6.3. Законы сохранения физических величин в

квантовой механике

В классической механике выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса – величин, имеющих универсальное применение во всей физике. В микромире к ним добавляется закон сохранения четности – величины, специфической для квантовой физики.

Рассмотрим условие сохранения определенного значения физической величины. Если функция состояния Ψ, в котором находится система, совпадает с собственной функцией ψ_i оператора Â, то величина имеет определенное значение а_i. Если производная по времени от оператора Â равна нулю (оператор не зависит от времени), то определенное значение а_i сохраняется.

Закон сохранения энергии. В стационарных полях оператор Гамильтона не зависит от времени, , поэтому энергия<Е> = const. Если функция состояния системы в стационарном поле собственная для оператора Гамильтона, то энергия имеет определенное сохраняющееся значение. Такое состояние является стационарным. Энергия микрочастицы в стационарном поле сохраняется.

Закон сохранения импульса. Оператор импульса частицы не содержит времени и коммутирует с оператором Гамильтона для свободной частицы. Следовательно, импульс свободной частицы сохраняется.

Если частица находится в силовом поле, то оператор Гамильтона содержит координаты, на которые действует оператор импульса, т.е. ине коммутируют. В силовом поле импульс не сохраняется.

Для замкнутой системы микрочастиц импульс сохраняется.

Закон сохранения момента импульса. Оператор момента импульса частицы не содержит времени и коммутирует с оператором Гамильтона свободной частицы, следовательно, момент импульса свободной частицы сохраняется.

В общем случае в силовом поле момент импульса не сохраняется. В замкнутой системе микрочастиц момент импульса сохраняется.

6.4.Четность, закон сохранения четности

Кроме однородности и изотропности, имеется еще один вид симметрии пространства. Соответствующую ему операцию нельзя свести к совокупности бесконечно малых преобразований координат. Это операция инверсии, заключающаяся в изменении знака всех трех координат х, y, z:

,

или

х´ = - х; у´ = - у; z´ = - z.

Операцию инверсии можно провести в два этапа, комбинируя отражение в зеркале и поворот на π. На рис.6.1. точка А при отражении в зеркале, поверхность которого совпадает с плоскостьюхоу, переходит в точку А΄. Если совершить еще и поворот вокруг оси о_z, то точка А΄ совместиться с точкой А΄΄, координаты которой связаны с координатами точки А преобразованиями инверсии. Поэтому симметрия систем относительно инверсии непосредственно связана с симметрией относительно отражения в зеркале – с симметрией «правого» и «левого».

Всякое преобразование координат можно трактовать двояко: как следствие перемещения системы (при неизменных осях координат) и как следствие применения положений осей координат (при этом физическая система остается неподвижной), тогда правая декартова система координат переходит в левую (рис.6.2).

Предположим, что состояние физической системы не изменяется при инверсии. Пусть до преобразования она описывала волновой функциейΨ(). Волновая функцияf(), описывающая систему после преобразования, должна удовлетворять равенству:

. (6.1)

Введем оператор, изменяющий вид функции при изменении знака у координат, и назовем его оператором инверсии:

.

Согласно (6.1) имеем:

. (6.2)

Если оператор коммутирует с гамильтонианом, то существует закон сохранения некоторой физической величины, которая называется четность.

Для определения допустимых значений четности запишем уравнения для собственных функций и собственных значений оператора инверсии:

. (6.3)

Применяя оператор к обеим частям соотношения (6.3), получим:

. (6.4)

Но согласно определению оператора инверсии (6.2) последовательное применение его к любой функции дважды даст исходную функцию:

. (6.5)

Сравнивая уравнения (6.4) и (6.5), находим, что р² = 1, а р = ±1 – собственные значения оператора инверсии -1 и +1.

Эти два числа и принимаются за значения новой физической величины – четности состояния микросистемы или системы микрочастиц.

Если функция состояния не изменяется при инверсии осей, то состояние четное, а четность равна +1; если изменяет знак – нечетное, четность -1.

Если икоммутируют, то существуют состояния с определенной энергией и определенной четностью, т.е. состояния, в которых четность сохраняется.

Лекция 8