состоянии: .

Если оператор физической величины не содержит времени, то его собственные функции и собственные значения также не зависят от времени. Поэтому в стационарных состояниях распределение вероятностей для значений рассматриваемой величины также оказывается стационарным, независящим от времени. Постоянно и среднее значение.

Условием существования определенных значений двух физических величин в одном и том же состоянии системы является коммутация их операторов.

Например, операторы импульса и кинетической энергии коммутируют:

,

поэтому кинетическая энергия и импульс микрочастицы имеют определенные значения.

Для координаты и импульса коммутатор равен

,

и , тогда - коммутатор отличен от нуля, операторы и не коммутируют. Значит, не существует состояний, в которых были бы вместе точно заданы координата х и проекция импульса р_х.