1.2.Законы теплового излучения абсолютно чёрного тела

а) Законы Стефана-Больцмана и Вина. Теоретическое обоснование законов излучения абсолютно черного тела имело огромное значение в истории физики – оно привело к понятию квантов энергии.

Для полной характеристики теплового излучения необходимо, как показывает закон Кирхгофа, знать вид функции Кирхгофа f(ω,T) , т.е. необходимо установить вид зависимости испускательной способности абсолютно чёрного тела от его температуры. В 1879 г. Стефан на основе обобщения экспериментальных данных получил, что энергетическая светимость R любого тела пропорциональна четвёртой степени температуры. В 1884 г. учёный Л.Больцман применил к исследованию “чёрного излучения” термодинамический метод и показал, что закон, открытый Стефаном, применим лишь для абсолютно чёрного тела

.

Это соотношение получило название закона Стефана-Больцмана. Здесь σ – постоянная Стефана-Больцмана (σ = 5,7 . 10 Вт/м· К).

Закон Стефана-Больцмана даёт зависимость энергетической светимости от температуры.

Вин (1893г.) воспользовался, кроме термодинамики, электромагнитной теорией и показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид

где F- некоторая функция отношения частоты к температуре. Для функции получается выражение

, (1.3)

где - некоторая функция произведения .

Соотношение (1.3) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой. Продифференцируем это выражение по :

(1.4)

Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию . При длине волны , соответствующей максимуму функции , выражение (1.4) должно обращаться в ноль, и, т.к. , то =0. Решение этого уравнения приводит к соотношению:

,

которое носит название закона смещения Вина. Здесь - постоянная Вина,

длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности r_ωT абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его температуре. Из этого закона видно, что при понижении температуры абсолютно чёрного тела максимум энергии его излучения смещается в область длинных волн. Поэтому при понижении температуры белое каление переходит в красное, а затем в инфракрасное.

б) Исследования Рэлея и Джинса. Физики Рэлей и Джинс представили абсолютно чёрное излучение в замкнутой полости как систему бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических осциллятора (радиационных осцилляторов). Собственные частоты ω колебаний радиационных осцилляторов равны частотам соответствующих монохроматических компонент чёрного излучения.

Рэлей и Джинс в своих исследованиях исходили из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они считали, что на каждое электромагнитное колебание радиационного осциллятора приходится энергия, равная двум половинкам kТ – одна - на электрическую, другая - на магнитную, и получили следующий вид функции Кирхгофа:

.

Это выражение называется формулой Рэлея-Джинса. Она хорошо согласуется с экспериментом в области малых частот излучения. В области же больших частот формула приводит к резкому расхождению с экспериментом, с законами Стефана-Больцмана и Вина. Из формулы Рэлея-Джинса следует монотонное возрастание функции f(ω,T) с ростом частоты, а на самом деле f(ω,T) имеет максимум и далее убывает (рис.1.4).

Формула Рэлея-Джинса в области больших частот находится в противоречии с законом сохранения энергии (энергия излучения неограниченно растёт с ростом температуры). Этот результат был назван ультрафиолетовой катастрофой.

в) Формула Планка. С классической точки зрения вывод формулы Рэлея и Джинса является безупречным. Поэтому расхождение ее с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики. В 1900 г. Макс Планк предположил, что гипотеза о непрерывном изменении энергии системы, господствовавшая в классической физике, неприменима к радиационным осцилляторам, а следовательно, к молекулам и атомам излучающего тела, обменивающегося энергией с этими осцилляторами. Согласно Планку, энергия осцилляторов может принимать лишь определённые дискретные значения, равные целому числу элементарных порций энергии – квантов энергии. Энергия кванта пропорциональна частоте излучения, ћ – постоянная Планка. Таким образом, излучение и поглощение энергии телом происходит не непрерывно, а дискретно, квантами. Постоянная Планка ћ = 1,054 · 10 Дж·с, имеет размерность «энергия · время». Эта величина в механике называется действием, поэтому ћ иногда называют квантом действия.

В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана. Вероятность того, что энергия колебания частоты имеет значение , равна

Среднее значение энергии колебаний

Чтобы произвести вычисления, обозначим и будем считать, что х может принимать непрерывный ряд значений. Тогда

(1.5)

Под знаком логарифма в этой формуле стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным . Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия убывающая, и

Подставив эту сумму в (1.5), получаем

При получаем классическое выражение Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно

Плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал

тогда и

. (1.6)

Это формула Планка. Она точно согласуется с экспериментом в интервале частот от 0 до и удовлетворяет критерию Вина .

При малых частотах <<1, поэтому можно считать, что , тогда - формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса. Таким образом, формула Рэлея-Джинса является частным случаем формулы Планка для малых частот.

Интегрируя выражение (1.6)и решая уравнение относительно переменной x = , можно получить закон смещения Вина. Таким образом, формула Планка даёт полное описание равновесного теплового излучения.

Лекция 2